2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案8.3《圆的方程及综合问题》 (2份打包，原卷版+教师版)

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知识点一 圆的方程
1．圆的定义及方程
2．点与圆的位置关系
点M(x0，y0)，圆的标准方程(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2.
[提醒] 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2﹣4F的符号，只有大于0时才表示圆．
3．谨记常用结论
若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：
(1)当F＝0时，圆过原点．
(2)当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上．
(3)当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点．
(4)当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切．
[重温经典]
1．圆x2＋y2﹣4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(2,3) B．(﹣2,3) C．(﹣2，﹣3) D．(2，﹣3)
2．圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是( )
A．(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D．(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝2
3．方程x2 ＋y2＋mx﹣2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是( )
A．(﹣∞，﹣eq \r(2))∪(eq \r(2)，＋∞) B．(﹣∞，﹣2eq \r(2))∪(2eq \r(2)，＋∞)
C．(﹣∞，﹣eq \r(3))∪(eq \r(3)，＋∞) D．(﹣∞，﹣2eq \r(3))∪(2eq \r(3)，＋∞)
4．若点(1,1)在圆(x﹣a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是( )
A．(﹣1,1) B．(0,1) C．(﹣∞，﹣1)∪(1，＋∞) D．a＝±1
5．已知圆C经过A(5,2)，B(﹣1,4)两点，圆心在x轴上，则圆C的方程为____________．
6．已知圆C经过点A(1,3)，B(4,2)，且与直线2x＋y﹣10＝0相切，则圆C的标准方程为________________．
知识点二 直线与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系(半径r，圆心到直线的距离为d)
2．圆的切线
(1)过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2上一点M(x0，y0)的切线方程是(x0﹣a)(x﹣a)＋(y0﹣b)(y﹣b)＝r2.
(2)过圆外一点的圆的切线
过圆外一点M(x0，y0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而得切线方程；若求出的k值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x＝x0.
(3)切线长
①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2﹣4F>0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为 eq \r(x\\al(2,0)＋y\\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).
②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b＝eq \f(2ar,d).
[提醒] 过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数．
3．圆的弦长
直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：
(1)几何法：因为半弦长eq \f(L,2)、弦心距d、半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2eq \r(r2－d2).
(2)代数法：若直线y＝kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：
|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1﹣x2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1﹣y2|.
4．谨记常用结论
过直线Ax＋By＋C＝0和圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2﹣4F>0)交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0.
[重温经典]
1．直线l：x﹣y＋1＝0与圆C：x2＋y2﹣4x﹣2y＋1＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切 C．相交且过圆心 D．相交但不过圆心
2．若直线x﹣y＋1＝0与圆(x﹣a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[﹣3，﹣1] B．[﹣1,3] C．[﹣3,1] D．(﹣∞，﹣3]∪[1，＋∞)
3．圆C：x2＋y2﹣2x＝0被直线y＝eq \r(3)x截得的线段长为( )
A．2 B.eq \r(3) C．1 D.eq \r(2)
4．圆x2＋y2﹣4x＝0在点P(1，eq \r(3))处的切线方程为( )
A．x＋eq \r(3)y﹣2＝0 B．x＋eq \r(3)y﹣4＝0
C．x﹣eq \r(2)y＋4＝0 D．x﹣eq \r(3)y＋2＝0
5．设直线x﹣y＋a＝0与圆x2＋y2＋2x﹣4y＋2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则a＝( )
A．﹣1或1 B．1或5 C．﹣1或3 D．3或5
6．已知直线l与圆x2＋y2﹣4y＝0相交于A，B两点，且线段AB的中点P坐标为(﹣1,1)，则直线l的方程为__________．
知识点三 圆与圆的位置关系
1．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)
[提醒] 涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．
2．谨记常用结论
圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：
(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；
(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2)．
[重温经典]
1．圆O1：x2＋y2﹣2x＝0和圆O2：x2＋y2﹣4y＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
2．圆C1：(x﹣m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y﹣m)2＝4外切，则m的值为( )
A．2 B．﹣5 C．2或﹣5 D．不确定
3．圆x2＋y2＝8与圆x2＋y2＋4x﹣16＝0的公共弦长为( )
A．8 B．4 C．2 D．1
4．圆C1：x2＋y2＋2x＋2y﹣2＝0与圆C2：x2＋y2﹣4x﹣2y＋4＝0的公切线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
5．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay﹣6＝0(a>0)的公共弦的长为2eq \r(3)，则a＝________.
