高考数学一轮复习第10章第4课时概率、统计的综合问题学案

这是一份高考数学一轮复习第10章第4课时概率、统计的综合问题学案，共23页。

[典例1] (2022·广东佛山期末)双皮奶起源于清朝末期，是用水牛奶做原料，辅以鸡蛋和白糖制成．水牛奶中含有丰富的蛋白质，包括酪蛋白和少量的乳清蛋白，及大量人体生长发育所需的氨基酸和微量元素．不过新鲜的水牛奶保质期较短．某超市为了保证顾客能购买到新鲜的水牛奶又不用过多存货，于是统计了50天销售水牛奶的情况，获得如下数据：
假设水牛奶日销售量的分布规律保持不变，将频率视为概率．
(1)求接下来三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率；
(2)已知超市存货管理水平的高低会直接影响超市的经营情况．该超市对水牛奶实行如下存货管理制度：当天营业结束后检查存货，若存货少于2件，则通知配送中心立即补货至3件，否则不补货．假设某天开始营业时货架上有3件水牛奶，求第二天营业结束后货架上有1件存货的概率．
[解] (1)能卖出3件水牛奶的概率为1050＝15，能卖出3件以下的概率为45，
∴三天中至少有2天能卖出3件水牛奶的概率为C32152×45 +C33153＝13125.
(2)①若第一天营业结束后不补货，情况为A＝{销售0件}，B＝{销售1件}，
则P(A)＝110，P(B)＝15，
令C＝{第二天货架上有1件存货}，则P(C|A)＝12，P(C|B)＝15，
∴P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝9100.
②若第一天营业结束后补货，情况为D＝{销售3件}，E＝{销售2件}，则P(D)＝15，P(E)＝12，
令F＝{第二天货架上有1件存货}，则P(F|D)＝12，P(F|E)＝12，
∴P(F)＝P(D)P(F|D)＋P(E)P(F|E)＝720.
∴第二天营业结束后货架上有1件存货的概率为9100+720＝1125.
【教师备选题】
国家“双减”政策落实之后，某市教育部门为了配合“双减”工作，做好校园课后延时服务，特向本市小学生家长发放调查问卷了解本市课后延时服务情况，现从中抽取100份问卷，统计了其中学生一周课后延时服务总时间(单位：分钟)，并将数据分成以下五组：100，120，120，140，140，160，160，180，[180，200]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)估计该市小学生一周课后延时服务时间的众数、平均数、中位数(保留小数点后一位)；
(2)通过调查分析发现，若服务总时间超过160分钟，则学生有不满情绪，现利用分层随机抽样的方法从样本问卷中随机抽取8份，再从抽取的8份问卷中抽取3份，记其中有不满情绪的问卷份数为X，求X的分布列及均值．
[解] (1)众数：150.
第一到五组频率分别为：0.05，0.15，0.55，0.2，0.05，
平均数：x＝110×0.05＋130×0.15＋150×0.55＋170×0.2＋190×0.05＝151，
设中位数为x，则中位数在第3组，
则0.2＋x-140×0.027 5＝0.5，x≈150.9.
(2)用分层随机抽样抽取8份问卷，
其中学生有不满情绪的有8×(0.2＋0.05)＝2份，
∴X的可能取值为0，1，2，
∴PX=0＝C63C20C83＝514，
PX=1＝C62C21C83＝1528，
PX=2＝C61C22C83＝328.
∴X的分布列为：
∴EX＝0×514＋1×1528＋2×328＝34.
该类问题常常借助图形或表格，将文字、图表、数据等融为一体，考查考生的直观想象和数学建模素养，求解的关键是立足题干提取信息，结合统计的相关知识进行数据分析或结合概率模型求解相应概率．
[跟进训练]
1．质检部门对设计出口的甲、乙两种“无人机”分别随机抽取100架检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：
甲 乙
(1)写出频率分布直方图(甲)中a的值；记甲、乙两种“无人机”100架样本的质量指标的方差分别为s12，s22，试比较s12，s22的大小(只需给出答案)；
(2)若质检部门规定质量指标高于20的无人机为优质产品，根据上面抽取的200架无人机的质量指标及小概率值α＝0.05的独立性检验，能否推断甲、乙两种“无人机”的优质率有差异；
(3)由频率分布直方图可以认为，乙种“无人机”的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)．其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s22，设X表示从乙种无人机中随机抽取10架，其质量指标值位于[11.6，35.4]的架数，求X的数学期望．
注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得s2＝142.75≈11.9；
②若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤Z≤μ＋σ)≈0.682 7，
P(μ－2σ≤Z≤μ＋2σ)≈0.954 5；
③χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，n＝a＋b＋c＋d.
