第4章 等可能条件下的概率（单元测试·培优卷）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

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第4章 等可能条件下的概率（单元测试·培优卷）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2023秋·九年级课时练习）若气象部门预报明天下雨的概率是85%，下列说法正确的是（   ）A．明天下雨的可能性比较大 B．明天一定不会下雨C．明天一定会下雨 D．明天下雨的可能性比较小2．（2022秋·江苏·九年级专题练习）下列说法正确的是（　　）A．“平分弦的直径垂直于弦”是必然事件B．“垂直于弦的直径平分弦”是必然事件C．可能性是0.1%的事件在一次试验中一定不会发生D．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件3．（2017秋·湖南衡阳·九年级统考期末）如果手头没有硬币，下列方法可以模拟掷硬币实验的是（  ）A．掷一个瓶盖，盖面朝上代表正面，盖面朝下代表反面B．掷一枚图钉，钉尖着地代表正面，钉帽着地代表反面C．用计算器产生1和2两个随机整数，1代表正面，2代表反面D．转动如图所示的装盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面4．（2023秋·全国·九年级专题练习）一个不透明的口袋里有四个完全相同的小球，分别写有数字3，4，5，6，口袋外有两个小球，分别写有数字3，6，现随机从口袋里取出一个小球，以这个小球与口袋外的两个小球上的数为边能构成等腰三角形的概率是（    ）A． B． C． D．15．（2023春·浙江·九年级专题练习）一个不透明的口袋中，装有5个黄球、4个蓝球和若干个红球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球是黄球的概率是，则从中任意摸出一个球是红球的概率是（    ）A． B． C． D．6．（2023秋·浙江·九年级专题练习）甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，描述错误的是（    ）A．甲，乙获胜的概率均低于0.5 B．甲，乙获胜的概率相同C．甲，乙获胜的概率均高于0.5 D．游戏公平7．（2021秋·九年级单元测试）小明在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所示，则最可能符合这一结果的实验是（　 　）A．掷一枚骰子，出现3点的概率B．抛一枚硬币，出现反面的概率C．任意写一个整数，它能被3整除的概率D．从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率8．（2023·安徽合肥·统考三模）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过10的素数2，3，5，7中，随机选取两个不同的数，其和小于10的概率是（    ）A． B． C． D．9．（2023春·九年级单元测试）正面分别标有数字、、、、、的六张不透明卡片，它们除数字不同外其余均相同，现将其背面向上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为，则值使关于的分式方程的解不小于，且使关于的一元二次方程有实数解的概率是（   ）A． B． C． D．10．（2023·辽宁阜新·校联考一模）如图，点O为正六边形对角线上一点，假设可以随机在正六边形中取点，那么这个点取在阴影部分的概率是（    ）．  A． B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2023春·上海青浦·八年级统考期末）从①，②，③，④四个关系中，任选两个作为条件，那么选到能够判定四边形是平行四边形的概率是 ．12．（2021·广东惠州·惠州一中校考一模）从、0、、2这4个数中任取一个数，作为关于的一元二次方程的值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是 ．13．（2023春·七年级课时练习）要在一只不透明的袋中放入若干个只有颜色不同的乒乓球，搅匀后，使得从袋中任意摸出一个乒乓球是白色的概率是，可以怎样放球： （只写一种即可）．