6．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y﹣a)2＝25相切，则常数a＝________.
第2课时 精研题型明考向——圆的方程、直线与圆的位置关系
一、真题集中研究——明考情
1．已知圆x2＋y2﹣6x＝0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若直线l与曲线y＝eq \r(x)和圆x2＋y2＝eq \f(1,5)都相切，则l的方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋eq \f(1,2) C．y＝eq \f(1,2)x＋1 D．y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2)
3．已知⊙M：x2＋y2﹣2x﹣2y﹣2＝0，直线l：2x＋y＋2＝0，P为l上的动点．过点P作⊙M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|·|AB|最小时，直线AB的方程为( )
A．2x﹣y﹣1＝0 B．2x＋y﹣1＝0
C．2x﹣y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
4．直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x﹣2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] B．[4,8] C．[eq \r(2)，3eq \r(2)] D．[2eq \r(2)，3eq \r(2)]
[把脉考情]
二、题型精细研究——提素养
题型一 求圆的方程
[典例] (1)已知圆M与直线3x﹣4y＝0及3x﹣4y＋10＝0都相切，圆心在直线y＝﹣x﹣4上，则圆M的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y﹣1)2＝1 B．(x﹣3)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1 D．(x﹣3)2＋(y﹣1)2＝1
(2)一个圆与y轴相切，圆心在直线x﹣3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为2eq \r(7)，则该圆的方程为_______________________________________________________．
[方法技巧]
1．求圆的方程的2种方法
(1)几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
2．确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；
(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．
[针对训练]
1．已知直线l：3x﹣4y﹣15＝0与圆C：x2＋y2﹣2x﹣4y＋5﹣r2＝0(r>0)相交于A，B两点，若eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝6，则圆C的标准方程为( )
A．(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝25 B．(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝36
C．(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝16 D．(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝49
2．已知圆C的圆心是直线x﹣y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与圆(x﹣2)2＋(y﹣3)2＝8相外切，则圆C的方程为______________．
题型二 弦长问题
[典例] (1)若a，b，c是△ABC三个内角的对边，且csin C＝ 3asin A＋3bsin B，则直线l：ax﹣by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝12所截得的弦长为( )
A．4eq \r(6) B．2eq \r(6) C．6 D．5
(2)过点(1,1)的直线l与圆(x﹣2)2＋(y﹣3)2＝9相交于A，B两点，当|AB|＝4时，直线l的方程为__________．
[方法技巧] 解决有关弦长问题的常用方法及结论
[针对训练]
1．已知圆C：(x﹣3)2＋(y﹣1)2＝3及直线l：ax＋y﹣2a﹣2＝0，当直线l被圆C截得的弦长最短时，直线l的方程为________．
2．函数f(x)＝xln x＋a的图象在x＝1处的切线被圆C：x2＋y2﹣2x＋4y﹣4＝0截得的弦长为2，则实数a的值为________．
题型三 切线问题
[典例] 已知点P(eq \r(2)＋1,2﹣eq \r(2))，点M(3,1)，圆C：(x﹣1)2＋(y﹣2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．
[方法技巧]
求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程的方法
[提醒] 设切线方程时一定要注意斜率不存在的情况．
[针对训练]
1．平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y﹣5＝0
B．2x＋y＋eq \r(5)＝0或2x＋y﹣eq \r(5)＝0
C．2x﹣y＋5＝0或2x﹣y﹣5＝0
D．2x﹣y＋eq \r(5)＝0或2x﹣y﹣eq \r(5)＝0
2．直线l是圆x2＋y2＝4在(﹣1，eq \r(3))处的切线，点P是圆x2﹣4x＋y2＋3＝0上的动点，则点P到直线l的距离的最小值等于( )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \r(3) D．2
