2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案8.2《两条直线的位置关系》 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.结合斜率公式，判断两条直线平行或垂直，凸显逻辑推理的核心素养．
2．结合解方程组求两条相交直线的交点坐标，凸显数学运算的核心素养．
3．结合距离问题，考查距离公式的应用，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
[理清主干知识]
1．两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直：
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝﹣1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解．
3．三种距离公式
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．过点(1,0)且与直线x﹣2y﹣2＝0平行的直线方程是( )
A．x﹣2y﹣1＝0 B．x﹣2y＋1＝0
C．2x＋y﹣2＝0 D．x＋2y﹣1＝0
2．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x﹣y＋3＝0的距离为1，则a等于( )
A.eq \r(2) B．2﹣eq \r(2) C.eq \r(2)﹣1 D.eq \r(2)＋1
3．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是( )
A．(﹣a﹣1，﹣b﹣1) B．(﹣b﹣1，﹣a﹣1)
C．(﹣a，﹣b) D．(﹣b，﹣a)
4．过两直线l1：x﹣3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交点和原点的直线方程为__________．
二、易错点练清
1．平行线3x＋4y﹣9＝0和6x＋8y＋2＝0的距离是( )
A.eq \f(8,5) B．2 C.eq \f(11,5) D.eq \f(7,5)
2．若直线l1：x＋y﹣1＝0与直线l2：x＋a2y＋a＝0平行，则实数a＝________.
3．已知直线(m＋1)x＋(2m﹣1)y＝3与(3m﹣1)x﹣(2m2﹣11m＋5)y＝5平行，则实数m的值为________．
考点一 两直线的平行与垂直
[典题例析]
(1)(多选)直线l1：x＋my﹣1＝0，l2：(m﹣2)x＋3y＋1＝0，则下列说法正确的是( )
A．若l1∥l2，则m＝﹣1或m＝3 B．若l1∥l2，则m＝﹣1
C．若l1⊥l2，则m＝﹣eq \f(1,2) D．若l1⊥l2，则m＝eq \f(1,2)
(2)已知直线l1：mx＋y﹣1＝0与直线l2：(m﹣2)x＋my﹣2＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的( )
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
(3)已知经过点A(﹣2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，﹣1)和点Q(a，﹣2a)的直线l2互相垂直，则实数a的值为________．
[方法技巧] 由一般式方程确定两直线位置关系的方法
[提醒] 当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．
[针对训练]
1．“直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y﹣2＝0平行”是“m＝2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知直线l1：mx＋y＋4＝0和直线l2：(m＋2)x﹣ny＋1＝0(m＞0，n＞0)互相垂直，则eq \f(m,n)的取值范围为________．
3．若直线l1：x＋2my﹣1＝0与l2：(3m﹣1)x﹣my﹣1＝0平行，则实数m的值为________．
考点二 两直线的交点与距离问题
[典例] (1)经过两条直线l1：x＋y﹣4＝0和l2：x﹣y＋2＝0的交点，且与直线2x﹣y﹣1＝0垂直的直线方程为________________.
(2)直线l过点P(﹣1,2)且到点A(2,3)和点B(﹣4,5)的距离相等，则直线l的方程为________________．
[方法技巧]
1．求过两直线交点的直线方程的方法
求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．
2．利用距离公式解题的注意点
(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0﹣a|，到直线y＝b的距离d＝|y0﹣b|；
(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等．
[针对训练]
1．点(0，﹣1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
2．若直线l与两直线y＝1，x﹣y﹣7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，﹣1)，则直线l的斜率是( )
A．﹣eq \f(2,3) B.eq \f(2,3) C．﹣eq \f(3,2) D.eq \f(3,2)
3．已知l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，﹣1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是__________．
考点三 两直线的对称问题
考法(一) 点关于点的对称
[例1] 过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y﹣8＝0和l2：x﹣3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为____________________．
[方法技巧]
若点M(x1，y1)和点N(x，y)关于点P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))进而求解．
考法(二) 点关于线的对称
[例2] 已知入射光线经过点M(﹣3,4)，被直线l：x﹣y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________________．
[方法技巧]
1．若点A(a，b)与点B(m，n)关于直线Ax＋By＋C＝0(A≠0，B≠0)对称，则直线Ax＋By＋C＝0垂直平分线段AB，即有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(n－b,m－a)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))
2．几个常用结论
(1)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，﹣y)，关于y轴的对称点为(﹣x，y)．
(2)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝﹣x的对称点为(﹣y，﹣x)．
(3)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a﹣x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b﹣y)．
考法(三) 线关于线对称
[例3] 直线l1：2x＋y﹣4＝0关于直线l：x﹣y＋2＝0对称的直线l2的方程为________．
[方法技巧]
求直线l1关于直线l对称的直线l2，有两种处理方法：
(1)在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程．
(2)设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(x1，y1)(P1在直线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程．
考法(四) 线关于点对称
[例4] 已知直线l：2x﹣3y＋1＝0，点A(﹣1，﹣2)，则直线l关于点A对称的直线m的方程为________________．
[方法技巧]
直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解．
创新思维角度——融会贯通学妙法
活用直线系方程解决求直线问题
类型(一) 过直线交点的直线系方程