[解] (1)由(0.020＋a＋0.025＋a＋0.035)×10＝1，得a＝>s22.
(2)甲种无人机中优质率为0.25＋0.1＋0.35＝0.7，所以甲种无人机中优质产品有70架，不是优质产品的有30架；乙种无人机中优质率为0.3＋0.2＋0.1＝0.6，所以乙种无人机中优质产品有60架，不是优质产品的有40架．
列联表如下：
零假设H0：甲、乙两种“无人机”的优质率有差异，
χ2＝200×70×40-60×302130×70×100×100≈2.20<3.841＝x0.05，
故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，不能推断甲、乙两种“无人机”的优质率有差异．
(3)计算得：x＝5×0.15＋15×0.25＋25×0.3＋35×0.2＋45×0.1＝23.5，
由条件Z～N(23.5，142.75)，
从而P(11.6≤Z≤35.4)≈0.682 7，
故从乙种“无人机”中随机抽取1架，其质量指标值位于[11.6，35.4]的概率是0.682 7，
根据题意得X～B(10，0.682 7)，
∴E(X)＝10×0.682 7＝6.827.
考点二 概率、统计与数列的综合问题
[典例2] 某商城玩具柜台五一期间促销，购买甲、乙系列的盲盒，并且集齐所有的产品就可以赠送节日礼品，现有甲、乙两个系列盲盒，每个甲系列盲盒可以开出玩偶A1，A2，A3中的一个，每个乙系列盲盒可以开出玩偶B1，B2中的一个．
(1)记事件En：一次性购买n个甲系列盲盒后集齐A1，A2，A3玩偶；事件Fn：一次性购买n个乙系列盲盒后集齐B1，B2玩偶；求概率PE5及PF4；
(2)某礼品店限量出售甲、乙两个系列的盲盒，每个消费者每天只有一次购买机会，且购买时，只能选择其中一个系列的一个盲盒．通过统计发现：第一次购买盲盒的消费者购买甲系列的概率为23，购买乙系列的概率为13；而前一次购买甲系列的消费者下一次购买甲系列的概率为14，购买乙系列的概率为34，前一次购买乙系列的消费者下一次购买甲系列的概率为12，购买乙系列的概率为12；如此往复，记某人第n次购买甲系列的概率为Qn.
①求Qn的通项公式；
②若每天购买盲盒的人数约为100，且这100人都已购买过很多次这两个系列的盲盒，试估计该礼品店每天应准备甲、乙两个系列的盲盒各多少个．
[解] (1)若一次性购买5个甲系列盲盒，得到玩偶的情况总数为35，集齐A1，A2，A3玩偶，则有两种情况：
①其中一个玩偶3个，其他两个玩偶各1个，则有C31C53A22种结果．
②若其中两个玩偶各2个，另外一个玩偶1个，则共有C31C51C42种结果．
故PE5＝C31C53A22+C31C51C4235＝60+90243＝5081.
若一次性购买4个乙系列盲盒，全部为B1与全部为B2的概率相等，均为124，
故PF4＝1－124-124＝78.
(2)①由题可知：Q1＝23，
当n≥2时，Qn＝14Qn－1＋121-Qn-1＝12-14Qn－1，
则Qn－25＝－14Qn-1-25，Q1－25＝415，
即Qn-25 是以415为首项，以－14为公比的等比数列．
所以Qn－25＝415×-14n-1，即Qn＝25+415×-14n-1.