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、综合练——练思维敏锐度
1．圆(x﹣2)2＋y2＝4关于直线y＝eq \f(\r(3),3)x对称的圆的方程是( )
A．(x﹣eq \r(3))2＋(y﹣1)2＝4 B．(x﹣eq \r(2))2＋(y﹣eq \r(2))2＝4
C．x2＋(y﹣2)2＝4 D．(x﹣1)2＋(y﹣eq \r(3))2＝4
2．过点(2,1)的直线中被圆(x﹣1)2＋(y＋2)2＝5截得的弦长最大的直线方程是( )
A．3x﹣y﹣5＝0 B．3x＋y﹣7＝0
C．x＋3y﹣5＝0 D．x﹣3y＋5＝0
3．过点(﹣4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x﹣4y﹣20＝0交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为( )
A．5x＋12y＋20＝0 B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
C．5x﹣12y＋20＝0 D．5x﹣12y＋20＝0或x＋4＝0
4．已知直线y＝ax与圆C：x2＋y2﹣6y＋6＝0相交于A，B两点，C为圆心．若△ABC为等边三角形，则a的值为( )
A．1 B．±1 C.eq \r(3) D．±eq \r(3)
5．已知圆(x﹣2)2＋y2＝1上的点到直线y＝eq \r(3)x＋b的最短距离为eq \r(3)，则b的值为( )
A．﹣2或2 B．2或4eq \r(3)＋2 C．﹣2或4eq \r(3)＋2 D．﹣4eq \r(3)﹣2或2
6．(多选)若直线l：y＝kx＋1与圆C：(x＋2)2＋(y﹣1)2＝2相切，则直线l与圆D：(x﹣2)2＋y2＝3的位置关系是( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
7．已知直线l：x﹣eq \r(3)y﹣a＝0与圆C：(x﹣3)2＋(y＋eq \r(3))2＝4交于点M，N，点P在圆C上，且∠MPN＝eq \f(π,3)，则实数a的值等于( )
A．2或10 B．4或8 C．6±2eq \r(2) D．6±2eq \r(3)
8．已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x﹣y＋3＝0与圆C相切于点A(﹣2，﹣1)，则m＝________，r＝________.
9．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x﹣y＋6＝0，在直线l上任取一点P向圆C作切线，切点为A，B，连接AB，则直线AB一定过定点________．
10．已知圆C：x2＋y2﹣2x﹣4y＋1＝0上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，则|MP|＝________.
11．已知圆C经过点(0,1)且圆心为C(1,2)．
(1)写出圆C的标准方程；
(2)过点P(2，﹣1)作圆C的切线，求该切线的方程及切线长．
12．已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，﹣2)，求直线l与圆M的方程．
二、自选练——练高考区分度
1．(多选)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x﹣2y＋4＝0相交于A，B两点，下列说法正确的为( )
A．两圆有两条公切线
B．直线AB的方程为y＝2x＋2
C．线段AB的长为eq \f(6,5)
D．圆O上点E，圆M上点F，则|EF|的最大值为eq \r(5)＋3
2．设过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，0))的直线l与圆C：x2＋y2﹣4x﹣2y＋1＝0的两个交点为A，B，若8eq \(PA,\s\up7(―→))＝5eq \(AB,\s\up7(―→))，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝( )
A.eq \f(8\r(5),5) B.eq \f(4\r(6),3) C.eq \f(6\r(6),5) D.eq \f(4\r(5),3)
3.如图，已知圆C与y轴相切于点T(0，2)，与x轴的正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B两点，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN为定值．
第3课时 难点专攻夺高分——与圆有关的综合问题
圆的方程是高中数学的一个重要知识点，随着高考改革的变化，圆锥曲线的考查难度逐渐降低，而圆作为圆锥曲线中的一种特殊形式，命题的热度越来越高，高考中，除了圆的方程的求法外，圆的方程与其他知识的综合问题也是高考考查的热点，常涉及轨迹问题和最值问题．解决此类问题的关键是数形结合思想的运用．
题型一 与圆有关的轨迹问题
[典例] 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(﹣1,0)，B(3,0)．求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
[方法技巧] 求与圆有关的轨迹问题的方法
[针对训练]
阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k(k>0，k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足eq \f(|PA|,|PB|)＝eq \r(2)， 求|PA|2＋|PB|2的最小值．
题型二 与圆有关的范围或最值问题
考法(一) 几何法求最值
[例1] 已知实数x，y满足方程x2＋y2﹣4x＋1＝0，则
