2023-2024年新高考数学一轮复习培优教案8.7《直线与圆锥曲线的位置关系》 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养；
2．了解圆锥曲线的简单应用，凸显数学抽象、数学运算的核心素养．
3．通过学习直线与圆锥曲线的位置关系，凸显直观想象的核心素养．
[理清主干知识]
1．直线与圆锥曲线的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线C：F(x，y)＝0，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,Fx，y＝0))消去y得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l与圆锥曲线C有两个公共点；
Δ＝0⇔直线l与圆锥曲线C有一个公共点；
Δ＜0⇔直线l与圆锥曲线C有零个公共点．
(2)当a＝0，b≠0时，圆锥曲线C为抛物线或双曲线．
当C为双曲线时，l与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个．
当C为抛物线时，l与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个．
2．圆锥曲线的弦长公式
设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1﹣x2|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1﹣y2|＝eq \r(1＋\f(1,k2))·eq \r(y1＋y22－4y1y2).
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(直线与圆锥曲线的位置关系)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
解析：选C 结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．故选C.
2．(弦长公式)过抛物线y＝eq \f(1,4)x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，题中的抛物线x2＝4y的焦点坐标是F(0,1)，
直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)x＋1，
即x＝eq \r(3)(y﹣1)．由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝4y，,x＝\r(3)y－1，))消去x得3(y﹣1)2＝4y，
即3y2﹣10y＋3＝0，y1＋y2＝eq \f(10,3)，|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝y1＋y2＋2＝eq \f(16,3).
答案：eq \f(16,3)
二、易错点练清
1．(忽视相切与交点个数的关系)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A 直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．故选A.
2．(忽略直线过定点)直线y＝kx﹣k＋1与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的位置关系为( )
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
解析：选A 直线y＝kx﹣k＋1＝k(x﹣1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．故选A.
考点一 直线与圆锥曲线的位置关系
[典例] (1)过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )
A．有且只有一条 B．有且只有两条
C．有且只有三条 D．有且只有四条
(2)若直线y＝kx＋1与椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,m)＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(0，＋∞) C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞)
[解析] (1)设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋eq \f(p,2)＋xB＋eq \f(p,2)＝xA＋xB＋1＝3>2p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．
(2)由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0[答案] (1)B (2)D
[方法技巧] 直线与圆锥曲线位置关系的判定方法
[针对训练]
1．若直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的交点个数为( )
A．至多一个 B．2 C．1 D．0
解析：选B ∵直线mx＋ny＝4和圆O：x2＋y2＝4没有交点，∴圆心到直线的距离d＝eq \f(4,\r(m2＋n2)) ＞2，∴m2＋n2＜4.∴eq \f(m2,9)＋eq \f(n2,4)＜eq \f(m2,9)＋eq \f(4－m2,4)＝1﹣eq \f(5,36)m2＜1，∴点(m，n)在椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的交点有2个．
2．已知双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1与直线y＝2x有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．(1，eq \r(5)) B．(1，eq \r(5)] C．(eq \r(5)，＋∞) D．[eq \r(5)，＋∞)
解析：选C 因为双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，
则由题意得eq \f(b,a)>2，所以e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)>eq \r(1＋4)＝eq \r(5).
考点二 弦长问题
[典例] 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点P(2,1)，且离心率e＝eq \f(\r(3),2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为eq \f(1,2)，直线l与椭圆C交于A，B两点．求△PAB面积的最大值．
[解] (1)∵e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝eq \f(3,4)，∴a2＝4b2.又椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点P(2,1)，
∴eq \f(4,a2)＋eq \f(1,b2)＝1，∴a2＝8，b2＝2.故所求椭圆方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)设l的方程为y＝eq \f(1,2)x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(1,2)x＋m，,\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，))整理得x2＋2mx＋2m2﹣4＝0.
∵Δ＝4m2﹣8m2＋16>0，解得|m|<2.∴x1＋x2＝﹣2m，x1x2＝2m2﹣4.
则|AB|＝ eq \r(1＋\f(1,4))× eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(54－m2).点P到直线l的距离d＝eq \f(|m|,\r(1＋\f(1,4)))＝eq \f(2|m|,\r(5)).
