2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案4.3《三角函数的图象与性质》 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.与不等式相结合考查三角函数定义域的求法，凸显数学运算的核心素养．
2．与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域(最值)，凸显数学运算的核心素养．
3．借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性、对称性等性质，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．
[理清主干知识]
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cs x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．函数y＝tan 2x的定义域是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠kπ＋\f(π,4)，k∈Z)) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠\f(kπ,2)＋\f(π,8)，k∈Z))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠kπ＋\f(π,8)，k∈Z)) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x≠\f(kπ,2)＋\f(π,4)，k∈Z))
2．已知函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________.
3．若函数f(x)＝sineq \f(x＋φ,3)(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.
4．函数f(x)＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))的对称轴为________，对称中心为________．
5．函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(3,4)π))的单调递增区间为__________________．
二、易错点练清
1．函数y＝lg(3tan x－eq \r(3))的定义域为________________．
2．函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－2x))的单调递增区间为________________．
3．函数f(x)＝2cs2x＋5sin x－4的最小值为________，最大值为________．
考点一 三角函数的定义域、值域
[典题例析]
(1)已知函数f(x)＝2cs2x－sin2x＋2，则( )
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
(2)函数y＝eq \f(1,tan x－1)的定义域为____________________．
(3)函数y＝sin x－cs x＋sin xcs x，x∈[0，π]的值域为________．
[方法技巧]
1．三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．
[提醒] 解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．
2．三角函数值域或最值的3种求法
[针对训练]
1．函数y＝eq \r(sin x－cs x)的定义域为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)＋2kπ，\f(π,4)＋2kπ))(k∈Z) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)＋2kπ，\f(π,4)＋2kπ))(k∈Z)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2kπ，\f(5π,4)＋2kπ))(k∈Z) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋2kπ，\f(5π,4)＋2kπ))(k∈Z)
2．函数f(x)＝sin2x＋eq \r(3)cs x－eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))))的最大值是________．
3．若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cs x的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．
4．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，其中x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，a))，若f(x)的值域是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，则实数a的取值范围为________．
考点二 三角函数的单调性
考法(一) 求三角函数的单调区间
[例1] 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝|tan x|； (2)f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))).
[方法技巧] 求三角函数单调区间的2种方法
[提醒] 求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．
考法(二) 已知函数的单调性求参数值或范围
[例2] (1)若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调递增，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，则ω等于( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,2) C．2 D．3
(2)若f(x)＝cs 2x＋acs(eq \f(π,2)＋x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)))上是增函数，则实数a的取值范围为________．
[方法技巧]
已知单调区间求参数范围的3种方法
[针对训练]
1．已知eq \f(π,3)为函数f(x)＝sin(2x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(00)，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围．
类型(三) 三角函数的对称性、最值与ω的关系
[例3] (1)已知f(x)＝sin ωx－cs ωxeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>\f(2,3)))，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________．
(2)已知函数f(x)＝2sin ωx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,4)))上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．
[名师微点]
解答这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须知晓一个周期里函数最值的变化，以及何时取到最值，函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何．
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1．(多选)下列关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的结论正确的是( )
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递增
C．f(x)在[－π，π]上有4个零点
D．f(x)的最大值为2
2．已知函数f(x)＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,6)))(A＞0，ω＞0)只能同时满足下列三个条件中的两个：
①函数f(x)的最大值为2；
②函数f(x)的图象可由y＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))的图象平移得到；
③函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为eq \f(π,2).
(1)请写出这两个条件序号，并求出f(x)的解析式；
(2)求方程f(x)＋1＝0在区间[－π，π]上所有解的和．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1．下列函数中，周期为2π的奇函数为( )
A．y＝sineq \f(x,2)cseq \f(x,2) B．y＝sin2x C．y＝tan 2x D．y＝sin 2x＋cs 2x
2．(多选)关于函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，下列说法正确的是( )
A．是奇函数 B．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调递减
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为eq \f(π,2)
3．函数y＝|cs x|的一个单调递增区间是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))) B．[0，π] C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2))) D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))
4．函数y＝cs2x－2sin x的最大值与最小值分别为( )
A．3，－1 B．3，－2 C．2，－1 D．2，－2
5．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)＝sin x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)))的值为( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C.eq \f(7,16) D.eq \f(\r(3),2)
二、综合练——练思维敏锐度
1．下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上为减函数的是( )
A．y＝sin 2x B．y＝2|cs x| C．y＝cs eq \f(x,2) D．y＝tan(－x)
2．如果函数y＝3cs(2x＋φ)的图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)，0))对称，那么|φ|的最小值为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
3．同时满足f(x＋π)＝f(x)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋x))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))的函数f(x)的解析式可以是( )
A．f(x)＝cs 2x B．f(x)＝tan x
C．f(x)＝sin x D．f(x)＝sin 2x
4．若函数f(x)＝eq \r(3)sin(2x＋θ)＋cs(2x＋θ)为奇函数，且在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，0))上为减函数，则θ的一个值为( )
A．－eq \f(π,3) B．－eq \f(π,6) C.eq \f(2π,3) D.eq \f(5π,6)
5．已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,3)))的图象的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，0))，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是( )
A．1 B．eq \f(π,2) C．2 D．π
6．(多选)已知函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象关于直线x＝eq \f(3π,4)对称，且f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上为单调函数，则下述四个结论中正确的是( )
A．满足条件的ω取值有2个
B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，0))为函数f(x)的一个对称中心
C．f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，0))上单调递增
D．f(x)在(0，π)上有一个极大值点和一个极小值点
7．函数y＝sin x＋cs x＋3cs xsin x的最大值是________，最小值是________．
8．写出一个最小正周期为2的奇函数f(x)＝________.
9．关于函数f(x)＝sin x＋eq \f(1,sin x)有如下四个命题：
①f(x)的图象关于y轴对称．
②f(x)的图象关于原点对称．
③f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,2)对称．
④f(x)的最小值为2.
其中所有真命题的序号是________．
答案：②③
10．已知函数f(x)＝cs(2x＋θ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0≤θ≤\f(π,2)))在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,8)π，－\f(π,6)))上单调递增，若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))≤m恒成立，则实数m的取值范围为________．
11．若函数y＝eq \f(1,2)sin ωx在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,8)，\f(π,12)))上单调递减，则ω的取值范围是________．
12．已知函数f(x)＝2|cs x|sin x＋sin 2x，给出下列四个命题：
①函数f(x)的图象关于直线x＝eq \f(π,4)对称；
②函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,4)))上单调递增；
③函数f(x)的最小正周期为π；
④函数f(x)的值域为[－2,2]．
其中是真命题的序号是________．
13．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ω>0，0