空间几何体的表面积与体积练习（2）

这是一份空间几何体的表面积与体积练习（2），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知正三棱台的高为1，上下底面的边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
2.设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为( )
A. B. C. D.
3.正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥的体积为( )
A. 3B. C. 1D.
4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为( )
A. B. C. D.
5.如图，正方体的棱长为4，动点E，F在棱AB上，且，动点Q在棱上，则三棱锥的体积( )
A. 与点E，F位置有关
B. 与点Q位置有关
C. 与点E，F，Q位置有关
D. 与点E，F，Q位置均无关，是定值
6.已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )
A. B. C. D.
7.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和若，则( )
A. B. C. D.
8.如果圆台的母线与底面成角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为.( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共2小题，共10分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，侧棱长为2，则( )
A. 棱台的侧面积为
B. 棱台的体积为
C. 棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为
D. 棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为
10.如图，在棱长为6的正方体中，E为棱上一点，且为棱的中点，点G是线段上的动点，则( )
A. 无论点G在线段上如何移动，都有
B. 四面体的体积为24
C. 直线AE与BF所成角的余弦值为
D. 直线与平面所成最大角的余弦值为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
11.已知圆锥的顶点为S，母线SA、SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________.
12.已知直四棱柱的棱长均为2，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为________.
13.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
14.正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为，则该四棱锥的侧面积__________
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了正三棱台和外接球的关系应用，球体表面积公式的应用.
【解答】解：由题意易得上底面所在平面截球面所得圆的半径为3，下底面所在平面截球面所得圆的半径为4，设该球的半径为R，当正三棱台的上、下底面在球心异侧时，有，无解；所以正三棱台的上、下底面在球心同侧，所以，解得，因此该球的表面积为
2.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查了球的综合运用，属于中档题．
【解答】解：设等边三角形ABC的边长为x，
则，得
设的外接圆半径为r，
则，解得，
所以球心到所在平面的距离，
则点D到平面ABC的最大距离，
所以三棱锥体积的最大值
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查几何体的体积的求法，求解几何体的底面面积与高是解题的关键．
由题意求出底面的面积，求出A到底面的距离，即可求解三棱锥的体积．
【解答】
解：正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，如图：
底面的面积：，
A到底面的距离就是底面正三角形的高：，
三棱锥的体积为：，
故选
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查学生的空间想象能力，正方体体积的相关计算和球表面积公式的运用，属基础题.
先通过正方体的体积，求出正方体的棱长，然后求出球的半径，即可求出球的表面积．
【解答】
解：正方体体积为8，可知其边长为2，
正方体的体对角线为，
即为球的直径，所以球的半径为，
所以球的表面积为
故选
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了棱锥的体积，考查学生的空间想象力，属于基础题．
，的面积不变，点Q到平面的距离也不变．
【解答】
解：，
，
则的面积不变，
因为，平面，不在平面上，
所以平面，
又，
则点Q到平面的距离不变，即点Q到平面的距离不变，
故三棱锥的体积与点E，F，Q位置均无关，是定值．
故选：
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查圆锥体积，最值计算.
