第4章 等可能条件下的概率（单元测试·基础卷）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

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第4章 等可能条件下的概率（单元测试·基础卷）【要点回顾】【要点1】确定事件和随机事件（1）确定事件必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件。不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件。（2）随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不放声的事件，称为随机事件。【要点2】频率与概率（1）概率的概念[来源:学科网]一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A).[来源:学科网ZXXK]（2）频率与概率的关系当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值.学科+网【要点3】概率的计算（1）公式法一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果,那么事件A发生的概率为P(A)＝（2）列表法当一次试验要涉及两个因素(例如掷两个骰子)并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.（3）画树状图当一次试验要涉及3个或更多的因素(例如从3个口袋中取球)时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图.（4）几何概型一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝,解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算.（5） 游戏公平性判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平.单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023春·广东河源·九年级校考开学考试）在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中绿球1个，红球1个，黑球2个，“从袋中任意摸出2个球，它们的颜色相同”这一事件是（    ）A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件 D．确定事件2．（2023秋·全国·九年级专题练习）下列随机试验中，结果具有“等可能性”的是（    ）A．掷一枚质地均匀的骰子 B．篮球运动员定点投篮C．掷一个矿泉水瓶盖 D．从装有若干小球的透明袋子摸球3．（2023秋·九年级课前预习）某校九年级6名学生和1位老师共7人在毕业前合影留念（站成一行），若老师站在中间，则不同的站位方法有（　　）A．6种 B．120种 C．240种 D．720种4．（2023春·浙江金华·九年级校联考阶段练习）抛一枚均匀的骰子，下列事件中，发生可能性最大的是（　 　）A．点数是奇数 B．点数是3的倍数C．点数大于5 D．点数小于55．（2023秋·浙江绍兴·九年级校考阶段练习）投掷9次硬币，有7次正面向上，2次反面向上，那么投第10次硬币，正面向上的可能性是（   ）A． B． C． D．6．（2023秋·广东深圳·九年级校考阶段练习）一个暗箱里装有10个黑球，8个白球，12个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（    ）A． B． C． D．7．（2023·安徽宿州·统考模拟预测）某校为了增强学生对“垃圾分类”重要性的认识，举办了一场“垃圾分类”知识竞赛．八（1）班共有3名学生（2名男生，1名女生）获奖，班主任老师若从获奖的3名学生中任选两名作为班级的“环保标兵”，则恰好是一名男生、一名女生的概率为（    ）A． B． C． D．8．（2015·四川遂宁·统考中考真题）在一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同．从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是（ ）A． B． C． D．9．（2023春·山西晋中·七年级统考期末）某高校6名大学生（其中4名男生，2名女生）有幸成为太原国际马拉松赛志愿者，现要从这6名志愿者中随机抽取1名同学负责某补给站能量物资的发放工作，恰好选中女生的概率是（    ）  A． B． C． D．10．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（　　）A． B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2021秋·九年级单元测试）从，，0，﹣2，π，这五个数中随机抽取一个数，恰好是无理数的概率是 ．12．（2023秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）我校九年级学生在参加“青春有梦”演讲比赛中，有4位女生和6位男生获奖，现从中任选一位学生代表去领奖，则选中 生可能性大．（填写“女”或“男”）13．（2023秋·江苏盐城·九年级校考阶段练习）一个不透明的盒子中装在5个形状，大小质地完全相同的小球，这些小球上分别标有数字、、0、1、3，从中随机摸出一个小球，则这个小球所标数字是正数的概率为 ．