2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案6.2《等差数列及其前n项和》 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.理解等差数列的概念，凸显数学抽象的核心素养．
2．与一次函数相对比，掌握等差数列的通项公式及应用，凸显数学运算的核心素养．
3．与二次函数相结合，掌握等差数列的前n项和公式及应用，凸显数学运算的核心素养．
4．与具体的问题情境相结合，考查等差数列的概念，凸显数学建模的核心素养．
[理清主干知识]
1．等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝eq \f(a＋b,2).
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(nn－1d,2)＝eq \f(na1＋an,2)＝eq \f(d,2)n2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a1－\f(d,2)))n.
3．等差数列的性质
(1)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(3)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))也为等差数列．
4．等差数列的相关结论
(1)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为eq \a\vs4\al(p).
(2)在等差数列{an}中，a1>0，d0时，{an}是递eq \a\vs4\al(增)数列；当da9>…，可得S6与S7均为Sn的最大值，即选项D正确，故选A、B、D.
2．设等差数列{an}满足a1＝1，an>0(n∈N*)，其前n项和为Sn，若数列{eq \r(Sn)}也为等差数列，则eq \f(Sn＋10,a\\al(2,n))的最大值是________．
解析：设数列{an}的公差为d，依题意得2eq \r(S2)＝eq \r(S1)＋eq \r(S3)，∴2eq \r(2a1＋d)＝eq \r(a1)＋eq \r(3a1＋3d)，
把a1＝1代入求得d＝2，∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，Sn＝n＋eq \f(nn－1,2)×2＝n2，
∴eq \f(Sn＋10,a\\al(2,n))＝eq \f(n＋102,2n－12)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n＋10,2n－1)))2＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\f(1,2)2n－1＋\f(21,2),2n－1)))2＝eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(21,2n－1)))2≤121.∴eq \f(Sn＋10,a\\al(2,n))的最大值是121.
答案：121
创新考查方式——领悟高考新动向
1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”其意思为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女作旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，使孝顺子女的美德外传，试求各人应分得多少斤．”则第3个子女分得棉花( )
A．65斤 B．82斤 C．99斤 D．106斤
解析：选C 设第一个孩子分配到a1斤棉花，则由题意得S8＝8a1＋eq \f(8×7,2)×17＝996，解得a1＝65.
则a3＝65＋2×17＝99(斤)．
2．(多选)朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是( )
A．4 B．5 C．7 D．8
解析：选BD 依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为a1，公差为d＝1，设一共放n(n≥2)层，则总根数为：Sn＝na1＋eq \f(nn－1d,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)＝100，整理得2a1＝eq \f(200,n)＋1－n.因为a1∈N*，所以n为200的因数，eq \f(200,n)＋(1－n)≥2且为偶数，验证可知n＝5,8满足题意．
3.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3 699块 B．3 474块 C．3 402块 D．3 339块
解析：选C 由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{an}，
易知其首项a1＝9，公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n.设数列{an}的前n项和为Sn，
由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列，所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n，
所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝S2n－2Sn＝eq \f(2n9＋18n,2)－2×eq \f(n9＋9n,2)＝9n2＝729，得n＝9，
所以三层共有扇面形石板的块数为S3n＝eq \f(3n9＋27n,2)＝eq \f(3×9×9＋27×9,2)＝3 402，故选C.
4．已知函数f(x)＝lg2(x－1)＋2，数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，则eq \f(fan＋fan＋1,2)与feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(an＋an＋1,2)))的大小关系是( )
A.eq \f(fan＋fan＋1,2)>feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(an＋an＋1,2)))
B.eq \f(fan＋fan＋1,2)