∴S△PAB＝eq \f(1,2)d|AB|＝eq \f(1,2)×eq \f(2|m|,\r(5))×eq \r(54－m2)＝eq \r(m24－m2)≤eq \f(m2＋4－m2,2)＝2.
当且仅当m2＝2，即m＝±eq \r(2)时取得最大值．
[方法技巧]
求解弦长的4种方法
(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．
(3)联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到(x1﹣x2)2，(y1﹣y2)2，代入两点间的距离公式．
(4)当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．
[针对训练]
1．已知斜率为1的直线l与椭圆eq \f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为( )
A．2 B.eq \f(4\r(5),5) C.eq \f(4\r(10),5) D．eq \f(8\r(10),5)
解析：选C 设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋t，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4y2＝4，,y＝x＋t))消去y，得5x2＋8tx＋4(t2﹣1)＝0，则x1＋x2＝﹣eq \f(8,5)t，x1x2＝eq \f(4t2－1,5)，
∴|AB|＝eq \r(2)|x1﹣x2|＝eq \r(2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(2)·eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8,5)t))2－4×\f(4t2－1,5))＝eq \f(4\r(2),5)eq \r(5－t2)，
当t＝0时，|AB|max＝eq \f(4\r(10),5).
2．设斜率为eq \r(3)的直线过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，与C交于A，B两点，且|AB|＝eq \f(16,3)，则p＝( )
A.eq \f(1,2) B．1 C．2 D．4
解析：选C 因为斜率为eq \r(3)的直线过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，所以直线方程为y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px))得3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))2＝2px，整理得3x2﹣5px＋eq \f(3,4)p2＝0，
所以x1＋x2＝eq \f(5p,3)，因此eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝x1＋x2＋p＝eq \f(8p,3)，又eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(AB))＝eq \f(16,3)，所以eq \f(8p,3)＝eq \f(16,3)，解得p＝2.
3．斜率为eq \r(3)的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：由题意得直线方程为y＝eq \r(3)(x﹣1)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\r(3)x－1，,y2＝4x，))得3x2﹣10x＋3＝0，∴xA＋xB＝eq \f(10,3)，∴|AB|＝1＋xA＋1＋xB＝2＋eq \f(10,3)＝eq \f(16,3).
答案：eq \f(16,3)
考点三 中点弦问题
[典例] 已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的离心率为eq \f(1,2)，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且△ABC面积的最大值为2eq \r(3).
(1)求椭圆E的方程；
(2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝﹣4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD平分线段MN.
[解] (1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(e＝\f(c,a)＝\f(1,2)，,ab＝2\r(3)，,a2＝b2＋c2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝\r(3)，))故椭圆E的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(﹣4，n)，
线段MN的中点P(x0，y0)，则2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，由(1)可得F(﹣1,0)，
则直线DF的斜率为kDF＝eq \f(n－0,－4－－1)＝﹣eq \f(n,3)，
当n＝0时，直线MN的斜率不存在，根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN.
当n≠0时，直线MN的斜率kMN＝eq \f(3,n)＝eq \f(y1－y2,x1－x2).
∵点M，N在椭圆E上，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),4)＋\f(y\\al(2,1),3)＝1，,\f(x\\al(2,2),4)＋\f(y\\al(2,2),3)＝1，))
整理得：eq \f(x1＋x2x1－x2,4)＋eq \f(y1＋y2y1－y2,3)＝0，
又2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，∴eq \f(y0,x0)＝﹣eq \f(n,4)，直线OP的斜率为kOP＝﹣eq \f(n,4)，
∵直线OD的斜率为kOD＝﹣eq \f(n,4)，∴直线OD平分线段MN.