(1)eq \f(y,x)的最大值为______；
(2)y﹣x的最大值和最小值分别为_____________；
(3)x2＋y2的最大值和最小值分别为_________________________________________．
[方法技巧] 与圆有关最值问题的求解策略
处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：
考法(二) 代数法求最值
[例2] 设点P(x，y)是圆：x2＋(y﹣3)2＝1上的动点，定点A(2,0)，B(﹣2,0)，则eq \(PA,\s\up7(―→))·eq \(PB,\s\up7(―→))的最大值为________．
[方法技巧]
本题考查综合运用知识解决问题的能力．用代数法求最值的关键是建立所求问题的函数关系式，利用函数求最值的方法求解，在具体求解过程中要注意函数定义域的具体范围．
[针对训练]
1．已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x﹣3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知点A(﹣1,0)，B(0,2)，点P是圆C：(x﹣1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值分别是( )
A．2,2﹣eq \f(\r(5),2) B．2＋eq \f(\r(5),2)，2﹣eq \f(\r(5),2) C.eq \r(5)，4﹣eq \r(5) D.eq \f(\r(5),2)＋1，eq \f(\r(5),2)﹣1
3．设P为直线3x﹣4y＋11＝0上的动点，过点P作圆C：x2＋y2﹣2x﹣2y＋1＝0的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为________．
题型三 构造辅助圆
[典例] 已知圆C：(x﹣3)2＋(y﹣4)2＝1和两点A(﹣m，0)，B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为( )
A．7 B．6 C．5 D．4
[方法技巧]
对于符合圆的特征的条件，可以构造辅助圆帮助思考．如利用圆的定义、圆周上90度的角所对弦是直径、四点共圆的特征来构造圆，做到图中无圆，心中有圆．
[针对训练]
1．椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的焦点为F1，F2，点P为其上的动点．当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是________．
2．在直角坐标平面内，与点O(0,0)距离为1，且与点A(﹣3,4)距离为4的直线共有________条．
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、综合练——练思维敏锐度
1．直线y＝kx＋3与圆(x﹣3)2＋(y﹣2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2eq \r(3)，则k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(3,4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)，0)) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)，0))
2．已知圆C：x2＋y2﹣8y＋14＝0，直线l：mx﹣y﹣3m＋1＝0与x轴、y轴分别交于A，B两点．设圆C上任意一点P到直线l的距离为d，当d取最大值时，△PAB的面积为( )
A．3eq \r(2) B．8 C．6 D．4eq \r(2)
3．在平面直角坐标系内，过点P(0,3)的直线与圆心为C的圆x2＋y2﹣2x﹣3＝0相交于A，B两点，则△ABC面积的最大值是( )
A．2 B．4 C.eq \r(3) D．2eq \r(3)
4．(多选)如图，已知A(2,0)，B(1,1)，C(﹣1,1)，D(﹣2,0)， SKIPIF 1 < 0 是以OD为直径的圆上的一段圆弧， SKIPIF 1 < 0 是以BC为直径的圆上的一段圆弧， SKIPIF 1 < 0 是以OA为直径的圆上的一段圆弧，三段弧构成曲线W，则下述正确的是( )
A．曲线W与x轴围成区域的面积等于2π
B．曲线W上有5个整点(横、纵坐标均为整数的点)
C. SKIPIF 1 < 0 所在圆的方程为x2＋(y﹣1)2＝1
D. SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的公切线方程为x＋y＝eq \r(2)＋1
5．在平面直角坐标系xOy中，圆C经过点(0,1)，(0,3)，且与x轴的正半轴相切，若圆C上存在点M，使得直线OM与直线y＝kx(k>0)关于y轴对称，则k的最小值为( )
A.eq \f(2\r(3),3) B.eq \r(3) C．2eq \r(3) D．4eq \r(3)
6．(多选)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中， A(﹣2,0)，B(4,0)，点P满足eq \f(PA,PB)＝eq \f(1,2)，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是( )
A．C的方程为(x＋4)2＋y2＝16
B．在C上存在点D，使得D到点(1,1)的距离为3
C．在C上存在点M，使得|MO|＝2|MA|
D．在C上存在点N，使得|NO|2＋|NA|2＝4
7．已知实数x，y满足(x﹣2)2＋(y﹣1)2＝1，则z＝eq \f(y＋1,x)的最大值与最小值分别为______和______．
8．已知点P是直线l：kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2﹣2y＝0的两条切线，切点分别为A，B.若四边形PACB的最小面积为2，则k＝________.
