高考数学一轮复习第9章9两种视角下探究二项分布概率的最值问题学案

这是一份高考数学一轮复习第9章9两种视角下探究二项分布概率的最值问题学案，共6页。
人教A版选择性必修第三册P81“探究与发现”中探究了二项分布的性质．设X～B(n，p)，则X的分布列为P(X＝k)＝Cnkpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.
探究问题1 探究函数f(k)＝Cnkpkqn－k(k＝0，1，2，…，n)，p＋q＝1，p，q∈R＋的最值取得情况，其中k为自变量．
令fkfk-1＝n+1-kpk1-p≥1，k＝1，2，…，n.
得出结论如下：
①当(n＋1)p为整数时，则当k＝(n＋1)p时取得概率最大值，又PX=kPX=k-1＝1，故此时可取的k值有2个：k＝(n＋1)p或(n＋1)p－1；
②当(n＋1)p不为整数时，则当k＝[(n＋1)p](不超过(n＋1)p的最大整数)时概率取得最大值．
[典例1] (2022·河北石家庄二模)北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会、南京青奥会后，第三次举办的奥运赛事．为助力冬奥，进一步增强群众的法治意识，提高群众奥运法律知识水平和文明素质，让法治精神携手冬奥走进千家万户，某市有关部门在该市市民中开展了“迎接冬奥·法治同行”主题法治宣传教育活动．该活动采取线上线下相结合的方式，线上有“知识大闯关”冬奥法律知识普及类趣味答题，线下有“冬奥普法”知识讲座，实现“冬奥＋普法”的全新模式．其中线上“知识大闯关”答题环节共计30个题目，每个题目2分，满分60分，现在从参与作答“知识大闯关”题目的市民中随机抽取1 000名市民，将他们的作答成绩分成6组：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]，并绘制了如图所示的频率分布直方图．
(1)请估计被抽取的1 000名市民作答成绩的平均数和中位数；
(2)视频率为概率，现从所有参与“知识大闯关”活动的市民中随机取20名，调查其掌握各类冬奥法律知识的情况．记k名市民的成绩在[40，60]的概率为P(X＝k)，k＝0，1，2，…，20.请估计这20名市民的作答成绩在[40，60]的人数为多少时P(X＝k)最大？并说明理由．
[解] (1)由频率分布直方图可知，抽取的1 000名市民作答成绩的平均数
x＝5×0.05＋15×0.1＋25×0.2＋35×0.3＋45×0.25＋55×0.1＝34(分)．
设1 000名市民作答成绩的中位数为x，
则0.05＋0.1＋0.2＋0.03×(x－30)＝0.5，
所以x＝35，
所以这1 000名市民作答成绩的平均数为34分，中位数为35分．
(2)估计这20位市民的作答成绩在[40，60]的人数为7时概率最大，
由已知得X ～ B(20，0.35)，
所以P(X＝k)＝C20k0.35k(1－0.35)20-k，k＝0，1，…，20，
令PX=k≥PX=k-1，PX=k≥PX=k+1，k＝1，2，…，19，
即C20k0.35k1-0.3520-k≥C20k-10.35k-11-0.3521-k， C20k0.35k1-0.3520-k≥C20k+10.35k+11-0.3519-k，
即721-k≥13k，13k+1≥720-k，解得6.35≤k≤7.35，
由k∈N*，∴k＝7，
所以这20位市民的作答成绩在[40，60]的人数为7时P(X＝k)最大．
本题属于n，p固定，探究以k为自变量的离散函数(数列)f(k)＝C20k0.35k(1－0.35)20-k，k＝0，1，…，20是否存在最值的问题，除本例解法外，也可以利用比商法，结合函数(数列)的单调性求解．
探究问题2 探究函数f(p)＝Cnkpkqn－k(k＝0，1，2，…，n，n∈Z，0＜p＜1，p＋q＝1)的最值取得情况，其中p为自变量，n，k为常数．
由f′(p)＝Cnk[kpk-1(1－p)n－k－pk(n－k)(1－p)n－k-1]＝Cnkpk-1(1－p)n－k-1[k(1－p)－(n－k)p]＝Cnkpk-1(1－p)n－k-1(k－np)可知，
(1)当k＝0时，f′(p)＜0恒成立，f(p)在(0，1)上单调递减，f(p)无最值；
(2)当k＝n时，f′(p)＞0恒成立，f(p)在(0，1)上单调递增，f(p)无最值；
(3)当k＝1，2，…，n－1时，
由于当p＜kn时，f′(p)＞0，f(p)单调递增，当p＞kn时，f′(p)＜0，f(p)单调递减，故当p＝kn时，f(p)取得最大值，f(p)max＝fkn.
又当p→0，f(p)→0，当p→1时，f(p)→0，从而f(p)无最小值．
上述两个问题的解决运用了函数与方程的思想，问题1中通过解不等式fkfk-1≥1比较f(k)与f(k－1)的大小．问题2中通过求导法判断函数的单调性求出最值．出于实际意义，一般更关注概率的最大值点的取得情况．存在最大值点的前提下，若视k为自变量，最大值点为某个随机变量，也可能是两个．若视p为自变量，f(p)＝Cnkpkqn－k，n，k为常数，相当于以p为自变量的多项式函数在(0，1)求最大值，最大值点只有一个．
[典例2] (2018·全国Ⅰ卷)某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品为不合格品的概率都为p(0＜p＜1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.
(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p0作为p的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X，求E(X)；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
[解] (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)＝C202p2(1－p)18.因此
f′(p)＝C202[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2C202p(1－p)17(1－10p)．
令f′(p)＝0，得p＝0.1.当p∈(0，0.1)时，f′(p)＞0；当p∈(0.1，1)时，f′(p)＜0.所以f(p)的最大值点为p0＝0.1.
(2)由(1)知，p＝0.1.
①令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y～B(180，0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.
所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.
②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．
由于E(X)＞400，故应该对余下的产品作检验．
命题者以概率p为自变量，视角新颖，求解该题除了判断分布类型，写分布列外，在解题过程中主要的难点来自用函数的思想来解决问题，应用导数求最小值．并且在第(2)问中要通过计算期望的数值做分析和决策．涉及求值、求值域、求参数的取值范围等问题时，树立函数意识，列出相应的函数表达式，将问题转化为求函数值和函数最值的问题来研究．
[跟进训练]
甲、乙两人进行下象棋比赛(没有平局)，采用“五局三胜”制．已知在每局比赛中，甲获胜的概率为p，0