②因为每天购买盲盒的100人都已购买过很多次，
所以对于每一个人来说，某一天来购买盲盒时，
可看作n→＋∞，所以，其购买甲系列的概率近似于25，
假设用ξ表示一天中购买甲系列盲盒的人数，
则ξ～B100，25，所以E(ξ)＝100×25＝40，
即购买甲系列的人数的期望为40，
所以礼品店应准备甲系列盲盒40个，乙系列盲盒60个．
【教师备选题】
时至21世纪，环境污染已经成为世界各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城市急需应对的一项课题．某市号召市民尽量减少开车以绿色低碳的出行方式支持节能减排．原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行．从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷6枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于4，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式．
(1)求王先生前三天骑自行车上班的天数X的分布列；
(2)设Pn(n∈N*)表示事件“第n天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率．
(i)用Pn－1表示Pn(n≥2)；
(ii)王先生的这种随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召，请说明理由．
[解] (1)设一次投掷6枚均匀的硬币，得到正面向上的枚数为ξ，则ξ～B6，12，
故P(ξ＜4)＝126+C61126+C62126+C63126＝2132，P(ξ≥4)＝1－2132＝1132，
X的可能取值为1，2，3，
P(X＝1)＝1132×2132＝2311 024，P(X＝3)＝2132×2132＝4411 024，
P(X＝2)＝1－2311 024-4411 024＝3521 024，
∴X的分布列为：
(2)(i)Pn＝Pn－1·2132＋(1－Pn－1)·1132
＝516Pn－1＋1132(n≥2)．
(ii)由(i)可知：Pn－12＝516Pn-1-12，
又P1－12＝12，
∴Pn-12 是以12为首项，以516为公比的等比数列，
∴Pn－12＝12·516n-1，即Pn＝12·516n-1＋12.
∵Pn＝12·516n-1＋12＞12，
∴王先生每天骑自行车的概率总大于开车的概率，∴王先生的这种随机选择出行方式有积极响应该市政府的号召．
解答此类问题关键是借助概率知识(如相互独立事件概率公式、条件概率公式等)建立Pn＋1与Pn递推关系，然后利用数列知识(一般是构造法)求解．
[跟进训练]
2．(2019·全国Ⅰ卷)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.
(1)求X的分布列；
(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i＝0，1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1(i＝1，2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.
(i)证明：{pi＋1－pi}(i＝0，1，2，…，7)为等比数列；
(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
[解] (1)由题意可知X所有可能的取值为：－1，0，1.
PX=-1＝1-αβ；
PX=0＝αβ＋1-α1-β；
PX=1＝α1-β.
则X的分布列为：
(2)∵α＝0.5，β＝0.8，
∴a＝0.5×0.8＝0.4，b＝0.5×0.8＋0.5×0.2＝0.5，c＝0.5×0.2＝0.1.
(i)证明：∵pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1i=1，2，…，7，
即pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1i=1，2，…，7，
整理可得：5pi＝4pi－1＋pi＋1i=1，2，…，7，
∴pi＋1－pi＝4pi-pi-1i=1，2，…，7，
又∵p1－p0＝p1≠0，
∴pi+1-pii=0，1，2，…，7是以p1为首项，4为公比的等比数列．
(ii)由(i)知：pi＋1－pi＝p1-p0·4i＝p1·4i，
∴p8－p7＝p1·47，p7－p6＝p1·46，…，p1－p0＝p1·40.
作和可得：p8－p0＝p1·40+41+…+47＝1-481-4p1＝48-13p1＝1，∴p1＝348-1，
∴p4＝p4－p0＝p1·40+41+42+43＝1-441-4p1＝44-13×348-1＝144+1＝1257，
p4表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为p4＝1257≈0.003 9，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理．
考点三 概率、统计与函数的交汇问题
[典例3] (12分)(2023·湖南长沙一中模拟)根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为：
其中α＞0，0＜p＜1.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为12且相互独立，事件Ai表示一个家庭有i个孩子(i＝0，1，2，3)，事件B表示一个家庭的男孩比女孩多(例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多)．
(1)若p＝12，求α及P(B)；
(2)为了调控未来人口结构，其中参数p受到各种因素的影响(例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等)．
①若希望P(X＝2)增大，如何调控p的值？
②是否存在p的值使得E(X)＝53，请说明理由．
[规范解答] (1)由题意得αp＋α＋α(1－p)＋α(1－p)2＝1，p＝12，解得α＝415.·······························································1分
又因为P(B|A1)＝12，
P(B|A2)＝122＝14，
P(B|A3)＝C32123+C33123＝12.·······································4分
↓
失分点：不会概率建模导致相应的概率求解错误
所以P(B)＝i=13PBAiPAi＝12×815+14×415+12×215＝25(i＝1，2，3)．·····························································5分
(2)①由已知αp＋α＋α(1－p)＋α(1－p)2＝1，
↓
切入点：建立α与p的等量关系
变形整理得，1α＝p2－3p＋1p＋3.······································6分
可设f(p)＝p2－3p＋1p＋3，
所以f′(p)＝2p3-3p2-1p2.··············································7分
设g(p)＝2p3－3p2－1，
即g′(p)＝6p2－6p＝6p(p－1)＜0，
故g(p)在(0，1)上单调递减，
因为g(0)＝－1，所以g(p)＜0，所以f′(p)＜0，
↓
关键点：视“p”为变量，建立函数f(p)，g(p)
故f(p)在(0，1)上单调递减，所以增加p的取值，1α会减小，α增大，即P(X＝2)增大．····························································9分
②假设存在p使E(X)＝αp＋2α＋3α(1－p)＝53，又因为1α＝p2－3p＋1p＋3，
将两等式相乘化简整理得：5p3－6p2＋2＝0，
设h(p)＝5p3－6p2＋2，即h′(p)＝15p2－12p＝3p(5p－4).·················11分
所以h(p)在0，45上单调递减，在45，1上单调递增，故h(p)min＝h45＝1825＞0.
