河南省南阳市第一中学校2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题

这是一份河南省南阳市第一中学校2023-2024学年高一上学期第二次月考数学试题，共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
分值150分 时间120分钟
第Ⅰ卷（选择题，60分）
一、单选题（每题5分，共40分）
1.已知集合，，，则（ ）
A.B.C.D.
2.下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与；②与；
③与；④与.
A.②④B.③④C.②③D.①④
3.下列命题中，正确的是（ ）
A.若，则B.若，，则
C.若，，则D.若，则
4.函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ）
A.B.C.D.
5.定义在R上的函数，对任意的，，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A.B.C.D.
6.已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
7.若，，且满足，那么（ ）
A.B.C.D.
8.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A.B.C.D.
二、多选题（每题有多个答案，每题5分，共20分.选对5分，少选3分，有错选0分）
9.已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.不等式的解集为
C.不等式的解集为
D.
10.给出以下四个判断，其中正确的是（ ）
A.函数的值域为，则函数的值域为
B.函数的图象与直线的交点最多有1个
C.已知，则函数
D.函数在R上为减函数，则实数的取值范围
11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，，则下列叙述中错误的是（ ）
A.在上是增函数B.是奇函数
C.的值域是D.的值域是
12.已知，，设，，则以下四个命题中正确的是（ ）
A.若，则有最小值B.若，则有最大值2
C.若，则D.若，则有最小值
第Ⅱ卷（非选择题，90分）
三、填空题（每题5分，共20分）
13.______.
14.函数的单调增区间为______.
15.已知函数，若，恒成立，则实数的取值范围是______.
16.已知，，若任取，存在，使得，则实数的取值范围______.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分.要写出必要解题过程，规范答题）
17.已知幂函数在上是减函数，.
（1）求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
18.已知命题：，，命题：，使得
（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；
（2）若命题和命题有且仅有一个真命题，求实数的取值范围.
19.今年中秋国庆双节假期“合体”，人们的出游意愿进一步增强，国内长线游预订人次占比为49%.数据显示，中秋国庆假期，长线游预订占比近六成预订出游平均时长在5天以上.某旅游平台上，跨省游订单占比达73%，较2022年同期提升10个百分点.秋高气爽最适合登高爬山，某户外登山运动装备生产企业，2023年的固定成本为1000万元，每生产千件装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产10千件装备时需另投入资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2023年最多能售出150千件.
（1）写出2023年利润（万元）关于产量（千件）的函数；（利润=销售总额-总成本）
（2）当2023年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？
20.已知函数.
（1）求与，与的值；
（2）由（1）中求得的结果，猜想与的关系并证明你的猜想；
（3）求的值.
21.已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断在上的单调性，并用单调性定义证明；
（3）解不等式.
22.设函数，其中.
（1）若，且对任意的，都有，求实数的取值范围；
（2）若对任意的，，都有，求实数的取值范围.
南阳市一中2023级秋期高一数学第二次月考 参考答案：
一、单选题 1．A 2．B 3．D 4．D 5．C 6．A 7．C 8．C
7．【详解】由，可得.
因为函数在上单调递减，所以.
因为函数在上单调递减，所以.
因为函数在上单调递减，所以.
综上，. 故选：C
8．【详解】因为，，且，
所以，
当且仅当，即，时取等号，所以，因为恒成立，所以，即，解得，所以实数的取值范围是. 故选：C
二、多选题 9．AC 10．BD 11．BC 12．BC
11．【详解】根据题意知，，在定义域上单调递增，且，在上单调递增，∴在上是增函数，故A正确；
∵，，
∴，，∴函数既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；
∵，∴，，，∴，即，∴，故C错误，D正确. 故选：BC
12．【详解】A：，由，当且仅当时等号成立，错；
B：，当且仅当时等号成立，
即，可得，所以有最大值2，对；
C：，则，
又，，则，可得，所以，对；
D：由题设，即，
当且仅当时等号成立，所以，错. 故选：BC
三、填空题 13．1 14．（开闭区间均可） 15． 16．
15．【详解】因为，，令，则，，
所以，在定义域内单调递增，所以，
因为，恒成立，所以，即.故答案为：
16．【详解】当时，可知在上单调递减，在上单调递增，所以在上的值域为，在上的值域为，
所以在上的值域为，
∵，为增函数，在上的值域为，
所以，解得：, ∴的取值范围是
四、解答题
17．(1)（也可写成） (2)
【详解】（1）由函数为幂函数得，解得或，又函数在上是减函数，则，即，所以，；
（2）由（1）得，所以不等式为，
设函数，则函数的定义域为，且函数在上单调递减，
所以解得，所以实数的取值范围是.
18．(1) (2)
【详解】（1）解：由命题为真命题，
即不等式在上恒成立，即在上恒成立，
则满足，解得，即实数的取值范围为.
（2）解：当时，可得，则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，
因为命题，使得为真命题，所以，由（1）知，命题为真命题时，得，
当命题为真命题，为假命题时，可得；当命题为真命题，为假命题时，可得，
所以实数的取值范围为.
19．(1)
(2)当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.
【详解】（1）由题意知，当时，，所以，
当时，；
当时，，
所以；
（2）当时，函数在上是增函数，在上是减函数，
所以当时，有最大值，最大值为1500；
当时，由基本不等式，得，
当且仅当时取等号，所以当时，有最大值，最大值为1550；
因为，所以当年产量为100千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为1550万元.
20．(1)，，，
(2)，证明见解析 (3)
【详解】（1）解：，，，.
（2）解：猜想：，
证明：∵对于任意的，都有
∴. 故.
（3）解：由（2）得，
故，，，
所以
.
21．(1)， (2)增函数；证明见解析； (3)
【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，
；，解得，∴，而，解得，
∴，．
（2）函数在上为减函数；
证明如下：任意且，则
因为，所以，又因为，所以，
所以，即，所以函数在上为减函数．
（3）由题意，，又，所以，
即解不等式，所以，
所以，解得，所以该不等式的解集为．
22．(1) (2).
【详解】（1）“对任意的，都有”等价于“在区间上”.
时，，由二次函数的性质知函数的图象开口向上，
所以在上的最大值为或，
则，即，解得：，
故实数的取值范围为区间.
（2）设函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以“对任意的，都有”等价于“”，
又在上单调递减，在上单调递增，
①当时，在上单调递增，
则，，
即，解得，即；
②当.
由，解得：，即；
③当时，.
由，得，即；
④当时，.
由，得，即.
综上，的取值范围为.