14．（2021·湖北襄阳·一模）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是0.5，则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路，之间，电流能够正常通过的概率是 ．15．（2022秋·北京·九年级北京市第十二中学校考期中）从数﹣3，，0，2中任取一个数记为a，再从余下的三个数中，任取一个数记为b．若k＝a+b，反比例函数y＝的图象经过第一、三象限的概率是 ．16．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字，1，2，它们除了数字不同外，其他都完全相同．小红从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为的值，不放回，再从布袋中随机摸出一个小球，记下数字作为的值，使得关于的一元二次方程有实数根的概率是 ．17．（2023秋·黑龙江大庆·七年级统考期末）如图，点A、B分别是正方形地板砖两邻边的中点，一只蚂蚁在上面爬行，蚂蚁停留在阴影部分的概率为 ．  18．（2023秋·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考阶段练习）从，这五个数字中，随机抽取一个数，记为，则使得关于的方程的解为非负数，且的不算式组恰好仅有三个整数解的概率是 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023秋·浙江·九年级专题练习）一只不透明的袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，（1）会出现哪些可能的结果？（2）事先能确定摸出的一定是红球吗？（3）你认为摸到哪种颜色的球的概率最大？（4）怎样改变袋子中白球、黄球、红球的个数，使摸到这些颜色的球的概率相等？20．（8分）（2021春·全国·七年级专题练习）一个不透明口袋中装有红球6个，黄球9个，绿球3个，这些球除颜色外其他都相同，从袋中任意摸出一个球．（1）摸到绿球的概率是多少？（2）要拿出一部分黄球，使摸到绿球的概率为，需要在这个口袋中拿出多少个黄球？21．（10分）（2023秋·全国·九年级专题练习）下图是两个可以自由转动的转盘，甲转盘被等分成3个扇形，乙转盘被等分成4个扇形，每一个扇形上都标有相应的数字．小亮和小颖利用它们做游戏，游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指区域内的数字之和小于10，则小颖获胜；若指针所指区域内的数字之和等于10，则为平局；若指针所指区域内的数字之和大于10，则小亮获胜．如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止．  （1）请你通过画树状图或列表的方法求小颖获胜的概率．（2）该游戏规则是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计出一种公平的游戏规则．22．（10分）（2020·江苏泰州·校考二模）某射击队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据射击运动员的年龄（单位：岁），绘制出如下的统计图．（1）求m的值；（2）求该射击队运动员的平均年龄；（3）小文认为，若从该射击队中任意挑选四名队员，则必有一名队员的年龄是15岁．你认为她的判断正确吗？为什么？23．（10分）（2023秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）“天宫课堂”第三课开讲，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲相互配合进行授课，激发了同学们学习航天知识的热情，在学校组织的航天知识竞赛中，学校决定通过两人做游戏的方式，从中选取一名游戏获胜的同学作为代表分享获奖心得，游戏规则如下：甲口袋（不透明）有1，2，3的三个小球，乙口袋（不透明）有1，2，3，4的四个小球，每个口袋中的小球除编号外其他都相同．小明先从甲口袋中随机摸出一个球，小雪再从乙口袋中随机摸出一个球，若两球编号之和为偶数，则小明获胜，则小雪获胜．（1）小明摸到小球的编号为2的概率为________；（2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．