14．（2023秋·辽宁阜新·九年级统考阶段练习）如图所示的两个转盘进行“配紫色”游戏，配得紫色的概率是 ．（第一个圆三等份，第二个圆二等份，红色和蓝色配成紫色）  15．（2023秋·浙江杭州·九年级浙江师范大学附属杭州笕桥实验中学校考阶段练习）一个盒子中有m个红球、3个白球，每个球除颜色外都相同．从中任取一个球，若取得白球的概率是，则 ．16．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，以正方形边长为直径做半圆，形成如下图形，若将飞镖随机投掷到正方形镖盘面上，则飞镖落在黑色区域的概率是 ．  17．（2022·北京朝阳·北京市陈经纶中学分校校考模拟预测）小夏同学从家到学校有，两条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：据此估计，早高峰期间，乘坐线路“用时不超过分钟”的概率为 ，若要在分钟之内到达学校，应尽量选择乘坐 （填或）线路．18．（2021秋·九年级单元测试）随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，求能让灯泡发光的概率列表如下：共有 种等可能的情况，必须闭合开关S3灯泡才亮，即能让灯泡发光的概率是 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023春·上海·八年级专题练习）盒中装有红球、黄球各100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案．（1）摸到红球是不可能的；（2）摸到红球是必然的；（3）摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能．20．（8分）（2018春·陕西西安·七年级校考期末）在一个不透明的袋中装有3个绿球,5个红球和若干个白球,它们除颜色外其他都相同,将球搅匀,从中任意摸出一个球.（要求通过列式或列方程解答）（1）若袋内白球有4个,求任意摸出一个球是绿球的概率是多少?（2）如果任意摸出一个球是绿球的概率是 ,求袋子内有几个白球?21．（10分）（2023秋·江苏盐城·九年级景山中学校考阶段练习）把算珠放在计数器的3根插棒上可以构成一个数，例如：如图摆放的算珠表示数．  （1）若将一颗算珠任意摆放在这3根插棒上，则构成的数是三位数的概率是______________；（2）现将两颗算珠任意摆放在这3根插棒上，先放一颗算珠，再放另一颗，请用列表或画树状图的方法，求构成的数是两位数的概率．22．（10分）（2023秋·陕西榆林·九年级榆林市第一中学分校校考阶段练习）春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀．中秋节前，某校举行“传经典・庆佳节”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A-歌谣传情意，B-创意做灯笼，C-花好月圆写中秋，D-亲子乐中秋，人人参加，每人任意从中选一项．为公平起见，学校制作了如图所示的可自由转动的转盘，将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，每位学生转动转盘一次，转盘停止后，指针所指扇形部分的字母对应的活动项目即为他选到的项目（当指针指在分界线上时重转）．  （1）任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率是______；（2）甲、乙是该校的两位学生，请用列表或画树状图的方法，求甲和乙选到不同活动项目的概率．23．（10分）（2023春·陕西西安·七年级校考期末）在一个不透明的袋子中装有5个红球和10个黄球，这些球除颜色外都相同，将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球．（1）求出摸出的球是红球的概率；（2）为了使摸出两种球的概率相同，再放进去9个同样的红球或黄球．那么这9个球中红球和黄球的数量分别应是多少？24．（12分）（2022·福建泉州·校考模拟预测）某超市“五一”大酬宾，设立购物抽奖活动，奖项设置面值不同的购物卡，分别是：一等奖元，二等奖元，三等奖元，参与奖元，凡购物满元及以上者，每元可抽奖一次（不足元一概不计入），每次抽奖过程如下：在一个不透明的袋了里装有三个小球，球面上分别标注数字“”，“”，“”，它们除数字不同外没有任何区别抽奖顾客先随机摸出一球，记下数字后，将小球放回袋中充分搅匀，再随机摸出一球，若两球标注的数字之和为“”，则获一等奖，数字之和为“”，则获二等奖，数字之和为“”，则获三等奖，其余均为参与奖．（1）试利用树状图或列表法求顾客获得一等奖、二等奖、三等奖的概率；（2）若此次超市大酬宾中，超市业绩调查部门抽查了位顾客的消费金额绘制成条形统计图如下（尾数不足，全部去尾折算为的倍数）：①求上述顾客消费金额样本的平均数；②据“五一节”当天统计，购物顾客一共在超市进行了次抽奖，超市每销售元，平均可获利元，请根据上述样本数据分析，扣除兑现的购物卡金额外，估计这一天超市共盈利多少元？（精确到元）参考答案：1．B【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．解：在一个不透明的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中绿球1个，红球1个，黑球2个，“从袋中任意摸出2个球，它们的颜色相同”这一事件是是随机事件．故选：B．【点拨】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2．