湖南省衡阳县第二中学2023-2024学年高二上学期数学期末达标测试卷A卷

这是一份湖南省衡阳县第二中学2023-2024学年高二上学期数学期末达标测试卷A卷，共21页。
【满分：150分】
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知为等差数列，首项，公差，若，则( )
A.1B.2C.3D.4
2.已知，，且，则向量a与b的夹角为( )
A.B.C.D.
3.已知定点，点P为圆上的动点，点Q为直线上的动点.当取最小值时，设的面积为S，则( )
A.B.C.D.
4.已知等比数列的公比为，前n项和为.若，，则( )
A.3B.4C.5D.7
5.设双曲线的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，且的面积为，则C的方程为( )
A.B.C.D.
6.已知m是方程的一个根，则( )
A.1B.2C.3D.5
7.已知椭圆，O为坐标原点，直线l交椭圆于A，B两点，M为AB的中点.若直线l与OM的斜率之积为，则C的离心率为( )
A.B.C.D.
8.已知函数有两个不同的极值点，，若不等式有解，则t的取值范围是( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.是等差数列，公差为d，前n项和为，若，，则下列结论正确的是( ).
A.B.C.D.
10.已知函数，则( )
A.曲线在点处的切线方程为
B.有两个极值点
C.，都能使方程有三个实数根
D.曲线是中心对称图形
11.如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，底面ABCD，则( )
A.
B.PB与平面ABCD所成的角为
C.异面直线AB与PC所成角的余弦值为
D.平面PAB与平面ABCD所成的二面角为
12.已知M，N是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点F的距离为，下列说法正确的是( )
A.
B.若，则直线MN恒过定点
C.若的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为
D.若，则直线MN的斜率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.在等比数列中，若，，且公比为整数，则__________.
14.已知直线是曲线在点处的切线方程，则_________.
15.写出与两圆，均相切的一条直线方程为___________.
16.在棱长为3的正方体中，点E，F分别在棱AB，BC上，，点G，H为棱上的动点.若平面平面，，则__________.
四、解答题：本题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知数列的前n项和，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）已知，求数列的前n项和.
18.（12分）已知椭圆的离心率为，依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点F为E的右焦点，，直线l交E于P，Q（均不与点A重合）两点，直线l，AP，AQ的斜率分别为，，若，求的周长.
19.（12分）已知函数，.
（1）若的极大值为1，求实数a的值；
（2）若，求证：.
20.（12分）如图1，菱形ABCD中，，动点E，F分别在边AD，AB上（不含端点），且，沿EF将向上折起得到，使得平面平面BCDEF，如图2所示.
（1）当为何值时，；
（2）若直线PC与平面BCDEF所成角的正切值为，求平面PEF与平面PBD所成角的大小.
21.（12分）设A，B为双曲线（，）的左、右顶点，直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，当直线l垂直于x轴时，为等腰直角三角形.
（1）求双曲线C的离心率；
（2）已知，若直线AM，AN分别交直线于P，Q两点，若为x轴上的动点，当直线l的倾斜角变化时，若为锐角，求t的取值范围.
22.（12分）已知函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若，且，证明：有且仅有两个零点.（e为自然对数的底数）
答案以及解析
1.答案：D
解析：因为首项，公差，所以，
因为，所以，解得，故选D.
2.答案：D
解析：，，，
.
又，向量a与b的夹角为.故选D.
3.答案：D
解析：圆的圆心为原点，半径为2.易知过原点且与直线垂直的直线方程为，则点到直线的距离为.又因为原点到直线的距离为，所以的最小值为，则.故选D.
4.答案：C
解析：法一：因为等比数列的公比为，，，所以，解得.故选C.
法二：根据等比数列前n项和的性质得，，成等比数列，且公比为，所以，即，解得.故选C.
5.答案：B
解析：直线为双曲线的一条渐近线，
设双曲线C的方程为，则右焦点为，
故右焦点F到直线的距离，，，，故C的方程为.故选B.
6.答案：B
解析：，
设，则恒成立，故单调递增，
由得，即.
因为m是方程的一个根，所以，所以，所以，故选B.
7.答案：D
解析：设，，，将A，B两点坐标代入椭圆C的方程可得，，两式相减可得.
又因为M为AB的中点，所以所以.
所以，.
又直线l与OM的斜率之积为，
所以，即，
所以椭圆C的离心率.故选D.
8.答案：C
解析：由题可得：，因为函数有两个不同的极值点，，所以方程有两个不相等的正实数根，
于是有解得.若不等式有解，所以
因为
.
设，，故在上单调递增，故，所以，所以t的取值范围是.故选：C.
9.答案：ABD
解析：B：由可得，故B正确.A：由可得，由可得，所以，故等差数列是递减数列，即，故A正确.
C：，所以，故C不正确.
D：因为等差数列是单调递减数列，且，所以，则，故D正确.故选ABD.
10.答案：BCD
解析：由题可得，，，曲线在点处的切线方程为，故A错误.令，得或；令，得，在和上单调递增，在上单调递减，有两个极值点，故B正确.结合B选项，，，且当时，；当时，，对于，都能使方程有三个实数根，故C正确.，，（另解：，令，则是R上的奇函数，且），曲线关于点中心对称，故D正确.故选BCD.
