高考数学一轮复习第1章1预备知识在高考中的五大创新命题点学案

这是一份高考数学一轮复习第1章1预备知识在高考中的五大创新命题点学案，共5页。

由八省联考开幕的新高考打破了原来数学命题的固有模式，本章预备知识中各题也不再是过去的“送分题”．特别地，2021年新高考Ⅱ卷的第20题第(2)问将三点共线问题与充要条件交汇在一起，2022年北京卷第9题将集合与立体几何动点轨迹问题交汇在一起，2022年新高考Ⅱ卷第17题第(2)问将集合与数列交汇在一起，…….可见各个知识点的考查难易随时会变化，因此，高三复习中要立足数学的本质，重视思维过程，提升自己分析问题和解决问题的能力，全方位、多角度备战新高考．
命题点一 集合中的创新性问题
[典例1] (1)(2021·八省联考)已知M，N均为R的子集，若N∪(∁RM)＝N，则( )
A．M⊆N B．N⊆M
C．M⊆∁RN D．∁RN⊆M
(2)(2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A．62% B．56%
C．46% D．42%
(1)D (2)C [(1)由题意知，∁RM⊆N，其Venn图如图所示，
∴只有∁RN⊆M正确．故选D.
(2)设既喜欢足球又喜欢游泳的学生比例数为x.
由Venn图可知，82%－x＋60%＝96%，
解得x＝46%，故选C.]
两道考题与我们日常训练的题目的风格有点不同，尤其是第(1)题过于抽象，倘若不深入思考很难找到解题的切入点； 第(2)题情境化较浓，若对容斥原理(人教A版必修第一册P15阅读与思考)不熟，也难以解答．实际上两道试题均考查Venn图的应用，考查直观想象素养．
命题点二 集合与其他知识的交汇问题
[典例2] (2022·北京高考)已知正三棱锥P-ABC的六条棱长均为6，S是△ABC及其内部的点构成的集合．设集合T＝{Q∈S|PQ≤5}，则T表示的区域的面积为( )
A．3π4 B．π
C．2π D．3π
B [如图，过点P作PO⊥平面ABC，O为垂足，则由题意知，CO＝23，PC＝6，所以PO＝26，当CO上存在一点Q使得PQ＝5，此时QO＝1，则动点Q在以QO为半径，O为圆心的圆上及圆内，所以T表示的区域的面积为π.故选B.
]
该题源自人教A版必修第二册P163T5，虽然是空间动态问题，但整体难度不大，解答的关键是发现集合T＝{Q∈S|PQ≤5}的本质，同时抓住正三棱锥顶点P到平面ABC距离(PO)的不变性，借助直角三角形的三边关系寻找圆O的半径．
命题点三 基于数学知识的逻辑推理问题
[典例3] (2021·八省联考)关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：
甲：x＝1是该方程的根；
乙：x＝3是该方程的根；
丙：该方程两根之和为2；
丁：该方程两根异号.
如果只有一个假命题，则该命题是( )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
A [因为1×3>0，1＋3≠2，又四个命题三真一假，故甲、乙必有一个是假命题，由甲为假命题易知，符合题意，由乙为假命题推出矛盾. 故选A. ]
此题是基于数学知识背景下的逻辑推理问题，实际考查中，也可能基于数学文化、生活生产等，体现对逻辑推理素养及批判性思维能力的考查.
命题点四 不等式与基本不等式问题
[典例4] (多选)(2020·新高考Ⅰ卷)已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则( )
A．a2＋b2≥12 B．2a－b>12
C．lg2a＋lg2b≥－2 D．a+b≤2
ABD [对于选项A，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴a2＋b2≥12，A正确；对于选项B，易知02-1＝12，B正确；对于选项C，令a＝14，b＝34，则lg214＋lg234＝－2＋lg234<－2，C错误；对于选项D，∵2＝2a+b，∴[2a+b]2－(a+b)2＝a＋b－2ab＝(a-b)2≥0，∴a+b≤2，D正确．故选ABD.]
本题融不等式的性质、基本不等式、对数函数、指数函数等知识于一体，较为综合，解答此题的关键是熟知知识间的联系，如教材中重要不等式与基本不等式的关系：若a，b＞0，则ab≤a+b2≤a2+b22.
命题点五 充要条件的探求与证明问题
[典例5] (2021·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C的方程为：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，若右焦点为F(2，0)，且离心率为63.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M，N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线x2＋y2＝b2(x>0)相切，证明：M，N，F三点共线的充要条件是|MN|＝3.
[解] (1)由题意知c=2， ca=63， a2=b2+c2，⇒a=3，b=1，椭圆C的方程为x23＋y2＝1.
(2)证明：证必要性，如图，若M，N，F三点共线时，设直线MN的方程为x＝my＋2，
圆心O(0，0)到MN的距离d＝2m2+1＝1⇒m2＝1，
联立x=my+2，x2+3y2=3 ⇒(m2＋3)y2＋22my－1＝0⇒4y2＋22my－1＝0，Δ＝8m2＋16，∴y1＋y2＝－2m2，y1y2＝－14，
|MN|＝1+m2·8m2+164＝2×244＝3，必要性成立．
证充分性，当|MN|＝3时，设直线MN的方程为x＝ty＋m，
此时圆心O(0，0)到MN的距离d＝mt2+1＝1，m2－t2＝1，
联立x=ty+m，x2+3y2=3⇒(t2＋3)y2＋2tmy＋m2－3＝0，
Δ＝4t2m2－4(t2＋3)(m2－3)＝12(t2－m2＋3)＝24，y1＋y2＝－2tmt2+3，y1y2＝m2-3t2+3，
且|MN|＝1+t2·24t2+3＝3⇒t2＝1，∴m2＝2，
∵MN与曲线x2＋y2＝b2(x＞0)相切，∴m＞0，m＝2，∴直线MN的方程为x＝ty＋2恒过点F(2，0)，∴M，N，F三点共线，充分性得证，证毕．
本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，同时重点考查学生对充分性、必要性的认知和推理论证能力，对于充要条件的证明，教材习题在各个章节均有体现，如人教A版必修第一册P22练习T3、P23 T5、P85练习 T3等等．