24．（12分）（2023秋·全国·九年级专题练习）某村深入贯彻落实习近平新时代中国特色社会主义思想，认真践行“绿水青山就是金山银山”理念．在外打工的王大叔返回江南创业，承包了四座荒山，各栽100棵小枣树，发现成活率均为97%，现已挂果，经济效益初步显现，为了分析收成情况，他任意选了两座山（记作甲山、乙山），从两山上随意各采摘了4棵树上的小枣，每棵的产量如折线统计图所示．（1）直接写出甲山4棵小枣树产量的中位数；（2）分别计算甲、乙两座山小枣样本的平均数，并判断哪座山的样本的产量高；（3）用样本平均数估计四座荒山小枣的产量总和；（4）用树状图或表格分析王大叔选中甲、乙两座山的概率．参考答案：1．A【分析】根据概率的意义去理解即可．解：∵气象部门预报明天下雨的概率是85%，说明明天下雨的可能性比较大故选A．【点拨】本题考查了概率的意义，熟练掌握意义是解题的关键．2．B【分析】根据垂径定理、概率的意义，轴对称图形以及随机事件逐一判断即可．解：A．“平分弦的直径垂直于弦”当被平分的弦是直径时，这个结论就不正确，应该为“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦”，因此A不符合题意；B．“垂直于弦的直径平分弦”是正确的，故B符合题意；C． 可能性是0.1%的事件也可能发生，只是发生的可能性很小，因此C不正确，故C不符合题意；D． 等边三角形是轴对称图形，因此“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，因此D不正确，故D不符合题意；故选：B．【点拨】本题考查了垂径定理、概率的意义，轴对称图形以及随机事件等知识，利用相关的知识对每个选项进行判断是解题的关键．3．A解：A选项中，一个瓶盖可用盖面朝上表示硬币的正面，盖面朝下表示硬币的反面，两者出现的概率一样，可作实验替代物，所以本选项正确；B选项中，图钉尖朝上的概率大于面朝上的概率，不可做实验替代物，所以本选项错误；C选项中，用计算器产生1和2两个随机整数，1代表正面，2代表反面，两数产生的概率不同，不能代替抛掷硬币的实验，所以本选项错误；D选项中，转动如图所示的装盘，指针指向“红”代表正面，指针指向“蓝”代表反面，由于还有一个“黄色区域”，本实验中有三种等可能结果，与抛掷硬币实验情况不一样，所以本选项错误；故选A.4．A【分析】由题意可知共有4种等可能的结果，再由三角形的三边关系和等腰三角形的判定得出能构成等腰三角形的有1种情况，然后由概率公式求解即可．解：∵一个不透明的口袋里有四个完全相同的小球，分别写有数字3，4，5，6,∴共有4种等可能的结果，∴这个小球与口袋外的两个小球上的数为边能构成等腰三角形的有：3，6，6，共1种情况，∴能构成等腰三角形的概率是，故选：A．【点拨】此题考查了概率公式、等腰三角形的判定以及三角形的三边关系，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．5．A【分析】首先设口袋中红球的个数为x个，根据题意求得红球个数即可求出摸到红球的概率．解：设布袋中红球的个数为x个，∵任意摸出一个球是黄球的概率是，∴，解得：x=1，∴P（摸到红球）=．故选A．【点拨】本题考查了简单事件的概率，记住概率公式是解题的关键．6．C【分析】根据游戏结局共有三种情形，其中甲、乙获胜的概率都为，即可求解．解：甲、乙两人玩“石头，剪刀，布”的游戏，约定只玩一局，结局有甲获胜（乙输）、平局、乙获胜（甲输），三种结局，其中，甲、乙获胜的概率都为，则A，B，D，选项正确，C选项错误．故选C【点拨】本题考查了概率公式求概率，游戏的公平性，求得概率是解题的关键．7．C【分析】根据统计图可知试验结果的频率在30%—40%之间，然后分别计算出四个选项的概率，概率在30%—40%之间即符合题意．解：A、掷一枚骰子，出现4点的概率为,不符合题意；B、抛一枚硬币，出现反面的概率为,不符合题意；C、任意写出一个整数，能被3整除的概率为，符合题意；D、从一副扑克中任取一张，取到“大王”的概率为．故答案为C．【点拨】本题主要考查了利用频率估计概率以及运用概率公式求概率，掌握利用频率估计概率的方法成为解答本题的关键．8．B【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，其中抽到的两个素数之和小于10的结果有8个，再由概率公式求解即可．解：画树状图如图：共有12个等可能的结果，抽到的两个素数之和小于10的结果有8个，∴抽到的两个素数之和小于10的概率为．