[方法技巧]
1．“点差法”的4步骤
处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：
2．“点差法”的常见结论
设AB为圆锥曲线的弦，点P为弦AB的中点：
(1)椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)中的中点弦问题：kAB·kOP＝﹣eq \f(b2,a2)；
(2)双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)中的中点弦问题：kAB·kOP＝eq \f(b2,a2)；
(3)抛物线y2＝2px(p＞0)中的中点弦问题：kAB＝eq \f(p,y0)(y0为中点P的纵坐标)．
[针对训练]
1．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x﹣y＋5＝0，弦的中点坐标是M(﹣4,1)，则椭圆的离心率是( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(5),5)
解析：选C 设直线x﹣y＋5＝0与椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(﹣4,1)，所以x1＋x2＝﹣8，y1＋y2＝2.易知直线AB的斜率k＝eq \f(y2－y1,x2－x1)＝1.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),a2)＋\f(y\\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\\al(2,2),a2)＋\f(y\\al(2,2),b2)＝1，))两式相减得，eq \f(x1＋x2x1－x2,a2)＋eq \f(y1＋y2y1－y2,b2)＝0，所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝ ﹣eq \f(b2,a2)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)，所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，于是椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝ eq \r(1－\f(b2,a2))＝eq \f(\r(3),2).故选C.
2．在椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1中，以点M(1,2)为中点的弦所在直线方程为______________．
解析：设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
代入椭圆方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),16)＋\f(y\\al(2,1),9)＝1，,\f(x\\al(2,2),16)＋\f(y\\al(2,2),9)＝1，))两式相减得eq \f(x1＋x2x1－x2,16)＋eq \f(y1＋y2y1－y2,9)＝0，
所以eq \f(x1＋x2x1－x2,16)＝﹣eq \f(y1＋y2y1－y2,9)，即﹣eq \f(9x1＋x2,16y1＋y2)＝eq \f(y1－y2,x1－x2)，
因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，所以eq \f(y1－y2,x1－x2)＝﹣eq \f(9,32)，故该直线方程为y﹣2＝﹣eq \f(9,32)(x﹣1)，
即9x＋32y﹣73＝0.
答案：9x＋32y﹣73＝0
3．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，且左焦点与抛物线y2＝﹣4x的焦点重合．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N，线段MN的中点记为A，且线段MN的垂直平分线过定点Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，0))，求k的取值范围．
解：(1)设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，
∵抛物线y2＝﹣4x的焦点坐标为(﹣1,0)，
∴椭圆的左焦点F1的坐标为(﹣1,0)，∴c＝1，
又∵椭圆过点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(3,2)))，∴2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，∴a＝2，∴b＝eq \r(3).
∴椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x，y)．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),4)＋\f(y\\al(2,1),3)＝1，,\f(x\\al(2,2),4)＋\f(y\\al(2,2),3)＝1，))两式相减得eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,2),4)＝﹣eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),3)，即eq \f(y1－y2,x1－x2)＝﹣eq \f(3,4)·eq \f(x1＋x2,y1＋y2)，
∴k＝﹣eq \f(3,4)·eq \f(2x,2y)，∴点A的坐标满足方程y＝﹣eq \f(3,4k)x.①
又∵AG⊥MN，且直线AG过点Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，0))，
∴线段MN的垂直平分线AG：y＝﹣eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,8))).②
联立①②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝－\f(3,4k)x，,y＝－\f(1,k)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,8)))，))解得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,8k))).∵点A在椭圆内部，∴eq \f(1,16)＋eq \f(3,64k2)<1.
∴k2>eq \f(1,20)，∴k>eq \f(\r(5),10)或k<﹣eq \f(\r(5),10).∴k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(5),10)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),10)，＋∞)).
创新思维角度——融会贯通学妙法
活用抛物线焦点弦的4个结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
结论1：x1·x2＝eq \f(p2,4).
结论2：y1·y2＝﹣p2.
结论3：|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α是直线AB的倾斜角)．
结论4：eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)为定值(F是抛物线的焦点)．
应用(一) 利用结论3或4解决问题
[例1] 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于( )
A．4 B.eq \f(9,2) C．5 D．6
[解析] 法一：由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图．
设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cs θ＝eq \f(|AE|,|AB|)＝eq \f(1,3)，所以tan θ＝2eq \r(2).则sin2θ＝8cs2θ，所以sin2θ＝eq \f(8,9).又y2＝4x，知2p＝4，
故利用弦长公式|AB|＝eq \f(2p,sin2θ)＝eq \f(9,2).
法二：因为|AF|＝2|BF|，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,2|BF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(3,2|BF|)＝eq \f(2,p)＝1，解得|BF|＝eq \f(3,2)，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝eq \f(9,2).
