湖南省衡阳县第二中学2023-2024学年高一上学期数学期末达标测试卷A卷

这是一份湖南省衡阳县第二中学2023-2024学年高一上学期数学期末达标测试卷A卷，共16页。
【满分：150分】
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，，.若，，则( )
A.B.C.1D.3
2.2022年11月1日凌晨4点27分，梦天实验舱与天和核心舱成功实现“太空握手”.对接时，只有空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，且空间站组合体前向端口朝向了梦天舱赶上来的方向，才能实现“太空握手”.根据以上信息，可知“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3.若扇形的圆心角，弦长，则弧长( )
A.B.C.D.
4.若实数a，b满足，则下列不等式正确的是( )
A.B.C.D.
5.已知角满足，则( )
A.B.C.D.
6.设函数，若，，，则a，b，c的大小为( )
A.B.C.D.
7.以下关于的命题，正确的是( )
A.函数在区间上单调递增
B.直线是函数图象的一条对称轴
C.点是函数图象的一个对称中心
D.将函数图象向左平移个单位，可得到的图象
8.已知函数，的定义域均为R，且，，若为偶函数，且，则( )
A.5B.4C.3D.0
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.已知幂函数的图像经过点，则( )
A.函数是偶函数
B.函数在定义域内是增函数
C.函数的图像一定经过点
D.函数的最小值为0
10.若函数在上满足：对任意的，当时，恒有，则称函数为“理想函数”.下列函数能被称为“理想函数”的有( )
A.B.
C.D.
11.已知正实数x，y满足，则( )
A.的最小值为
B.的最小值为8
C.的最大值为
D.没有最大值
12.已知函数的两个相邻零点间的距离为，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是( )
A.函数的图象关于直线对称
B.函数在区间上单调递减
C.
D.函数在区间内的零点个数为3
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数，则的值是________.
14.牛奶中细菌的标准新国标将最低门槛（允许的最大值）调整为200万个/毫升，牛奶中的细菌常温状态下大约20分钟就会繁殖一代，现将一袋细菌含量为3000个/毫升的牛奶常温放置于空气中，经过________分钟就不宜再饮用.（参考数据：，）
15.已知函数若方程有四个不同的解，，，且，则a的最小值是____________.
16.函数，若对于任意的有恒成立，则实数m的最小值是_______.
四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知集合，.
（1）求；
（2）求；
（3）若，且，求a的取值范围.
18.（12分）已知函数
(1)求函数的最小正周期及对称轴方程；
(2)将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的纵坐标不变､横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求在上的单调递减区间.
19.（12分）已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的m，，，都有.
（1）若，求a的取值范围.
（2）若不等式对任意和都恒成立，求t的取值范围.
20.（12分）为发展空间互联网，抢占6G技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入，据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入为万元.
（1）要使调整后的研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？
（2）是否存在实数m，同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
21.（12分）设，函数.
（1）求a的值，使得为奇函数；
（2）求证：时，函数在R上单调递减.
22.（12分）若函数和的图象均连续不断.和均在任意的区间上不恒为0，的定义域为，的定义域为，存在非空区间，满足，则称区间A为和的“区间”.
(1)写出和在上的一个区间”（无需证明）；
(2)若，，是和的“区间”，求a的取值范围.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为，故，故或，
若，则，，此时，符合；
若，则，，此时，不符合；故选：B.
2.答案：A
解析：由题意知，成功实现太空握手空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度，空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度太空握手，所以“梦天实验舱与天和核心舱成功实现‘太空握手’”是“空间站组合体与梦天实验舱处于同一轨道高度”的充分不必要条件.
3.答案：B
解析：扇形的圆心角，弦长，半径，又，弧长.故选B.
4.答案：C
解析：对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，因为，当时，，故B错误；
对于C，因为，所以，，所以，即，即，故C正确；
对于D，若，显然有，故D错误.故选：C.
5.答案：A
解析：因为，化简得，所以，
又，所以，故选：A.
6.答案：A
解析：因为，所以为偶函数，
所以，
当时，在上为增函数，
因为，，所以，
因为在上为增函数，所以，
所以，故选：A
7.答案：D
解析：由题得，
当时，，由于函数在不单调，
故函数在区间上不是单调递增函数，A错误；
当时，，故直线不是函数图象的对称轴，B错误；
当时，，故点不是函数图象的对称中心，C错误；
将函数图象向左平移个单位，可得到的图象，D正确，故选：D.