A解：A，掷一枚质地均匀的骰子，任一点数的概率都是六分之一，故该选项正确；B，篮球运动员定点投篮，投中与否的概率并不相等，故该选项错误；C，掷一个矿泉水瓶盖，因瓶盖质地不均匀，正反面出现的概率并不相等，故该选项错误；D，从装有若干小球的透明袋子摸球，摸到某一颜色小球的概率不一定相等，故该选项错误；故选A．【点拨】本题考查等可能事件的判断，掌握等可能事件的定义是解题的关键．3．D【分析】分为六步，第一位同学有6种选法，第二名同学有5种选法，第三名同学有4种选法，第四名同学有3种选法，第五名同学有2种选法，第六名同学有1种选法，据此可得答案．解：老师在中间，则第一位同学有6种选法，第二名同学有5种选法，第三名同学有4种选法，第四名同学有3种选法，第五名同学有2种选法，第六名同学有1种选法因此，共有种故选：D．【点拨】本题考查了简单事件的排列组合问题，正确理解题意，依次列出所有同学的可能的站法是解题关键．4．D【分析】分别计算各自概率后判断即可．解：A．∵奇数有1，3，5共3个，∴点数是奇数的概率为；B．∵3的倍数的数有3，6，∴点数是3的倍数的概率为；C．∵点数大于5的数有6共1个，∴点数大于5的概率为；D．∵点数小于5的数有1，2，3，4共4个，∴点数小于5的概率为；∵，∴发生可能性最大的是点数小于5．故选D．【点拨】此题考查了概率的计算方法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．5．C【分析】因为每次投掷硬币是独立事件，相互不影响，据此作答即可．解：硬币有2面，正面向上的可能性是，因为每次投掷硬币是独立事件，相互不影响，即每次投掷硬币，正面朝上的可能性都是，故选：C．【点拨】本题主要考查了简单概率的计算，掌握每次投掷硬币是独立事件，相互不影响，是解答本题的关键．6．C【分析】让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率．解：10个黑球，8个白球，12个红球一共是30个，所以从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是．故选：C．【点拨】本题考查了统计与概率中概率的求法，用到的要点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．7．A【分析】利用列举法即可求解．解：可能的情况有：，，，则恰好是一名男生、一名女生的概率为：，故选A．【点拨】本题考查了用列举法求概率，熟练掌握其方法是解题的关键．8．D解：从装有3个白球和5个红球的布袋中随机摸出一个球，摸到红球的概率是．故选：D．9．C【分析】用女生人数除以学生总数即为所求的概率．解：因为6名同学中有2位女生，那么抽到有女生的概率是，故选：C．【点拨】本题考查概率公式，掌握随机事件A的概率等于事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数是解题的关键．10．C【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．解：∵总面积为，其中阴影部分面积为，∴飞镖落在阴影部分的概率是．故选：C．【点拨】本题考查了几何概率的求法，解题的关键是根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件A；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件A发生的概率．11．【分析】直接利用概率公式计算得出答案．解：从，0，﹣2，π这五个数中随机抽取一个数，抽到的无理数的有，π这2种可能，∴抽到的无理数的概率是，故答案为：．【点拨】本题主要考查概率的计算，解决本题的关键是要熟练掌握概率计算方法.12．男【分析】根据任选一位学生代表去领奖，分别计算出选中“女”和“男”的概率比较即可．解：由题意得：选中男生的概率为：，选中女生的概率为：，，选中男生可能性大，故答案为：男．【点拨】此题考查了简单概率的计算．熟练掌握：概率所求情况数与总情况数之比是解题的关键．13．/【分析】求出事件全部结果数及摸出的小球所标数字是正数的全部结果数，由概率计算公式即可求得答案．解：∵共五个数，正数为1、3，共2个，∴从中随机地摸取一个小球，则这个小球所标数字是无理数的概率为，故答案为：．【点拨】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．14．/0.5【分析】运用画树状图把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．解：转盘一中的颜色分别用红，红，蓝表示，转盘二中的颜色分别用红，蓝表示，∴画树状图把所有等可能结果表示，如图所示，  共有种等可能结果，其中红色和蓝色配成紫色的有种，∴配得紫色的概率是，故答案为：．【点拨】本题主要考查运用画树状图法求随机事件概率的计算，掌握以上知识是解题的关键．15．【分析】由于取得白球的概率是，故可利用概率公式求出摸到白球的概率列出等式，求出m的值．解：，∴，经检验是原方程的解，∴，故答案为：．【点拨】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求解是解题的关键．16．/【分析】如图，连接，相交于点O，根据正方形被分成四等分，飞镖落在每个区域的机会是均等的，即可得到飞镖落在黑色区域的概率．解：如图，连接，相交于点O，  ∵正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，∴正方形被分成四个全等的等腰直角三角形，黑色区域的面积正好等于两个等腰直角三角形的面积，即黑色区域占了正方形面积的,∵飞镖落在每个区域的机会是均等的，∴飞镖落在黑色区域的概率是，故答案为：【点拨】此题考查了几何概率，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．