[答案] B
应用(二) 利用结论3解决问题
[例2] 设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(9\r(3),8) C.eq \f(63,32) D.eq \f(9,4)
[解析] 由2p＝3，及|AB|＝eq \f(2p,sin2α)，得|AB|＝eq \f(2p,sin2α)＝eq \f(3,sin230°)＝12.
原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝eq \f(3,8)，故S△AOB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(1,2)×12×eq \f(3,8)＝eq \f(9,4).
[答案] D
应用(三) 利用结论1或4解决问题
[例3] 如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为( )
A．5 B．6 C.eq \f(16,3) D．eq \f(20,3)
[解析] 法一：过A作l的垂线交l于点D，设l与x轴交于点E，由于F为AC的中点，所以EF为△ACD的中位线，所以p＝eq \f(1,2)|AD|＝eq \f(1,2)|AF|＝2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋eq \f(p,2)＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝eq \f(p2,4)＝1，所以x2＝eq \f(1,3)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋eq \f(1,3)＋2＝eq \f(16,3).
法二：过A作l的垂线交l于点D，设l与x轴的交点为E，由于F为AC的中点，
所以EF为△ACD的中位线，所以p＝eq \f(1,2)|AD|＝eq \f(1,2)|AF|＝2.
因为eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(2,p)，|AF|＝4，所以|BF|＝eq \f(4,3)，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋eq \f(4,3)＝eq \f(16,3).
[答案] C
eq \a\vs4\al([课时跟踪检测])
一、综合练——练思维敏锐度
1．直线y＝eq \f(b,a)x＋3与双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1的交点个数是( )
A．1 B．2 C．1或2 D．0
解析：选A 因为直线y＝eq \f(b,a)x＋3与双曲线的渐近线y＝eq \f(b,a)x平行，所以它与双曲线只有1个交点．
2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为eq \f(10,3)，则|AB|＝( )
A.eq \f(13,3) B．eq \f(14,3) C．5 D．eq \f(16,3)
解析：选D 过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|＝p＋x1＋x2.∵p＝2，∴|AB|＝2＋eq \f(10,3)＝eq \f(16,3).
3．过双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为( )
A．2 B．eq \f(3,2) C.eq \r(3) D．eq \r(2)
解析：选D ∵过双曲线eq \f(x2,a2)﹣eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，∴根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线y＝eq \f(b,a)x平行，∴eq \f(b,a)＝1，由e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(2).
4．已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为( )
A．y＝x﹣1 B．y＝﹣2x＋5
C．y＝﹣x＋3 D．y＝2x﹣3
解析：选D 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1，①,y\\al(2,2)＝4x2， ②))①﹣②得yeq \\al(2,1)﹣yeq \\al(2,2)＝4(x1﹣x2)，由题可知x1≠x2.∴eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)＝eq \f(4,2)＝2，即kAB＝2，∴直线l的方程为y﹣1＝2(x﹣2)，即2x﹣y﹣3＝0.故选D.
5．(多选)设椭圆的方程为eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．下列结论正确的是( )
A．直线AB与OM垂直
B．若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2x＋y﹣3＝0
C．若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(4,3)))
D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝eq \f(4\r(2),3)
解析：选BD 对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质kAB·kOM＝﹣eq \f(4,2)＝﹣2≠﹣1，
所以A项不正确；对于B项，根据kAB·kOM＝﹣2，所以kAB＝﹣2，
所以直线方程为y﹣1＝﹣2(x﹣1)，即2x＋y﹣3＝0，所以B项正确；
对于C项，若直线方程为y＝x＋1，点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(4,3)))，则kAB·kOM＝1·4＝4≠﹣2，所以C项不正确；
对于D项，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程eq \f(x2,2)＋eq \f(y2,4)＝1联立，得到2x2＋(x＋2)2﹣4＝0，整理得：3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝﹣eq \f(4,3)，所以|AB|＝eq \r(1＋12)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)－0))＝eq \f(4\r(2),3)，所以D项正确．
6.如图，过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若eq \f(1,3)A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(3,4))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，1)) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(2,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
解析：选C 由题意可知，|AF|＝a＋c，|BF|＝eq \f(a2－c2,a)，于是k＝eq \f(a2－c2,aa＋c).又eq \f(1,3)化简可得eq \f(1,3)7．已知双曲线E：eq \f(x2,4)﹣eq \f(y2,2)＝1，直线l交双曲线于A，B两点，若线段AB的中点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1))，则直线l的方程为( )
A．4x＋y﹣1＝0 B．2x＋y＝0 C．2x＋8y＋7＝0 D．x＋4y＋3＝0
解析：选C 依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x\\al(2,1),4)－\f(y\\al(2,1),2)＝1，,\f(x\\al(2,2),4)－\f(y\\al(2,2),2)＝1，))两式相减得eq \f(x\\al(2,1)－x\\al(2,2),4)＝eq \f(y\\al(2,1)－y\\al(2,2),2)，即eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(1,2)×eq \f(x1＋x2,y1＋y2).
