江西省上饶艺术学校2023-2024学年高二上学期12月考试数学试题

这是一份江西省上饶艺术学校2023-2024学年高二上学期12月考试数学试题，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的）
1．已知圆：，圆：，若圆平分圆的周长，则（ ）
A．20B．－20C．10D．－10
2．已知F为椭圆C：的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：上一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为1，实轴长为4，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
4．设抛物线，直线与抛物线交于、两点且，则的中点到轴的最短距离为（ ）
A．B．1C．D．2
5．已知矩形ABCD中，，，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则（ ）
A．B．C．D．4
6．堑堵指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱.如图，在堑堵中，，若，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
7．计算机在进行数的计算处理时，使用的是二进制．一个十进制数可以表示成二进制数，，则，其中，当时，；记，，，，中1的个数为，则满足且的的个数为（ ）
A．7B．5C．4D．6
8．某校举办中学生乒乓球运动会，高一年级初步推选3名女生和4名男生参赛，并从中随机选取3人组成代表队参赛，在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的。正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分）
9．已知点和圆O：，则下列选项正确的有（ ）
A．若点P在圆O内，则直线与圆O相交
B．若点P在圆O上，则直线与圆O相切
C．若点P在圆O外，则直线与圆O相离
D．若直线AP与圆O相切，A为切点，则
10．在棱长为2的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．点为正方形内一点，当平面时，的最大值为
C．过点，，的平面截正方体所得的截面周长为
D．当三棱锥的所有顶点都在球的表面上时，球的表面积为
11．下列选项中，属于排列问题的是（ ）
A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法
B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案
C．从，，，中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂
D．从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点
12．下列命题中，正确的命题有（ ）
A．设随机变量，则
B．若样本数据的方差为3，则数据的方差为25
C．天气预报，五一假期甲地的降雨概率是，乙地的降雨概率是，假定这段时间内两地是否降雨相互没有影响，则这段时间内甲地和乙地都不降雨的概率为
D．在线性回归模型中，表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，越接近于1，表示回归的效果越好
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a取值范围是 .
14．已知，则向量在上的投影向量的坐标是 ．
15．在的展开式中，含项的系数是 .
16．已知随机变量，，且，则 .
四、解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．已知半径为4的圆C与直线：相切，圆心C在y轴的负半轴上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线：与圆C相交于A，B两点，当面积最大时，求直线的方程．
18．如图，双曲线C：－＝1的中心O为坐标原点，离心率，点 在双曲线C上．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若直线l与双曲线C交于P，Q两点，且，求＋的值．
19．如图1，在中，D，E分别为的中点；O为的中点，，，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2，点F是线段上的一点（不包含端点）．

(1)求证：；
(2)若直线和平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积．
20．已知是正整数，的展开式中的系数为17.
(1)当展开式中的系数最小时，求出此时的系数；
(2)已知的展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，求.
21．设有甲､乙､丙三个不透明的箱子，每个箱中装有除颜色外都相同的5个球，其中甲箱有3个蓝球和2个黑球，乙箱有4个红球和1个白球，丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下：先从甲箱中一次摸出2个球，若从甲箱中摸出的2个球颜色相同，则从乙箱中摸出1个球放入丙箱，再从丙箱中一次摸出2个球；若从甲箱中摸出的2个球颜色不同，则从丙箱中摸出1个球放入乙箱，再从乙箱中一次摸出2个球.
(1)若最后摸出的2个球颜色不同，求这2个球是从丙箱中摸出的概率；
(2)若摸出每个红球记2分，每个白球记1分，用随机变量表示最后摸出的2个球的分数之和，求的分布列及数学期望.
22．某校为了解学生爱好足球是否与性别有关，调查了本校400名学生（男女各一半），发现爱好足球的人数是280，爱好足球的男生比女生多40人.
(1)完成下面的列联表；
(2)判断能否有的把握认为爱好足球与性别有关.
附：，其中.
爱好足球
不爱好足球
总计
男生
女生
总计
0.10
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
高二（上）数学参考答案
1．B
【详解】圆：的圆心，
即圆心为，半径为，
若圆平分圆的周长，则圆的圆心在圆与圆的公共弦上，
将圆：与圆：作差，
得两圆公共弦所在直线方程，
代入得.
故选：B
2．D
【详解】如图，由题可知，圆的圆心坐标为，半径为1，
设椭圆的左焦点为，即，
则，
故要求的最小值，即求的最小值，
所以的最小值等于，
即的最小值为，
故选：D．
3．D
【详解】双曲线C 的一条渐近线方程为，
焦点到直线的距离为，
又因为实轴长为，所以，
所以C的方程为，
故选：D.
4．A
【详解】由题意知直线l的斜率存在，设直线的方程为，
与抛物线方程联立得，，需满足，
设，，则，
则由弦长公式得，
两边平方得，，因为，
代入得，，
令，，则，而根据对勾函数性质知在单调递增，
因此当时，，
即的中点到轴的最短距离为，
故选：A
5．C
【详解】在矩形中，过B，D分别向AC作垂线，垂足分别为M，N．
∵，，
则可得，，，，．
因为平面平面，平面，，
又平面平面，
则平面，所以，
由题可得，
所以
，
所以．
故选：C.
6．A
【详解】
由题意得，平面以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系如图所示，则，，所以.设异面直线与所成的角为，则.
故选：A.
7．D
【详解】因为，，所以有，
因为，
所以说明中1的个数为3，即中1的个数为2，
因此的的个数为，
故选： D.
8．B
【详解】用A表示事件“代表队既有男生又有女生”， B表示事件“女生甲被选中”，
则在代表队中既有男生又有女生的条件下，女生甲被选中的概率为.
所以，
故选：B.
9．BD
【详解】对于A，点在圆内，则，
又点到直线的距离，
直线与圆相离，故A错误；
对于B，点在圆上，，
又点到直线的距离，故与圆相切，
,故B正确；
对于C，点在圆外，则，
又点到直线的距离，
直线与圆相交，故C错误；
若直线与圆相切，则点在圆外，所以，故D正确．
故选：BD．
10．ACD
【详解】对于A选项，，
在中即为异面直线与所成的角，
，
异面直线与所成的角的余弦值为．故A正确；
对于B选项，取的中点的中点，取的中点，连接，，，