所以不存在p，使得E(X)＝53.·······································12分
该类问题常以实际生活中的概率、统计知识为背景，将概率、统计与函数建模融合在一起，充分借助函数的性质研究相关问题的最值，可能涉及函数的单调性、导数等知识，求解时注意合理转化．
[跟进训练]
3．(2021·新高考Ⅱ卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P(X＝i)＝pi(i＝0，1，2，3)．
(1)已知p0＝0.4，p1＝0.3，p2＝0.2，p3＝0.1，求E(X)；
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的一个最小正实根，求证：当E(X)≤1时，p＝1，当E(X)>1时，p<1；
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义．
[解] (1)E(X)＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.
(2)法一：常规求导
p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x＝0，x＞0，
令f(x)＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x，f′(x)＝p1＋2p2x＋3p3x2－1，
f″(x)＝2p2＋6p3x≥0，∴f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，
当E(X)＝p1＋2p2＋3p3≤1时，注意到x∈(0，1]时，
f′(x)≤f′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1≤0，
∴f(x)在(0，1]上单调递减，注意到f(1)＝0，∴x＝1，即p＝1，
当E(X)＝p1＋2p2＋3p3＞1时，注意到f′(0)＝p1－1＜0，
f′(1)＝p1＋2p2＋3p3－1＞0，
∴存在唯一的x0∈(0，1)使f′(x0)＝0，且当0＜x＜x0时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x0＜x＜1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
注意到f(0)＝p0＞0，f(1)＝0，∴f(x0)＜f(1)＝0.
∴f(x)在(0，x0)上有一个零点x1，另一个零点为1，∴p＝x1＜1.
法二：巧妙因式分解
由题意知p0＋p1＋p2＋p3＝1，E(X)＝p1＋2p2＋3p3，
由p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x⇒p0＋p2x2＋p3x3－(1－p1)x＝0，
∴p0＋p2x2＋p3x3－(p0＋p2＋p3)x＝0⇒p0(1－x)＋p2x(x－1)＋p3x(x－1)(x＋1)＝0，
(x－1)[p3x2＋(p2＋p3)x－p0]＝0，
令f(x)＝p3x2＋(p2＋p3)x－p0，f(x)的对称轴为x＝－p2+p32p3＜0，
注意到f(0)＝－p0＜0，f(1)＝2p3＋p2－p0＝p1＋2p2＋3p3－1＝E(X)－1，
当E(X)≤1，f(1)≤0，f(x)的正实根x0≥1，原方程的最小正实根p＝1，
当E(X)＞1，f(1)＞0，f(x)的正实根x0＜1，原方程的最小正实根p＝x0＜1.
(3)当1个微生物个体繁殖下一代的期望小于等于1时，这种微生物经过多代繁殖后临近灭绝，当1个微生物个体繁殖下一代的期望大于1时，这种微生物经过多代繁殖后还有继续繁殖的可能．
课时分层作业(六十六) 概率、统计的综合问题
1．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．
(1)月市场占有率y与月份代码x符合线性回归模型拟合的关系，求y关于x的经验回归方程，并预测M公司2024年1月份(即x＝20时)的市场占有率；
(2)为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1 000元/辆和1 200元/辆的A，B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因(如骑行频率等)会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：
经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整年，且以每辆单车使用寿命的频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？
参考公式及数据：经验回归方程为y＝bx＋a，其中b＝i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2，a=y-bx，i=16xiyi＝371，i=16xi2＝91.