故选：B．【点拨】此题主要考查了列表法与树状图法求概率以及概率公式，正确画出树状图得出所有的可能是解题关键．9．A【分析】先求出分式方程的解为：，然后根据分式方程的解不小于，得，，，由一元二次方程有实数根，得，，，最后根据概率公式进行计算即可．解：关于的分式方程的解为：，且，解得：且且，，，，一元二次方程有实数根，且，，，，，使关于的分式方程的解不小于，且使关于的一元二次方程有实数解的概率为．故选：A．【点拨】本题考查概率的求法，概率所求情况数与总情况数之比．得到使一元二次方程有实数根和分式方程有解的情况数是解决本题的关键．10．B【分析】如图，连接、、，则交点为，设正六边形的边长为，每个小三角形底边上的高为，则的长为，正六边形的面积为，，然后根据这个点取在阴影部分的概率是，计算求解即可．解：∵正六边形，如图，连接、、，则交点为，  设正六边形的边长为，每个小三角形底边上的高为，则的长为，∴正六边形的面积为，，∴这个点取在阴影部分的概率是，故选：B．【点拨】本题考查了几何概率．解题的关键在于正确表示阴影部分、正六边形的面积．11．【分析】根据一对对边平行且相等的四边形、两组对边相等的四边形、两组对边平行的四边形都是平行四边形，逐一判定，而后根据概率的计算方法解答．解：①，②，∴四边形ABCD是平行四边形，①，③，∴四边形ABCD是平行四边形，①，④，无法判断；②，③，无法判断；②，④∴四边形ABCD是平行四边形；③，④∴四边形ABCD是平行四边形； 故选到能够判定判定四边形有4种结果，∴选到能够判定是菱形的概率是，故答案为：．【点拨】本题主要考查了平行四边形的判定，概率等，解决问题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，概率的计算方法．12．【分析】根据根的判别式算出k的取值范围后，看看4个数中有几个满足条件，然后可以得到所求概率值．解：，又k=0时，原方程只有x=1一个解，∴满足条件的k值只有一个-1，所以所求概率为，故答案为 ．【点拨】本题考查根的判别式、一元一次不等式、概率的综合应用，由题意根据一元二次方程根的判别式与根个数的对应关系计算出系数k的取值范围是解题关键．13．放入4个黄球，1个白球（答案不唯一）【分析】根据概率的意义，可知要使得从袋中任意摸出一个乒乓球是白色的概率是，只需使白球占总数的即可．解：根据概率的意义，可知要使得从袋中任意摸出一个乒乓球是白色的概率是，只需使白球占总数的即可，例如：在袋中放入4个黄球，1个白球，故答案为：放入4个黄球，1个白球（答案不唯一）．【点拨】本题考查概率，解题的关键是熟练掌握概率的意义．14．【分析】根据题意，某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，可得两个元件同时不正常工作的概率为0.25，进而由概率的意义可得一定时间内AB之间电流能够正常流通的概率．解：根据题意，某一个电子元件正常工作的概率为0.5，即某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，则两个元件同时不正常工作的概率为0.25（正常正常，正常不正常，不正常正常，不正常不正常）故一定时间内AB之间电流能够正常流通的概率=1-0.25=0.75故答案为：0.75．【点拨】本题考查了等可能事件的概率，于基础题，到的知识点为：电流正常通过的概率=1-电流不能正常通过的概率．15．【分析】反比例函数 的图象经过第一、三象限，得k＞0，然后分别取a=-3，a=-，a=0，a=2几种情况列举出所有等可能结果及满足条件结果，进行计算.解：反比例函数 的图象进过第一、三象限，得k＞0，（1）a=-3时，b取-、0、2时，k+b均小于0；（2）a=-时，b取-3、0、2时，只有当b=2时，k+b＞0，（3）a=0时，b取-3、-、2时，只有当b=2时，k+b＞0，（4）a=2时，b取-3、-、0时，当b取0和-时，k+b＞0，故一共有12种等可能的结果，满足条件的占4种，概率为 ；故答案为.【点拨】本题考查反比例函数的性质及利用列举法求概率，注意分类讨论思想的应用.16．【分析】先列表或画树状图，列出a、b的所有可能的值，进而通过一元二次方程根的判别式，求出使得关于的一元二次方程有实数根的概率．解：方程有实数根，则有,即,列表：共有9种等可能的结果数，其中符合条件的结果数为7，所以使得关于的一元二次方程有实数根的概率=．故答案为．【点拨】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．