11.答案：AC
解析：设，则.因为，所以由余弦定理，得.所以，所以.又底面ABCD，所以DA，DB，DP三条直线两两垂直，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，所以，，，，.所以，所以，即，故A正确.
易知平面ABCD的一个法向量为.设直线PB与平面ABCD所成的角为，则，所以直线PB与平面ABCD所成的角为，故B错误.
设直线AB与PC所成的角为，则，故C正确.
设平面PAB的法向量为，则即取，则，，所以，所以，故D错误.选AC.
12.答案：AD
解析：根据抛物线的定义知，得，故A选项正确；设，，因为直线MN斜率必存在，设直线MN的方程为，代入得，，，，所以，解得，所以直线MN恒过定点，故B选项错误；外接圆圆心的纵坐标为，外接圆半径为，故C选项错误；
因为，所以直线MN过焦点F，且，设直线MN的倾斜角为，由抛物线性质知MN的斜率为互为相反数的两个值，如图，过M，N分别向准线作垂线MA，NB，过N向MA作垂线NC，设，则，，，，，，，故D选项正确.故选AD.
一题多解：对于D选项，因为，，所以，.又，，解得，.不妨设，由，得，，则，，.根据对称性知，故D正确.
13.答案：512
解析：由得，，故.
14.答案：e
解析：由题设，且，则，
所以切线方程为，即，
所以，故.故答案为：e.
15.答案：或或(答出其中一个即可)
解析：由，得圆心为，半径为1.
由得，圆心为，半径为4.
所以圆心距为，故两圆外切，如图.
易知公切线斜率存在，设其方程为，
所以，解得，或或，
所以公切线方程为或或.
16.答案：
解析：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，.设，由，得.
设平面ACH的一个法向量为，，，则取，得.设平面EFG的一个法向量为，，，则取，得.因为平面平面ACH，所以，所以，解得.
17.答案：（1）证明见解析
（2）数列的前n项和为，
解析：（1）证明：，，①
当时，；
当时，.
由得.
当时，满足上式，
数列的通项公式为，.
，为常数，
数列是等差数列.
（2）由知，
数列的前n项和为
，.
18.答案：(1)；
(2)
解析：（1）因为椭圆的离心率为，故，故，
因为依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为，故，
所以，故，
故椭圆方程为：.
（2）设直线，，
则，，故，
故
，
由可得，
故，
整理得到，
又，
故
，
故或，此时均满足.
若，则直线，此时直线恒过，与题设矛盾，
若，则直线，此时直线恒过，
而为椭圆的左焦点，设为，
故的周长为.
19.答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）的定义域为，.
当时，，在上单调递增，函数无极值；
当时，令，得，令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当时，取得极大值，极大值为，解得.
经验证符合题意，故实数a的值为.
（2）证明：当时，，故要证，即证.
令，则，.
令，，则，
所以在上单调递增，
又因为，，
所以，使得，即，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
又因为，即，
所以，
所以，即，故得证.
20.答案：（1）
（2）
解析：（1）菱形ABCD中，，
，均是等边三角形.
，，是等边三角形.
取EF的中点O，连接PO，OC，则，.
平面平面BCDEF，平面平面，
平面，.
以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
设菱形ABCD的边长为a，则，，，
，，，，
，.
，
，解得或（舍去），
当时，.
（2）平面，为PC与平面BCDEF所成角，
，解得.
由（1）知平面PEF，
为平面PEF的一个法向量.
设平面PBD的一个法向量为，
，，
则
取，得，
，
平面PEF与平面PBD所成角为.
21.答案：（1）2
（2）或
解析：（1）易知右焦点，将代入，得，
当直线l垂直于x轴时，为等腰直角三角形，
此时，即，整理得，
因为，所以，
方程两边同除以得，解得或（舍去），
所以双曲线C的离心率为2.
（2）因为，所以，
因为，所以，故，
所以双曲线的方程为.
当直线l的斜率存在时，设其方程为，
与双曲线方程联立，消y得，
设，，
则，，
则
，
因为直线l过右焦点F且与双曲线C的右支交于M，N两点，
所以，，解得，
直线，则，同理可求得，
所以，，
因为为锐角，所以，
即，所以，
所以，即，解得或.
当直线l的斜率不存在时，将代入双曲线方程可得，
此时不妨设，，
此时直线，点P的坐标为，同理可得，
所以，，
因为为锐角，所以，解得或.
综上所述，t的取值范围为或.
22.答案：(1)答案见解析
(2)证明见解析
解析：(1)由题意得函数的定义域为，
，当时，令，得，
所以在上单调递增；
令，得，
所以在上单调递减；
当时，因为恒成立，
所以在上单调递增；
(2)，
令，则在时恒成立，
所以在时单调递增，且，
所以有两个零点等价于有两个零点.
因为，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
因为，所以.
下面证明当时，，
设，则，
令，又，
当时，恒成立，
所以单调递增，
得，
故在上单调递增，
得，即，
又因为，
所以在，上各存在一个零点，
所以时，函数有且仅有两个零点，
即当时，函数有且仅有两个零点.