又线段AB的中点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1))，因此x1＋x2＝2×eq \f(1,2)＝1，y1＋y2＝(﹣1)×2＝﹣2，
eq \f(x1＋x2,y1＋y2)＝﹣eq \f(1,2)，eq \f(y1－y2,x1－x2)＝﹣eq \f(1,4)，即直线AB的斜率为﹣eq \f(1,4)，直线l的方程为y＋1＝﹣eq \f(1,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))，
即2x＋8y＋7＝0.
8．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F且与抛物线C交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5，0)，O为坐标原点，则S△AOB＝( )
A．2eq \r(2) B．eq \r(3) C.eq \r(6) D．3eq \r(6)
解析：选A 由题意知抛物线的焦点为F(1,0)，设直线l：y＝k(x﹣1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,y2＝4x，))消去y得k2x2﹣(2k2＋4)x＋k2＝0，
所以x1＋x2＝2＋eq \f(4,k2)，x1x2＝1，y1＋y2＝k(x1＋x2)﹣2k＝2k＋eq \f(4,k)﹣2k＝eq \f(4,k)，所以线段AB的中点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(2,k2)，\f(2,k)))，线段AB的垂直平分线的方程为y﹣eq \f(2,k)＝﹣eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－1－\f(2,k2))).因为线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5,0)，
所以0﹣eq \f(2,k)＝﹣eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－1－\f(2,k2)))，解得k＝±1，所以直线AB的方程为y＝±(x﹣1)，即x﹣y﹣1＝0或x＋y﹣1＝0，所以点O到直线AB的距离d＝eq \f(|－1|,\r(1＋1))＝eq \f(\r(2),2).又|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1﹣x2|＝eq \r(1＋1)eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(2)×eq \r(36－4)＝8，所以S△AOB＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)×8＝2eq \r(2)，故选A.
9．已知椭圆eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴上方，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线PF的斜率是________．
解析：如图，记椭圆的右焦点为F′，取PF的中点为M，
由题意知，a＝3，b＝eq \r(5)，∴c＝2，连接OM，PF′，则|OM|＝|OF|＝2，
又∵M为PF中点，O为FF′中点，∴|PF′|＝2|OM|，PF′∥OM，∴|PF′|＝4，
又∵P在椭圆上，∴|PF′|＋|PF|＝6，∴|PF|＝2，
在△PFF′中，|PF′|＝|FF′|＝4，|PF|＝2，连接F′M，则F′M⊥PF，
∴|F′M|＝eq \r(|FF′|2－|PM|2)＝eq \r(16－1)＝eq \r(15)，∴kPF＝tan∠PFF′＝eq \f(|F′M|,|FM|)＝eq \f(\r(15),1)＝eq \r(15).
答案：eq \r(15)
10．已知斜率为2的直线经过椭圆eq \f(x2,5)＋eq \f(y2,4)＝1的右焦点F1，与椭圆相交于A，B两点，则弦AB的长为________．
解析：由题意知，椭圆的右焦点F1的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y＝2(x﹣1)．由方程组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x－1，,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，))消去y，整理得3x2﹣5x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，
得x1＋x2＝eq \f(5,3)，x1x2＝0.则|AB|＝eq \r(1＋k2)·|x1﹣x2|＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])＝eq \f(5\r(5),3).