17． /0.2 【分析】用“用时不超过35分钟”的班次除以总班次即可求得概率；根据40分钟之内公交车的班次数，即可判断．解：乘坐线路“用时不超过分钟”的有（班次），乘坐线路“用时不超过分钟”的概率为，线路不超过分钟的有（班次），线路不超过分钟的有（班次），选择线路，故答案为：，．【点拨】考查了概率公式，根据表格结合概率公式求解是解答本题的关键．18． 6 【分析】（1）根据表格中列出的可能的情况求解即可；（2）根据表格中列出的能让灯泡发光的的有4种情况，总共有6种等可能的情况，然后根据概率公式求解即可．解：由表格可得，所有等可能的情况分别为：（S2，S1） ，（S3，S1） ，（S1，S2） ，（S3，S2） ，（S1，S3） ，（S2，S3） ，所以共有6种等可能的情况，故答案为：6．由表格可得，其中能让灯泡发光的情况有：（S3，S1） ，（S3，S2） ，（S1，S3） ，（S2，S3） ，∴能让灯泡发光的情况有4种，∴能让灯泡发光的概率是，故答案为：．【点拨】本题考查的是用列表法求概率．解题的关键是熟练掌握列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的要点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析【分析】（1）不放红球即可．（2）都放红球即可．（3）根据可能性的程度确定红球比例即可．（1）解：盒中只有100个黄球，摸出1个红球；（2）解：盒中只有100个红球，摸出1个红球；（3）解：盒中有99个红球、1个黄球，摸到红球；盒中有50个红球，50个黄球，摸出1个红球；盒中有99个黄球，1个红球，摸出1个红球（答案不唯一）．【点拨】本题主要考查随机事件概率的运算方法，能够通过概率大小确定红球个数是解题关键．20．（1） ；（2）2.【分析】（1）依据有5个红球，3个绿球和4个白球，即可得到任意摸出一个球是绿球的概率；（2）设袋子内有n个白球，依据概率公式列出方程，即可得到白球的数量．解：（1）任意摸出一个球是绿球的概率是： ；（2）设袋子内有n个白球，则 ，解得n=2，∴袋子内有2个白球．故答案为（1） ；（2）2.【点拨】本题考查概率的求法与运用，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．21．（1）；（2）【分析】（1）一共有三种情况，只有一种情况符合题意，即可求得结果；（2）根据列表法或树状图法可以列出所有情况，再找出符合题意的情况，即可求得结果．（1）解：3根插棒，一共有三种情况，只有把算珠摆放到百位数上才能构成三位数，所以概率为；（2）解：列表法：共9种情况，满足题意的有（十，十）、（十，个）、（个、十）3种，所以构成的数是两位数的概率为．【点拨】本题考查了列表法与树状图法，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合时间的结果数目，然后利用概率公式计算是解题的关键．22．（1）；（2）【分析】（1）根据将圆形转盘四等分，即可求解；（2）画出树状图即可求解．（1）解：∵将圆形转盘四等分、并标上字母A、B、C、D，∴任意转动转盘一次，选到“A-歌谣传情意”的概率为：故答案为：（2）解：画出树状图，如图：  共有种等可能结果，其中甲和乙选到不同活动项目的结果有种故甲和乙选到不同活动项目的概率为：【点拨】本题考查列表法或树状图法求概率的相关知识．掌握相关结论并正确求解是解答的关键．23．（1）；（2）这9个球中红球有7个，则黄球为2个【分析】（1）根据概率公式进行计算即可；（2）设这9个球中红球有x个，则黄球为个，根据摸出两种球的概率相同，列出方程，解方程即可．（1）解：∵袋子中装有5个红球和10个黄球，∴将袋子中的球充分摇匀后，随机摸出一球，摸出的球是红球的概率为．（2）解：设这9个球中红球有x个，则黄球为个，根据题意得：，解得：，黄球个数为：（个），答：这9个球中红球有7个，则黄球为2个．【点拨】本题主要考查了概率公式的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握概率的计算公式．24．（1）一等奖的概率是，二等奖的概率是，三等奖的概率是；（2）①每位顾客消费的金额的平均数为元；②这一天超市共盈利约为元【分析】（1）运用树状图或列表法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解；（2）①根据加权平均数的计算公式即可求解；②根据题意，分别算出总营业额，兑奖金额，由此即可求解．（1）解：列表法将所有可能表示出来如下表，共有中等可能结果，其中和为的有种，即获得一等奖有种；和为的有种，即获得二等奖的有种；和为的有种，即获得三等奖的有种，∴，，，∴一等奖的概率是，二等奖的概率是，三等奖的概率是．（2）解：①根据题意，加权平均数的公式得，（元），∴每位顾客消费的金额的平均数为元；②∵超市每销售元，平均可获利元，∴获利率为，∵每位顾客消费的金额的平均数为元，超市进行了次抽奖，∴（元），∵尾数不足，全部去尾折算为的倍数，∴一等奖的奖金为（元），二等奖的奖金为（元），三等奖的奖金为∴这一天的盈利为（元），∴这一天超市共盈利约为元．【点拨】本题主要考查用列表法或画树状图法求随机事件的概率，加权平均数的计算方法，利润的计算方法等知识的综合，掌握以上知识的运用是解题的关键．公交车用时频数公交车线路总计S1S2S3S1（S2，S1）（S3，S1）S2（S1，S2）（S3，S2）S3（S1，S3）（S2，S3）百十个百（百，百）（十，百）（个，百）十（百，十）（十，十）（个，十）个（百，个）（十，个）（个，个）    第一次 第二次