空间几何体的表面积与体积练习（1）

这是一份空间几何体的表面积与体积练习（1），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共10小题，共50分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A. 2B. C. 4D.
2.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A. B. C. D.
3.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球O的表面积为( )
A. B. C. D.
4.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和若，则( )
A. B. C. D.
5.正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为( )
A. B. C. D.
6.已知A，B，C是半径为1的球О的球面上的三个点，且，，则三棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
7.若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的表面上，若球O的表面积为，则球心O到平面ABC的距离为( )
A. B. C. 1D.
9.已知球的两个平行截面的面积分别为和，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是( )
A. 4B. 3C. 2D.
10.在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球.若，，，，则V的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共1小题，共5分。在每小题有多项符合题目要求）
11.如图，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，记三棱锥，，的体积分别为，，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12.如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥的体积是__________.
13.已知圆锥的侧面积单位：为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径单位：是__________.
14.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积是______.
1.【答案】B
【解析】解：由题意，设母线长为l，
因为圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，
则有，解得，
所以该圆锥的母线长为
故选：
设母线长为l，利用圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，列出方程，求解即可．
本题考查了旋转体的理解和应用，解题的关键是掌握圆锥底面周长即为侧面展开图半圆的弧长，圆锥的母线长即为侧面展开图半圆的半径，考查了逻辑推理能力与运算能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了立体几何中的比例关系，属于基础题.
设正四棱锥的高为h，底面边长为侧面三角形底边上的高为，根据题意列出的关系式，化简即可得到答案.
【解答】
解：设正四棱锥的高为h，底面边长为侧面三角形底边上的高为，
则由题意可得，
故，
化简可得
解得，负值舍去，
可得
故选
3.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查球的结构与性质，球的表面积公式，属基础题.
由题意可得圆的半径，结合正弦定理以及勾股定理可解.
【解答】
解：由圆的面积为，故圆的半径，
，则三角形ABC是正三角形，
由正弦定理：，得，
由，得球O的半径，
表面积为，
故选
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查圆锥的结构特征，侧面积和体积的运算，利用公式代入计算即可.
【解答】
解：设母线长为l，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，所以，
又，则，所以，
所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，
所以
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了棱台的结构特征与体积的求法.
由正四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解.
【解答】
解：作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图所示，
因为该正四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高，
下底面面积，上底面面积，
所以该棱台的体积
故选：
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查球的结构特征和三棱锥体积，属于中档题.
求出球心到平面的距离，即可求解．
【解答】
解：记的外接圆的圆心为，
由于，，则，；
又球的半径为1，所以，
则，
于是，所以，
又，、平面ABC，
易得平面
故
故选：
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题．
正方体的体对角线就是球的直径，求出半径后，即可求出球的表面积．
【解答】解：由题意，正方体的体对角线就是球的直径，
所以，
所以，
故选：
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查球的表面积，点到平面的距离，属于中档题.
根据正三角形是面积为得到的外接圆半径，根据球O的表面积为得到球的半径，利用勾股定理即可得到答案.
【解答】
解：设的外接圆圆心为，
设，圆的半径为r，球O的半径为R，
的边长为a，则，
可得，于是，
由题意知，球O的表面积为，
则，由，求得，
即O到平面ABC的距离为
故选
9.【答案】B
【解析】解：由题意画轴截面图，
截面的面积为，半径为，
截面的面积为的圆的半径是，
设球心到大截面圆的距离为d，
球的半径为r，则，
，
故选
画出图形，求出两个截面圆的半径，即可解答本题．
本题考查球的截面圆的半径，球的半径，球心到截面圆心的距离的关系，是基础题．
10.【答案】B
【解析】【分析】本题考查直三棱柱与球相切的问题，考查棱柱与球的结构特征及球的体积公式.
由题意可得若V最大，球与直三棱柱的部分面相切，当与三个侧面都相切时，可求得球的直径为4，超过直三棱柱的高，球放不进去，则球与上下底面相切，此时球的直径与棱柱高相等，该球的体积最大，利用球体积公式即可得出最大值.
【解答】解：由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，
若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，
超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，
则球可与上下底面相切，此时球的半径，
该球的体积最大，
故选
11.【答案】CD
【解析】【分析】
本题主要考查三棱锥的体积，属于基础题.
【解答】
解：设，则，连结BD交AC于
M，连结EM、FM，则，，，故，
，，
12.【答案】10
【解析】【分析】
推导出，三棱锥的体积：，由此能求出结果．
本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
【解答】
解：如图，
长方体的体积是120，E为的中点，
，
三棱锥的体积：
故答案为：
13.【答案】1
【解析】【分析】
本题考查圆锥的母线长的求法，注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点，属于基础题．
利用圆锥的侧面积，求出母线长，求解底面圆的周长，然后求解底面半径．
【解答】
解：圆锥侧面展开图是半圆，面积为，
设圆锥的母线长为a，则，，
侧面展开扇形的弧长为，
设圆锥的底面半径，则，解得
故答案为：
14.【答案】
【解析】解：由题意：圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，
对于轴截面有：，
，，
所以圆锥的侧面积为：
故答案为：
本题考查的是圆锥的侧面积求解问题．在解答的时候，应先结合：圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，分析圆锥的母线长和底面半径长，结合圆锥的侧面积公式即可获得问题的解答．
本题考查的是圆锥的侧面积求解问题．在解答的过程当中充分体现了三角形面积公式的应用、圆锥侧面积公式的应用以及转化思想的应用．值得同学们体会反思．