点线面位置关系练习（2）

这是一份点线面位置关系练习（2），共7页。
A．B′C′ B．A′B C．A′B′ D．BB′
2．在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中的真命题是( )
A．若a∥α，b∥α，则a∥b B．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥b
C．若a∥α，a∥b，则b∥α D．若α∥β，a⊂α，则a∥β
3．a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是( )
A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．a⊂α，b⊥β，α∥β D．a⊂α，b∥β，α⊥β
4．（2020山东）已知正方体（如图），则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝5，则A1C与平面ABCD所成角的正切值为( )
A． eq \f(\r(2),2) B． eq \f(4,3) C． eq \f(3,5) D．1
7．如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E为AC的中点，则下列命题中正确的是( )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDE且平面ACD⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ACD且平面ACD⊥平面BDE
8．（2021·浙江）正方体，M，N分别是，的中点，则（ ）
A．直线与直线垂直，直线平面
B．直线与直线平行，直线平面
C．直线与直线相交，直线平面
D．直线与直线异面，直线平面
9.如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
10．（2022·全国乙卷)）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )
A．平面B1EF⊥平面BDD1 B．平面B1EF⊥平面A1BD
C．平面B1EF∥平面A1AC D．平面B1EF∥平面A1C1D
11.(多选)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别是DE，BE，EF，EC的中点，则下列结论正确的是
A．DE与MN平行 B．BD与MN为异面直线
C．GH与MN成60°角 D．DE与MN垂直
12．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，下列结论中，正确的是________．
①AD1∥BC1； ②平面AB1D1∥平面BDC1； ③AD1∥DC1； ④AD1∥平面BDC1.
13．在所有棱长都相等的三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列四个命题：
(1)BC∥平面PDF； (2)DF∥平面PAE； (3)平面PDF⊥平面ABC；
(4)平面PDF⊥平面PAE. 其中正确命题的序号为________．
1．B
连接A′B，∵A′B∥CD′，A′B⊄平面AD′C，CD′⊂平面AD′C，∴A′B∥平面AD′C.
D
对于A，若a∥α，b∥α，则a，b可能平行，可能相交，可能异面，故A是假命题；对于B，设α∩β＝m，若a，b均与m平行，则a∥b，故B是假命题；对于C，b∥α或b在平面α内，故C是假命题；对于D，若α∥β，a⊂α，则a与β没有公共点，则a∥β，故D是真命题．故选D.
C
当α∥β，b⊥β时，b⊥α，又a⊂α，∴b⊥a，故C正确.
4.D
A.，与相交，所以与异面，故A错误；
B.与平面相交，且，所以与异面，故B错误；
C.四边形是矩形，不是菱形，所以对角线与不垂直，故C错误；
D.连结，，，，所以平面，所以，故D正确.
5.B
由“m⊥α且l⊥m”推出“l⊂α或l∥α”，但由“m⊥α且l∥α”可推出“l⊥m”，所以“l⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件，故选B.
D
如图所示，连接AC，∵AA1⊥平面ABCD，∴A1C与平面ABCD所成的角为∠ACA1，∵AB＝4，BC＝3，∴AC＝5，∵AA1＝5，∴tan ∠ACA1＝1，故选D.
C
∵AB＝BC，E为AC的中点，∴EB⊥AC，同理DE⊥AC，又DE∩EB＝E，∴AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDE，同理平面ABC⊥平面BDE.
8.A
连，在正方体中，M是的中点，所以为中点，
又N是的中点，所以，平面平面，
所以平面.因为不垂直，所以不垂直
则不垂直平面，所以选项B,D不正确；
在正方体中，，平面，所以，
，所以平面，平面，所以，
且直线是异面直线，所以选项C错误，选项A正确.
C
C
如图，因为D、F分别是AB、AC中点，所以BC∥DF，因为DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF.因为该几何体是正四面体，E是BC中点，所以BC⊥PE，BC⊥AE，因为PE∩AE＝E，所以BC⊥平面PAE，因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，又因为DF⊂平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC，故A、B、D都成立．故选C.
10.A
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，易知BD⊥AC.
又E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC，所以BD⊥EF.
由正方体的性质，知DD1⊥平面ABCD.又EF⊂平面ABCD，
所以DD1⊥EF.因为BD∩DD1＝D，所以EF⊥平面BDD1.
因为EF⊂平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，A正确．
假设平面B1EF⊥平面A1BD.因为平面B1EF⊥平面BDD1，
且平面A1BD∩平面BDD1＝BD，所以BD⊥平面B1EF.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，显然BD与平面B1EF不垂直，B错误．
设A1A与B1E的延长线相交于点P，所以平面B1EF与平面A1AC不平行，C错误．
连接AB1，B1C，易证平面ACB1∥平面A1C1D.因为平面ACB1与平面B1EF相交，所以平面B1EF与平面A1C1D不可能平行，D错误．
11．BCD
将正四面体的平面展开图复原为正四面体A(B，C)DEF，如图．由正四面体的结构特征知A错误，B正确．对于C，依题意，GH∥AD，MN∥AF，∠DAF＝60°，故GH与MN成60°角，故C正确．对于D，连接GF，AG，点A在平面DEF上的射影A1在GF上，∴DE⊥平面AGF，∴DE⊥AF，而AF∥MN，∴DE与MN垂直，故D正确．
12．①②④
解析：
∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，
∴AB綊D1C1，∴ABC1D1为平行四边形，∴AD1∥BC1，故①正确；∵AD1∥BC1，BC1⊂平面BDC1，AD1⊄平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1，
又BD∥B1D1，B1D1⊄平面BDC1，BD⊂平面BDC1，
∴B1D1∥平面BDC1，又AD1∩B1D1＝D1，
∴平面AB1D1∥平面BDC1，故②正确；故④正确；对于③，AD1与DC1为异面直线，故③不正确.
13．(1)(4)
解析：
如图所示，记DF交AE于点M，连接PM.
(1)∵D，F分别为AB，AC的中点，
∴DF∥BC.
∵DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，
∴BC∥平面PDF，(1)正确．
(2)∵DF∩AE ＝M，AE⊂平面PAE，
∴DF∩平面PAE＝M，(2)错误．
(3)假设平面PDF⊥平面ABC，
∵AC＝AB，E为BC中点，∴AE⊥BC，又DF∥BC，
∴AE⊥DF.
∵平面PDF∩平面ABC＝DF，AE⊄平面PDF，∴AE⊥平面PDF.又∵PF⊂平面PDF，∴PF⊥AE.
∵PA＝PC，F为AC中点，∴PF⊥AC.
∵AC∩AE＝A，∴PF⊥平面ABC.∴PF⊥DF.
∵三棱锥P－ABC的棱长都相等，D，F分别是AB，AC的中点，∴PD＝PF，∴PF与DF不垂直．
故假设不成立，(3)错误．
(4)∵三棱锥P－ABC的所有棱长都相等，∴PF＝PD.
又DM∥BC，M为DF中点，∴DM⊥PM，DM⊥AM.
∵AM，PM⊂平面PAE，AM∩PM＝M，∴DM⊥平面PAE.
又DM⊂平面PDF，∴平面PDF⊥平面PAE，(4)正确．