答案：eq \f(5\r(5),3)
11．已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P(1,1)为中点，则弦AB所在直线的方程是______________．
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1≠x2，则y1＋y2＝2，又点A，B在抛物线y2＝4x上，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y\\al(2,1)＝4x1，,y\\al(2,2)＝4x2，))两式相减，得(y1＋y2)(y1﹣y2)＝4(x1﹣x2)，则eq \f(y1－y2,x1－x2)＝eq \f(4,y1＋y2)＝2，即直线AB的斜率k＝2，
所以直线AB的方程为y﹣1＝2(x﹣1)，即2x﹣y﹣1＝0.
答案：2x﹣y﹣1＝0
12．已知过抛物线y2＝4eq \r(2)x焦点F的直线与抛物线交于点A，B，eq \(AF,\s\up7(―→))＝3eq \(FB,\s\up7(―→))，抛物线的准线l与x轴交于点C，AM⊥l于点M，则四边形AMCF的面积为________．
解析：设直线AB的方程为x＝my＋eq \r(2)，x＝my＋eq \r(2)与y2＝4eq \r(2)x联立可得
y2﹣4eq \r(2)my﹣8＝0，yAyB＝﹣8，∵eq \(AF,\s\up7(―→))＝3eq \(FB,\s\up7(―→))，∴yB＝﹣eq \f(1,3)yA，yeq \\al(2,A)＝24⇒yA＝±2eq \r(6)，则24＝4eq \r(2)xA，
可得xA＝3eq \r(2)，AM＝xA＋eq \f(p,2)＝3eq \r(2)＋eq \r(2)＝4eq \r(2)，
四边形AMCF的面积为eq \f(1,2)(CF＋AM)×|yA|＝eq \f(1,2)×(2eq \r(2)＋4eq \r(2))×2eq \r(6)＝12eq \r(3).
答案：12eq \r(3)
13．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：
(1)有两个不重合的公共点；
(2)有且只有一个公共点．
解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，
得方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x＋m， ①,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1， ②))
将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2﹣4＝0. ③
方程③根的判别式Δ＝(8m)2﹣4×9×(2m2﹣4)＝﹣8m2＋144.
(1)当Δ>0，即﹣3eq \r(2)这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．
(2)当Δ＝0，即m＝±3eq \r(2)时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．
这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．
14．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，﹣3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知点C满足3eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \(OF,\s\up7(―→))，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点，求直线AB的方程．
解：(1)由已知可得b＝3.记半焦距为c，由|OF|＝|OA|可得c＝b＝3.又由a2＝b2＋c2，可得a2＝18.
所以椭圆的方程为eq \f(x2,18)＋eq \f(y2,9)＝1.
(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以AB⊥CP.依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在．
设直线AB的方程为y＝kx﹣3.
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－3，,\f(x2,18)＋\f(y2,9)＝1，))消去y，可得(2k2＋1)x2﹣12kx＝0，解得x＝0或x＝eq \f(12k,2k2＋1).
依题意，可得点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(12k,2k2＋1)，\f(6k2－3,2k2＋1))).
因为P为线段AB的中点，点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－3))，
所以点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6k,2k2＋1)，\f(－3,2k2＋1))).由3eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \(OF,\s\up7(―→))，得点C的坐标为(1,0)，
故直线CP的斜率为eq \f(\f(－3,2k2＋1)－0,\f(6k,2k2＋1)－1)＝eq \f(3,2k2－6k＋1).又因为AB⊥CP，所以k·eq \f(3,2k2－6k＋1)＝﹣1，
整理得2k2﹣3k＋1＝0，解得k＝eq \f(1,2)或k＝1.
所以直线AB的方程为y＝eq \f(1,2)x﹣3或y＝x﹣3.