8.答案：B
解析：，以为对称中心，且；
即，
为偶函数，以y轴为对称轴；
，即，
由知，，
，，
从而，即，
的周期为4，的周期为4；
故.
故选：B.
9.答案：BD
解析：依题意，得，解得.所以.所以的定义域是，不关于原点对称，所以是非奇非偶函数，所以A错误.易知在上单调递增，所以B正确.因为，所以C错误.因为，所以D正确.故选BD.
10.答案：ABD
解析：不妨设，则由题意可得，即，由单调性定义可知，函数在上单调递增，即若在上单调递增，则称函数为“理想函数”.A中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；B中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义；C中，该函数在上单调递减，不符合“理想函数”的定义；D中，该函数在上单调递增，符合“理想函数”的定义.
11.答案：AC
解析：因为x，y为正实数，且，所以，.
所以，当时，的最小值为，故A正确；
，当且仅当，时等号成立，故B错误；
，当且仅当时等号成立，故，即的最大值为，故C正确；
，
，当且仅当，即时等号成立，所以.所以有最大值，故D错误.故选：AC.
12.答案：CD
解析：对于A选项，由题可得，，，令，，解得，，函数的图象关于直线，对称，故A错误；对于B选项，令，，得，，函数的单调递减区间为，，故B错误；对于C选项，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，故C正确；对于D选项，令，，得，，函数在区间内的零点有，，，共3个，故D正确.故选CD.
13.答案：
解析：由题意可知：因为，所以，
又，则有，故答案为：.
14.答案：188
解析：设经过x个周期后细菌含量超标，
即，即，
所以，
而，因此经过188分钟就不宜再饮用.故答案为：188.
15.答案：1
解析：画出的图象如图所示.
因为方程有四个不同的解，，，
故的图象与有四个不同的交点，又由图，，，
故a的取值范围是，故a的最小值是1.故答案为：1.
16.答案：
解析：
，，，
在上的最小值为，最小值为，令，解得，则实数m的最小值是.故答案为：.
17.答案：（1）；
（2）或；
（3）.
解析：（1），，
；
（2）
或；
（3）若，且，则，
所以，解得，
a的取值范围.
18.答案：(1)最小正周期为，对称轴方程为，
(2)，
解析：（1），
，
所以函数的最小正周期为，
令，，得函数的对称轴方程为，.
（2）将函数的图象向左平移个单位后所得图象的解析式为，
所以，
令，所以，.
又，
所以在上的单调递减区间为，.
19.答案：（1）；
（2）
解析：设任意，满足，
由题意可得：
即.所以在定义域，上是增函数，
由，得，解得，
故a的取值范围为；
（2）由以上知是定义在上的单调递增的奇函数，且，
得在上.
在上不等式对都恒成立，
所以即，对都恒成立，
令，，则只需，即.
解得
故t的取值范围.
20.答案：（1）调整后的技术人员最多有75人
（2）存在实数m满足条件，且实数m的值为7
解析：（1）依题意可得调整后研发人员人数为，年人均投入为万元，
则，解得，
又，，所以调整后的技术人员最多有75人.
（2）假设存在实数m满足条件.
由条件①，得，解得.
又，，所以当时，取得最大值7，所以.
由条件②，得，不等式两边同除以ax，
得，
整理得，
因为，当且仅当时等号成立，所以.
综上，得.
故存在实数m满足条件，且实数m的值为7.
21.答案：（1）时，为奇函数
（2）证明见解析
解析：（1）函数的定义域为R，
当为奇函数时，，即，
因为，
所以，解得，
所以，当时，为奇函数.
（2）证明：，
设且，
，
因为，，
所以，，，，，
所以，即，
所以，时，函数在R上单调递减.
22.答案：(1)（答案不唯一，是的子集即可）
(2)
解析：（1）令，解得，
故当时，，当时，，当时，；
令，解得，
故当时，，当时，，当时，；
若，解得，
故的解集为，
不妨取，则符合题意，
故和在上的一个区间”为；
（2）对，当时，则，
可得，即，
故，
在上单调递增，且，
故当时，，当时，则，当时，，
由题意可得：当时，，当时，，
注意到开口向上，由二次函数性质可得，
由消去b可得，解得，
故a的取值范围为.