[解] (1)由折线图所给的数据，可得x＝1+2+3+4+5+66＝3.5，y＝11+13+16+15+20+216＝16，
i=16xi-xyi-y＝－2.5×(－5)＋(－1.5)×(－3)＋(－0.5)×0＋0.5×(－1)＋1.5×4＋2.5×5＝35.
i=16xi-x2＝(－2.5)2＋(－1.5)2＋(－0.5)2＋0.52＋1.52＋2.52＝17.5，
所以b＝3517.5＝2，
可得a＝16－2×3.5＝9.
所以月市场占有率y与月份代码x之间的经验回归方程为y＝2x＋9，
当x＝20时，可得y＝2×20＋9＝49.
故M公司2024年1月份(即x＝20时)的市场占有率预计为49%.
(2)由频率估计概率，可得每辆A款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.2，0.35，0.35和0.1，
所以每辆A款车可产生的利润期望值
Eξ1＝500-1 000×0.2＋1 000-1 000×0.35＋1 500-1 000×0.35＋(2 000－1 000)×0.1＝175(元)．
由频率估计概率，可得每辆B款车可使用1年、2年、3年和4年的概率分别为0.1，0.3，0.4和0.2，
所以每辆B款车可产生的利润期望值
Eξ2＝500-1 200×0.1＋1 000-1 200×0.3＋1 500-1 200×0.4＋(2 000－1 200)×0.2＝150(元)．
因为Eξ1>Eξ2，所以应该采购A款单车．
2．2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象．主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖．已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者(以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者)的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：
假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品．公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品．设这款纪念品的销售价格为x(单位：元/件)，90(1)若x＝100，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望EX；
(2)假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y(单位：元)，当该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望EY达到最大值？
[解] (1) x＝100时，消费者购买该纪念品的概率P＝90100＝0.9，
由题意X～B(4，0.9)，P(X＝i)＝C4i0.9i(1－0.9)4-i，i＝0，1，2，3，4，
P(X＝0)＝0.14＝110 000，同理P(X＝1)＝92 500，P(X＝2)＝2435 000，P(X＝3)＝7292 500，P(X＝4)＝6 56110 000，
X的分布列为：
E(X)＝4×0.9＝3.6.
(2)由(1)知90100110M>0，因此E(Y)＝21M最大，此时x＝110.
所以当该纪念品的销售价格定为110元时，Y的数学期望EY达到最大值21M.
3．(2022·广东深圳宝安区一调)随着生活水平的提高和人们对健康生活的重视，越来越多的人加入健身运动中．国家统计局数据显示，2021年我国有5亿人经常参加体育锻炼．某健身房从参与健身的会员中随机抽取100人，对其每周参与健身的天数和2021年在该健身房所有消费金额(单位：元)进行统计，得到以下统计表及统计图：

若某人平均每周进行健身的天数不少于5，则称其为“健身达人”．健身房规定消费金额不超过1 600元的为普通会员，超过1 600元但不超过3 200元的为银牌会员，超过3 200元的为金牌会员．
(1)已知金牌会员都是健身达人，从健身达人中随机抽取2人，求他们均是金牌会员的概率；
(2)依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否据此推测性别与是否为“健身达人”有关系？
(3)该健身机构在2021年年底针对这100位消费者举办了一次消费返利活动，现有以下两种方案：
方案一：按分层随机抽样从普通会员、银牌会员和金牌会员中共抽取25位“幸运之星”，分别给予188元、288元、888元的幸运奖励；
方案二：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：摸奖箱中装有5张形状、大小完全一样的卡片，其中3张印跑步机图案、2张印动感单车图案，有放回地摸三次卡片，每次只能摸一张，若摸到动感单车的总数为2，则获得100元奖励，若摸到动感单车的总数为3，则获得200元奖励，其他情况不给予奖励．规定每个普通会员只能参加1次摸奖游戏，每个银牌会员可参加2次摸奖游戏，每个金牌会员可参加3次摸奖游戏(每次摸奖结果相互独立)．
请你比较该健身房采用哪一种方案时，在此次消费返利活动中的支出较少，并说明理由．
附：χ2＝nad-bc2a+bc+da+cb+d，其中n＝a＋b＋c＋d.
临界值表：
[解] (1)健身达人共9＋6＝15(人)，金牌会员人数有8＋4＝12(人)．又金牌会员都是健身达人，故从健身达人中随机抽取2人，他们均是金牌会员的概率为C122C152＝2235.