二、自选练——练高考区分度
1.(多选)如图，过点P(2,0)作两条直线x＝2和l：x＝my＋2(m>0)分别交抛物线y2＝2x于A，B和C，D(其中A，C位于x轴上方)，直线AC，BD交于点Q.则下列说法正确的是( )
A．C，D两点的纵坐标之积为﹣4
B．点Q在定直线x＝﹣2上
C．点P与抛物线上各点的连线中，PA最短
D．无论CD旋转到什么位置，始终有∠CQP＝∠BQP
解析：选AB 设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，
将直线l的方程x＝my＋2代入抛物线方程y2＝2x得：y2﹣2my﹣4＝0.则y1y2＝﹣4，故A正确；
由题得A(2,2)，B(2，﹣2)，直线AC的方程为y﹣2＝eq \f(2,y1＋2)(x﹣2)，
直线BD的方程为y＋2＝eq \f(2,y2－2)(x﹣2)，消去y得x＝eq \f(2y1y2－y1＋y2,y1－y2＋4)，
将y1y2＝﹣4代入上式得x＝﹣2，故点Q在直线x＝﹣2上，故B正确；
设抛物线y2＝2x的任一点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,2)，a))，则MP＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,2)－2))2＋a2)＝ eq \r(\f(1,4)a2－22＋3).
当a2＝2时，MP取得最小值eq \r(3)，又PA＝2>eq \r(3)，故C错误；
因为PA＝PB，但QA≠QB，所以D错误．
2．过抛物线y2＝mx(m>0)的焦点F作斜率为2eq \r(2)的直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆与准线l有公共点M，若|MF|＝eq \r(2)，则|AB|＝________.
解析：不妨设A在x轴上方，根据抛物线的性质可得，以AB为直径的圆与准线l有公共点M，∴MA⊥MB，取AB中点C，连接MC，如图．根据抛物线性质，
∴MC平行于x轴，且MF⊥AB，∴|MF|2＝|AF|·|BF|，
∵直线AB过抛物线y2＝mx(m＞0)的焦点F且斜率为2eq \r(2)，
根据抛物线的定义和直角梯形的性质可得|AF|＝2|BF|，
∵|MF|＝eq \r(2)，∴(eq \r(2))2＝2|BF|2，∴|BF|＝1，|AF|＝2，∴|AB|＝3.
答案：3
3．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1过点A(﹣2，﹣1)，且a＝2b.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点B(﹣4,0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝﹣4于点P，Q，求eq \f(|PB|,|BQ|)的值．
解：(1)因为a＝2b，所以椭圆的方程为eq \f(x2,4b2)＋eq \f(y2,b2)＝1，
又因为椭圆过点A(﹣2，﹣1)，所以有eq \f(4,4b2)＋eq \f(1,b2)＝1，解得b2＝2，所以椭圆C的方程为eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)由题意知直线MN的斜率存在．当直线MN的斜率为0时，不妨设M(﹣2eq \r(2)，0)，N(2eq \r(2)，0)，
则直线MA：y＝eq \f(－1,－2＋2\r(2))(x＋2eq \r(2))，直线NA：y＝eq \f(－1,－2－2\r(2))(x﹣2eq \r(2))，
则yP＝eq \r(2)，yQ＝﹣eq \r(2)，eq \f(|PB|,|BQ|)＝1.
当直线MN的斜率不为0时，设直线MN：x＝my﹣4(m≠0)，与椭圆方程eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,2)＝1联立，
化简得(m2＋4)y2﹣8my＋8＝0，Δ＝64m2﹣32(m2＋4)＝32(m2﹣4)>0，解得m2>4.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2＝eq \f(8,m2＋4)，y1＋y2＝eq \f(8m,m2＋4).
直线MA的方程为y＋1＝eq \f(y1＋1,x1＋2)(x＋2)，
则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，\f(－2y1＋1,x1＋2)－1))，即Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，\f(－m＋2y1,my1－2))).
直线NA的方程为y＋1＝eq \f(y2＋1,x2＋2)(x＋2)，
则Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，\f(－2y2＋1,x2＋2)－1))，即Qeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－4，\f(－m＋2y2,my2－2))).
所以eq \f(|PB|,|BQ|)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(m＋2y1,my1－2)))eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(my2－2,m＋2y2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(my1y2－2y1,my1y2－2y2)))
＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\f(8m,m2＋4)－2y1,\f(8m,m2＋4)－2y2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(y1＋y2－2y1,y1＋y2－2y2)))＝1.
综上，eq \f(|PB|,|BQ|)＝1.代数法
即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标
几何法
即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数