9．已知点P(2,2)，圆C：x2＋y2﹣8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
10．已知圆C：x2＋(y﹣a)2＝4，点A(1,0)．
(1)当过点A的圆C的切线存在时，求实数a的取值范围；
(2)设AM，AN为圆C的两条切线，M，N为切点，当|MN|＝eq \f(4\r(5),5)时，求MN所在直线的方程．
二、自选练——练高考区分度
1．若圆x2＋y2﹣4x﹣4y﹣10＝0上至少有三个不同点到直线l：ax＋by＝0的距离为2eq \r(2)，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．[2﹣eq \r(3)，1] B．[2﹣eq \r(3)，2＋eq \r(3)]
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\r(3))) D．[0，＋∞)
2．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ(λ＞0，λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆O：x2＋y2＝1上的动点M和定点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))，B(1,1)，则2|MA|＋|MB|的最小值为( )
A.eq \r(6) B．eq \r(7) C.eq \r(10) D．eq \r(11)
3．在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，以O为圆心的圆与直线x﹣eq \r(3)y﹣4＝0相切．
(1)求圆O的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋3与圆O交于A，B两点，在圆O上是否存在一点Q，使得eq \(OQ,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))？若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，请说明理由．
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标准方程
(x﹣a)2＋(y﹣b)2＝r2(r>0)
圆心：(a，b)半径：r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2﹣4F>0)
圆心：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半径：r＝eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)
理论依据
点到圆心的距离与半径的大小关系
三种情况
(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2eq \a\vs4\al(＝)r2⇔点在圆上
(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2eq \a\vs4\al(>)r2⇔点在圆外
(x0﹣a)2＋(y0﹣b)2eq \a\vs4\al(<)r2⇔点在圆内
相离
相切
相交
图形
量
化
方程
观点
Δeq \a\vs4\al(<)0
Δ＝0
Δeq \a\vs4\al(>)0
几何
观点
d>r
deq \a\vs4\al(＝)r
d相离
外切
相交
内切
内含
图形
量的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1﹣r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1﹣r2|
d＜|r1﹣r2|
常规
角度
1.圆的方程．主要考查圆的方程的求法，圆的最值问题
2.直线与圆的位置关系．主要考查圆的切线方程、圆的弦长问题
创新
角度
与三角形(或四边形)结合求面积问题，与向量、三角函数交汇考查最值或范围问题
几何法
如图所示，设直线l被圆C截得的弦为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则有关系式：|AB|＝2eq \r(r2－d2)
代数法
若斜率为k的直线与圆相交于A(xA，yA)，B(xB，yB)两点，则|AB|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(xA＋xB2－4xAxB)＝ eq \r(1＋\f(1,k2))·|yA﹣yB|(其中k≠0)．特别地，当k＝0时，|AB|＝|xA﹣xB|；当斜率不存在时，|AB|＝|yA﹣yB|，当直线与圆相交时，半径、半弦、弦心距构成直角三角形，在解题时，要注意把它和点到直线的距离公式结合起来使用
几何法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y﹣y0＝k(x﹣x0)，即kx﹣y＋y0﹣kx0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k的值，进而写出切线方程，当斜率不存在时，要进行验证
代数法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为y﹣y0＝k(x﹣x0)，即y＝kx﹣kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切线方程即可求出，当斜率不存在时，要进行验证
直接法
直接根据题目提供的条件列出方程
定义法
根据圆、直线等定义列方程
几何法
利用圆的几何性质列方程
代入法
找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式
常见类型
解题思路
μ＝eq \f(y－b,x－a)型
转化为动直线斜率的最值问题
t＝ax＋by型
转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解
m＝(x﹣a)2＋
(y﹣b)2型
转化为动点与定点的距离的平方的最值问题