四边形为平行四边形，，，，
同理可得，
又面，面，面，面，
面，面，
又，面，
面面，
又面，面，
轨迹为线段，
在中，过作，此时取得最小值，
在中，，，，
在中，，，，
在中，，，，
如图，在中，，
即的最小值为，而的最大值为．故B错误；
对于C选项，过点的平面截正方体，
平面平面，则过点的平面必与与交于两点，
设过点的平面必与与分别交于、，
过点的平面与平面和平面分别交于与，，同理可得，
如图过点的平面截正方体所得的截面图形为五边形，
如图以为原点，分别以方向为轴､轴､轴正方向建立空间直角坐标系，
设，，
则，，，，，
，，，，
，，
，解得，
，，，，
在中，，，，同理：，
在中，，，，同理：
在中，，，
，
即过点的平面截正方体所得的截面周长为．故C正确；
对于D选项，如图所示，取的中点，则，过作，
且使得，则为三棱锥的外接球的球心，
所以为外接球的半径，
在中，，
，
．故D项正确，
故选：ACD．
11．ACD
【详解】对于A项：从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题，故A项正确；
对于B项：有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，可分为四组，三人一组无先后顺序，不属于排列问题，故B项错误；
对于C项：从，，，中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题，故C项正确；
对于D项：从，，，中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题，故D项正确.
故选：ACD.
12．AD
【详解】选项A，随机变量，则，故A正确；
选项B，由题意，设原数据组的平均数为，
方差为，
则新数据组的的平均数为
，
则方差为
，故B错误；
选项C，由题意，甲地不降雨的概率为，乙地不降雨的概率为，
由相互独立事件同时发生的概率公式得，故C错误；
选项D，由决定系数表达式，
表示解释变量对于预报变量变化的贡献率，
且越接近于1，表示回归的效果越好，故选D正确.
故选：AD.
13．
【详解】由题意知，，则，
因为圆与圆有公共点，所以，即，
解得，所以实数a取值范围是.
故答案为：.
14．
【详解】因为，，
所以，向量在上的投影向量是，
其坐标为.
故答案为：.
15．164
【详解】因为的二项展开式为，
可知的展开式中，含项的系数是，
由的展开式中，
可得项的系数
，
所以含项的系数是164.
故答案为：164.
16．/0.5
【详解】，，
，，，
，解得，
故答案为：
17．【详解】（1）结合题意：因为圆心C在y轴的负半轴上,且半径为4,
所以可设圆的标准方程为：，，此时圆心为
因为直线：与圆相切,所以圆心到直线的距离，
即：，解得：（舍去），或，
所以圆C的方程为：.
（2）由上问可得：的圆心C为，
所以圆心到直线：的距离为：，
结合圆的弦长公式：，
直线与圆C相交于A，B两点，所以，
所以，
当且仅当时，即时，面积取到最大值8.
即，解得：，
所以直线的方程：或.
18．【详解】（1）因为，所以，从而，所以双曲线C的标准方程为－＝1，
即，.因为点在双曲线C上，所以，解得，
所以双曲线C的标准方程为－＝1
（2）设，
设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，
.联立与－＝1，得，
所以，同理有，
所以.
19．【详解】（1）由题意可知：，，
所以，
又O为的中点，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
（2）取的中点G，连接，所以，以O为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，所以．
设，
所以，
又，设平面DEF的一个法向量为，
所以，
令，解得，，所以平面DEF的一个法向量为，
又，设直线EC和平面DEF所成角的大小为θ，
所以，
解得或（舍），所以．
所以，
即三棱锥的体积为．
20．【详解】（1）根据二项式定理知，的展开式通项为，
根据题意得，即，所以，
所以展开式中的的系数为
，
故当或时，的系数的最小值为64，
此时，的系数为.
（2）由（1）知，则，
二项式展开式的通项为，
所以可得，再根据，即，求得，
此时，所以.
21．【详解】（1）从甲箱中摸出2个球颜色相同的概率为，
记事件A为最后摸出的2个球颜色不同，事件B为这2个球是从丙箱中摸出的，
则，
，
，
所以；
（2）X的所有可能取值为2，3，4，
则，
，
，
故X的分布列如表：
故.
22．【详解】（1）因为学校有200名男生和200名女生，且爱好足球的人数是280，
爱好足球的男生比女生多40人，所以爱好足球的女生有名，
从而不爱好足球的女生有名，爱好足球的男生有名，
不爱好足球的男生有名，故列联表为
（2）由（1）中列联表得
，
所以有的把握认为爱好足球与性别有关.
X
2
3
4
P
爱好足球
不爱好足球
总计
男生
160
40
200
女生
120
80
200
总计
280
120
400