【解答】
解：考虑与四棱锥的底面形状无关，不失一般性，假设底面是
边长为a的正方形，底面所在圆面的半径为r，则，
所以该四棱锥的高，所以体积
，设，
，，当，，单调递增，
当，，单调递减，所以当时，V取最大，此时，
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查圆锥的侧面积和体积求解，考查运算求解能力，属于中档题．
设圆的半径即圆锥母线为3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为，，高分别为，，则可求得，，，进而求得体积之比．
【解答】
解：如图，
甲，乙两个圆锥的侧面展开图刚好拼成一个圆，
设圆的半径即圆锥母线为3，则圆的周长为，
甲、乙两个圆锥的底面半径分别为，，高分别为，，
则，，解得，，
由勾股定理可得，
故选：
8.【答案】C
【解析】【分析】
考查了圆台侧面积公式，属于基础题．
设圆台上、下底面圆半径为r、R，则母线，高，由此结合圆台侧面积公式和梯形面积公式，即可算出该圆台的侧面积与轴截面面积的比．
【解答】
解：圆台的母线与底面成角，
设上底面圆半径为r，下底面圆半径为R，母线为l，可得，
则圆台的侧面积为，
又圆台的高，
圆台的轴截面面积为，
由此可得圆台的侧面积与轴截面面积的比为：
故选
9.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题以命题真假判断为载体，考查了棱台的结构特征，考查了棱台的侧面积和体积计算问题，考查了二面角的计算问题，属于中档题．
A计算棱台侧面积判断；B计算棱台体积判断；C求侧棱与底面成角余弦值判断；D求侧面与底面成角余弦值判断．
【解答】
解：作正四棱台如图所示，
对于A，过作于H，，所以，
所以棱台的侧面积为，所以A对；
对于B，连接AC、，过作于M，过作于N，
，，，，
上底面面积，下底面面积，
棱台的体积为，所以B错；
对于C，因为AM为在底面的投影，所以为侧棱与底面所成角，
，所以C对；
对于D，为侧面与底面所成锐二面角的平面角，，所以D对．
故选：
10.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查正方体的结构特征，空间中直线与直线的位置关系，异面直线所成角，直线与平面所成角，棱锥体积的计算，考查空间想象能力和转化思想，属于较难题.根据空间中直线与直线的位置关系，异面直线所成角，直线与平面所成角，棱锥体积的计算公式对选项逐一判断即可.
【解答】
解：对于A，在正方体中，易证平面，又平面，所以，故A正确；
对于B，，平面ABE，平面ABE，平面ABE，到平面ABE的距离等于到平面ABE的距离，
，故B正确；
对于C，在棱上取点N，使，连结BN，NE，如图，则易知为直线AE与BF所成角或其补角，由题意可得，，，
则，
则直线AE与BF所成角的余弦值为，故C错误；
对于D，由题意知三棱锥为棱长为的正四面体，
作平面，O为垂足，则O为正三角形的中心，
且为直线与平面所成角，
所以，
当点G移动到的中点时，最短，
此时最小，最大，
此时，故D正确.
故选
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆锥的结构特征和侧面积、三角形面积公式、直线与平面所成的角，属于中档题．
利用已知条件结合同角三角函数基本关系求出的值，根据三角形面积公式求出圆锥的母线长，利用母线与平面所成角求出底面半径，即可求出圆锥的侧面积．
【解答】解：因为圆锥的母线SA、SB所成角的余弦值为，，
所以
所以的面积为，
所以，
所以，所以
因为SA与圆锥底面所成角为，
所以圆锥的底面半径，
所以该圆锥的侧面积为
故答案为：
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查空间点线面距离的求法，球与几何体相交的交线的问题，难题比较大．
根据题意得到侧面，设P为侧面与球面的交线上的点，进而得到侧面与球面的交线上的点到E的距离为和即可.
【解答】
解：如图：
取的中点为E，的中点为F，的中点为G，
因为，直四棱柱的棱长均为2，
所以为等边三角形，所以，，
又四棱柱为直四棱柱，所以平面，
又平面，故，
因为，所以侧面，
设P为侧面与球面的交线上的点，则，
因为球的半径为，，所以，
所以侧面与球面的交线上的点到E的距离为，
因为，所以侧面与球面的交线是扇形EFG的弧，
因为，所以，
所以根据弧长公式可得
故答案为
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查正四棱锥与圆柱内接的组合体的结构特征，考查圆柱的体积公式，属中档题．
求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意求圆柱的底面半径和高，根据圆柱的体公式即可求解．
【解答】
解：由题可知，该四棱锥是正棱锥，
又底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，
由勾股定理得：正四棱锥的高为2，
由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，
圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于，
由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1，
则该圆柱的体积为：
故答案为
14.【答案】32
【解析】【分析】
在直角三角形中计算斜高，即可求解侧面积．
本题考查正四棱锥的侧面积，是基础题．
【解答】
解：如图，正四棱锥的高PO，斜高PE，OE组成
，，；
因此侧面积，
故答案为：