(2)由图表可知，非健身达人男性有20＋35＝55(人)，健身达人男性有9人；
非健身达人女性有10＋20＝30(人)，健身达人女性有6人．
列出列联表如下：
零假设H0：性别与是否为“健身达人”无关．
根据列联表中的数据计算可得：χ2＝10055×6-30×9285×15×64×36≈0.123＜3.841＝x0.05，
故依据小概率值α＝0.05的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，
因此可以认为性别与是否为“健身达人”没有关系．
(3)由题图可知：普通会员有6＋22＝28(人)，银牌会员有25＋35＝60(人)，
金牌会员有8＋4＝12(人)．
方案一：抽取的普通会员、银牌会员与金牌会员分别有28100×25＝7 (人)，60100×25＝15(人)，12100×25＝3(人)，
故共支出7×188＋15×288＋3×888＝8 300 (元)．
方案二：参加一次活动获得奖励的数学期望为C32252351×100+C33253×200＝2085，
故总支出的数学期望为28×2085＋60×2085×2＋12×2085×3＝7 654.4＜8 300.
故采用方案二时，在此次消费返利活动中的支出较少．
4．某校开展“阳光体育节”活动，其中传统项目“定点踢足球”深受同学们喜爱．期间甲、乙两人轮流进行足球定点踢球比赛(每人各踢一次为一轮)，在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得－1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为12，乙每次踢球命中的概率为23，且各次踢球互不影响．
(1)经过1轮踢球，记甲的得分为X，求X的数学期望；
(2)若经过n轮踢球，用pi表示经过第i轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的概率．
①求p1，p2，p3；
②规定p0＝0，且有pi＝Api＋1＋Bpi－1，请根据①中p1，p2，p3的值求出A，B，并求出数列pn的通项公式．
[解] (1)记一轮踢球，甲命中为事件A，乙命中为事件B，A，B相互独立．
由题意PA＝12，PB＝23，甲的得分X的可能取值为－1，0，1.
PX=-1＝PAB＝PAPB＝1-12×23＝13，PX=0＝PAB＋PAB＝PAPB＋PAPB＝12×23+1-12×1-23＝12，
PX=1＝PAB＝PA×PB＝12×1-23＝16，
∴X的分布列为：
EX＝－1×13＋0×12＋1×16＝－16.
(2)①由(1)p1＝16，
p2＝PX=0·PX=1＋P(X＝1)[P(X＝0)＋P(X＝1)]
＝12×16+16×12+16＝736.
经过三轮踢球，甲累计得分高于乙有四种情况：甲3轮各得1分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得0分；甲3轮中有1轮得1分，2轮各得0分；甲3轮中有2轮各得1分，1轮得－1分．
∴p3＝163+c32162×12+c31×16×122+c32162×13＝43216.
②∵规定p0＝0，且有pi＝Api＋1＋Bpi－1，
∴p1=Ap2+Bp0p2=Ap3+Bp1⇒A=67，B=17
代入得：pi＝67pi＋1＋17pi－1，
∴pi＋1－pi＝16pi-pi-1，∴数列pn-pn-1是等比数列，
公比为q＝16，首项为p1－p0＝16，∴pn－pn－1＝16n.
∴pn＝pn-pn-1+pn-1-pn-2＋…＋(p1－p0)＝16n＋16n-1＋…＋16＝151-16n.
日销售量/件
0
1
2
3
天数
5
10
25
10
X
0
1
2
P
514
1528
328
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
质量
无人机
合计
甲
乙
优质产品
70
60
130
不是优质产品
30
40
70
合计
100
100
200
X
1
2
3
P
2311 024
3521 024
4411 024
X
－1
0
1
P
1-αβ
αβ＋1-α1-β
α1-β
X
1
2
3
0
概率
αp
α
α(1－p)
α(1－p)2
报废年限
1年
2年
3年
4年
A型车(辆)
20
35
35
10
B型车(辆)
10
30
40
20
心理价位(元/件)
90
100
110
120
人数
10
20
50
20
X
0
1
2
3
4
P
110 000
92 500
2435 000
7292 500
6 56110 000
平均每周健身天数
不大于2
3或4
不少于5
人数(男)
20
35
9
人数(女)
10
20
6
α
0.1
0.05
0.010
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性别
健身情况
合计
非健身达人
健身达人
男性
55
9
64
女性
30
6
36
合计
85
15
100
X
－1
0
1
P
13
12
16