[例1] 已知两条直线l1：x﹣2y＋4＝0和l2：x＋y﹣2＝0的交点为P，求过点P且与直线l3：3x﹣4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
[名师微点]
解决本例的方法一般有：一是通过联立方程组求交点，再结合两直线垂直这一条件，求直线l的方程；二是利用过两直线交点的直线系方程求解，即过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R，但不包括l2)，恰当使用直线系方程可简化运算．
类型(二) 平行直线系方程
[例2] 过点A(1，﹣4)且与直线2x＋3y＋5＝0平行的直线方程为________________．
[名师微点]
当所求直线与已知直线Ax＋By＋C＝0平行时，可设所求直线为Ax＋By＋λ＝0(λ为参数，且λ≠C)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程．
类型(三) 垂直直线系方程
[例3] 经过A(2,1)，且与直线2x＋y﹣10＝0垂直的直线l的方程为________________．
[名师微点]
当所求直线与已知直线Ax＋By＋C＝0垂直时，可设所求直线为Bx﹣Ay＋λ＝0(λ为参数)，再结合其他条件求出λ，即得所求直线方程．
类型(四) 直线系方程的应用
[例4] 求过直线2x＋7y﹣4＝0与7x﹣21y﹣1＝0的交点，且和A(﹣3,1)，B(5,7)等距离的直线方程．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、基础练——练手感熟练度
1．若直线ax＋2y＋1＝0与直线x＋y﹣2＝0互相垂直，那么a的值等于( )
A．1 B．﹣eq \f(1,3) C．﹣eq \f(2,3) D．﹣2
2．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y﹣1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知A(4，﹣3)关于直线l的对称点为B(﹣2,5)，则直线l的方程是( )
A．3x＋4y﹣7＝0 B．3x﹣4y＋1＝0
C．4x＋3y﹣7＝0 D．3x＋4y﹣1＝0
4．直线3x﹣4y＋5＝0关于x轴对称的直线的方程是( )
A．3x＋4y＋5＝0 B．3x＋4y﹣5＝0
C．﹣3x＋4y﹣5＝0 D．﹣3x＋4y＋5＝0
5．已知点P(4，a)到直线4x﹣3y﹣1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是( )
A．[﹣10,10] B．[﹣10,5] C．[﹣5,5] D．[0,10]
6．经过直线3x﹣2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x﹣y＋4＝0的直线方程为__________．
二、综合练——练思维敏锐度
1．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是( )
A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定
2．三条直线l1：x﹣y＝0，l2：x＋y﹣2＝0，l3：5x﹣ky﹣15＝0构成一个三角形，则k的取值范围是( )
A．k∈R
B．k∈R且k≠±1，k≠0
C．k∈R且k≠±5，k≠﹣10
D．k∈R且k≠±5，k≠1
3．(多选)已知直线l1：2x＋3y﹣1＝0和l2：4x＋6y﹣9＝0，若直线l到直线l1的距离与到直线l2的距离之比为1∶2，则直线l的方程为( )
A．2x＋3y﹣8＝0 B．4x＋6y＋5＝0
C．6x＋9y﹣10＝0 D．12x＋18y﹣13＝0
4．若直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l2：2x＋6y﹣3＝0的距离为eq \r(10)，则m＝( )
A．7 B.eq \f(17,2) C．14 D．17
5．直线ax＋y＋3a﹣1＝0恒过定点M，则直线2x＋3y﹣6＝0关于M点对称的直线方程为( )
A．2x＋3y﹣12＝0 B．2x﹣3y﹣12＝0
C．2x﹣3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
6．两条平行线l1，l2分别过点P(﹣1,2)，Q(2，﹣3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是( )
A．(5，＋∞) B．(0,5] C．(eq \r(34)，＋∞) D．(0，eq \r(34) ]
7．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n等于( )
A.eq \f(34,5) B.eq \f(36,5) C.eq \f(28,3) D.eq \f(32,3)
8．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是 (﹣4,2)，(3,1)，则点C的坐标为( )
A．(﹣2,4) B．(﹣2，﹣4) C．(2,4) D．(2，﹣4)
9.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为( )
A．2 B．1 C.eq \f(8,3) D.eq \f(4,3)
10．与直线x﹣2y＋3＝0平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程是__________．
11．若两直线kx﹣y＋1＝0和x﹣ky＝0相交且交点在第二象限，则k的取值范围是________．
12．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx﹣y＋3﹣m＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
13．已知0＜k＜4，直线l1：kx﹣2y﹣2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y﹣4k2﹣4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．
14．已知方程(2＋λ)x﹣(1＋λ)y﹣2(3＋2λ)＝0与点P(﹣2,2)．
(1)证明：对任意的实数λ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标；
(2)证明：该方程表示的直线与点P的距离d小于4eq \r(2).
15．已知直线l：3x﹣y﹣1＝0及点A(4,1)，B(0,4)，C(2,0)．
(1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小；
(2)试在l上求一点Q，使|AQ|﹣|BQ|最大．
类型
条件
距离公式
两点间
的距离
点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离
|P1P2|＝
eq \r(x2－x12＋y2－y12)
点到直线
的距离
点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离
d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))
两平行直线
间的距离
两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离
d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))
直线方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \\al(2,1)＋Beq \\al(2,1)≠0)，
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \\al(2,2)＋Beq \\al(2,2)≠0)
l1与l2垂直
的充要条件
A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行
的充分条件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)≠eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)
l1与l2相交
的充分条件
eq \f(A1,A2)≠eq \f(B1,B2)(A2B2≠0)
l1与l2重合
的充分条件
eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)＝eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0)