2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案5.4《复数》 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.通过方程的解，认识复数．
2．结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的实部、虚部，共轭复数，复数的模等概念的认识，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
3．结合复数的运算法则，考查复数的加、减、乘、除运算，凸显数学运算的核心素养．
[理清主干知识]
1．复数的定义及分类
(1)复数的定义：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.
(2)复数的分类：
eq \a\vs4\al(复数z＝a＋bi,a，b∈R)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))
2．复数的有关概念
3.复数的几何意义
4.复数的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：
(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
5．复数运算的几个重要结论
(1)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)．
(2)eq \x\t(z)·z＝|z|2＝|eq \x\t(z)|2.
(3)若z为虚数，则|z|2≠z2.
(4)(1±i)2＝±2i.
(5)eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i.
(6)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i.
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．复数z＝eq \f(i,5＋i)的虚部为( )
A.eq \f(5,26) B．eq \f(5,26)i C．－eq \f(5,26) D．－eq \f(5,26)i
2．复数z＝(1＋i)2，则|z|＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．复数z＝eq \f(5,2－i)在复平面上的对应点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．若复数z满足z·i＝1＋i(i是虚数单位)，则z的共轭复数是________．
二、易错点练清
1．i为虚数单位，复数eq \f(4＋3i,3－4i)的虚部是( )
A．－1 B．1 C．i D．－i
2．若z＝3＋4i，则|z|＝( )
A.eq \r(5) B．5 C．7 D．25
考点一 复数的概念
1．已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
2．若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝( )
A．0 B．1 C.eq \r(2) D．2
3．(多选)已知i为虚数，且复数z满足z(1＋2i)＝1＋i3，则下列关于复数z的命题中正确的为( )
A．复数z的虚部为－eq \f(3,5) B．|z|＝eq \f(2\r(5),5)
C．复数z对应的点在第三象限 D．z<1＋2i
4．(多选)设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是( )
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3
B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C．若eq \x\t(z)2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|
D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
5．已知复数z＝eq \f(a,2－i)＋eq \f(2－i,5)的实部与虚部的和为2，则实数a的值为________．
[方法技巧]
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(3)复数是实数的条件：
①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)； ②z∈R⇔z＝eq \x\t(z)；③z∈R⇔z2≥0.
(4)复数是纯虚数的条件： ①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R); ②z是纯虚数⇔z＋eq \x\t(z)＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2<0.
考点二 复数代数形式的运算
[典题例析]
(1)(1＋2i)(2＋i)＝( )
A．－5i B．5i C．－5 D．5
(2)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝( )
A．0 B．1 C.eq \r(2) D．2
(3)eq \f(2－i,1＋2i)＝( )
A．1 B．－1 C．i D．－i
[方法技巧] 复数代数形式运算问题的解题策略
[针对训练]
1．复数eq \f(1,1＋2i)＋eq \f(i,2)的共轭复数的虚部为( )
A.eq \f(1,10) B．－eq \f(1,10) C.eq \f(3,10) D．－eq \f(3,10)
2．计算：
(1)eq \f(1＋2i2＋31－i,2＋i)＝________；(2)eq \f(1－i,1＋i2)＋eq \f(1＋i,1－i2)＝________.
考点三 复数的几何意义
[典例] (1)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i·z＝( )
A．1＋2i B．－2＋i C．1－2i D．－2－i
(2)在复平面内，复数eq \f(m＋i,m－i)(i为虚数单位)对应的点位于第一象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(－∞，0) C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
[方法技巧]
复数几何意义问题的解题策略
(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ―→相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ―→.
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
[针对训练]
1．复数z＝eq \f(1－i,3＋i)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋2eq \r(2)＋i|的最大值是( )
A．3 B．2eq \r(3) C．1＋2eq \r(2) D．4
3．设复数z满足|z－i|＝|z＋i|(i为虚数单位)，且z在复平面内对应的点为Z(x，y)，则下列结论一定正确的是( )
A．x＝1 B．y＝1 C．x＝0 D．y＝0
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
1．已知i为虚数单位，z＝eq \f(4,1－i)，则复数z的虚部为( )
A．－2i B．2i C．2 D．－2
2．设复数z＝eq \f(1－i,1＋i)，f(x)＝x2 020＋x2 019＋…＋x＋1，则f(z)＝( )
A．i B．－i C．1 D．－1
3．若z＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m2＋m－6))＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A．－2 B．2 C．－3 D．3
4．复数z＝eq \f(2i4,1＋i)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a＋eq \r(3)i，z·eq \x\t(z)＝4，则a＝( )
A．1或－1 B．eq \r(7)或－eq \r(7) C．－eq \r(3) D．eq \r(3)
7．已知m∈R，复数z1＝1＋3i，z2＝m＋2i，且z1·eq \x\t(z)2为实数，则m＝( )
A．－eq \f(2,3) B．eq \f(2,3) C．3 D．－3
8．已知复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3－i(i为虚数单位)，则eq \f(z1,z2)＝( )
A.eq \f(4,5)－eq \f(3,5)i B．－eq \f(4,5)＋eq \f(3,5)i C．－eq \f(4,5)－eq \f(3,5)i D．eq \f(4,5)＋eq \f(3,5)i
9．已知z＝a＋bi，其中a，b∈R，且满足(a＋i)2＝bi5，则|z|＝( )
A．5 B．eq \r(5) C．3 D．eq \r(3)
10．设z是复数，|z－i|≤2(i是虚数单位)，则|z|的最大值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是－2＋i,1－i,2＋2i，则点D对应的复数为( )
A．4－i B．－3－2i C．5 D．－1＋4i
12．(多选)已知复数z满足z(2－i)＝i(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为eq \x\t(z)，则( )
A．|z|＝eq \f(3,5) B.eq \x\t(z)＝－eq \f(1＋2i,5)
C．复数z的实部为－1 D．复数z对应复平面上的点在第二象限
13．已知i为虚数单位，且复数z满足z－2i＝eq \f(1,1－i)，则复数z在复平面内的点到原点的距离为( )
A.eq \f(13,2) B．eq \f(\r(26),2) C.eq \f(\r(10),2) D．eq \f(5,2)
14．(多选)已知集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(m|m＝in，n∈N))，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是( )
A．(1－i)(1＋i) B．eq \f(1－i,1＋i) C.eq \f(1＋i,1－i) D．(1－i)2
15．设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq \r(3)＋i，则|z1－z2|＝_______.
16．已知复数z＝m－1＋(3－m)i(m∈R)对应的点在x轴上方，则m的取值范围是________．
17．已知i为虚数单位，z＝eq \f(1,cs 2θ－isin 2θ)对应的点在第二象限，则θ是第________象限的角．
18．满足条件|z－i|＝|1＋eq \r(3)i|的复数z在复平面上对应的点(x，y)的轨迹方程为________________．复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复数的模
向量OZ―→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq \r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)
复平面
的概念
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面
实轴、
虚轴
在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数的
几何表示
复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b) 平面向量eq \(OZ,\s\up7(―→))
复数的
加减法
在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可
复数的
乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可
复数的
除法
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式