17．/0.375【分析】直接利用已知表示出阴影部分面积，进而得出蚂蚁停留在阴影部分的概率．解：如图所示，设正方形的边长为，  由题意可得，阴影部分的面积为：正方形面积，故蚂蚁停留在阴影部分的概率为：．故答案为：．【点拨】本题考查几何概率，解题关键是理解阴影部分在整体中的比例就是所求事件的概率．18．【分析】首先确定能使得关于的方程的解为非负数，然后找到满足关于的不等式组 至少有三个整数解的的值，然后利用概率公式求解即可.解：解方程 得: ∵解为非负数， 且 解得:且解不等式组 得: ，∵有三个整数解，∴∴使得关于的方程 的解为非负数，且的不等式组 有三个整数解的的值有共个， ．故答案为：．【点拨】此题考查了概率公式的应用.用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比.19．（1）白、黄、红三种；（2）不能；（3）红球；（4）袋子中白球、黄球、红球的个数相同【分析】（1）根据事情发生的可能性，注意判断即可；（2）根据红球的多少判断，只能确定出现的可能性较大；（3）根据红球的数量多，抽出的可能性就大；（4）根据概率相等就是出现的可能性一样大，可让数量相等即可．（1）解：会出现：白、黄、红三种（2）解：不能确定摸出的球一定是红球；（3）解由于红球数量最多，所以红球出现的概率最大；（4）解：袋子中白球、黄球、红球的个数相同时，三者的概率相等．【点拨】此题主要考查了事件发生的可能性，关键是根据事件发生的可能大小和概率判断即可，比较简单的中考常考题．20．（1）；（2）6．【分析】（1）根据随机事件概率大小的求法计算即可；（2）根据绿球的概率公式得到相应的方程，求解即可．解：（1）袋中共个球．有绿球3个，故摸中绿球概率是．（2）设拿出个黄球，，解得，，经检验，是分式方程的解，∴需要在这个口袋中拿出6个黄球．【点拨】本题考查概率的求法与运用，解题关键是熟悉概率的求法并能根据题意列方程．21．（1）；（2）不公平，公平的游戏规则见详解【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出小颖获胜的概率即可；（2）判断游戏的公平性，首先要计算出游戏双方赢的概率，概率相等则公平，否则不公平；然后设计出公平的游戏规则（答案不唯一）．（1）解：根据题意，画树状图如下所示：  由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中指针所指区域内的两数字之和小于10的有6种， ∴小颖获胜的概率为；（2）该游戏规则不公平．由（1）可知，共有12种等可能的情况，其和大于10的情况有3种，∴小亮获胜的概率为，而小颖获胜的概率为，故该游戏规则不公平．游戏规则可修改为以下两种：①当两个转盘指针所指区域内的数字之和大于或等于10时，小亮获胜；当两个转盘指针所指区域内的数字之和小于10时，小颖获胜；②当两个转盘指针所指区域内的数字之和为奇数时，小亮获胜；当两个转盘指针所指区域内的数字之和为偶数时，小颖获胜．（答案不唯一）【点拨】本题主要考查了列举法求概率以及概率的应用，理解题意，正确作出树状图或列表是解题关键．22．（1）20；（2）15岁；（3）不正确，理由见分析．【分析】（1）用1减去各个年龄的百分数即可求解；（2）利用加权平均数公式求出平均数即可解决问题；（3）判断错误．可能抽到13岁，14岁，16岁，17岁．解：（1）．故的值是20；（2）（岁，故该射击队运动员的平均年龄是15岁；（3）小文的判断是错误的，可能抽到的是13岁、14岁、16岁、17岁．【点拨】本题考查扇形统计图，加权平均数的知识和概率知识，熟练掌握基本知识是解题的关键．23．（1）；（2）公平，见分析【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）先用列表法将所有可能发生的结果列出来，再分别求出小明获胜和小雪获胜的概率，进行比较即可求解．（1）解：∵甲口袋（不透明）装有编号为1，2，3的三个小球，∴小明摸到小球的编号为2的概率为，故答案为：；（2）根据题意列表如下：∴共有12种等可能的结果，其中两球编号之和为偶数的有6种结果，则小明获胜的概率是，小雪获胜的概率是，∴这个游戏对双方公平．【点拨】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（1）38千克；（2）甲座山小枣样本的平均数为40千克，乙座山小枣样本的平均数为40千克，甲、乙两座山的样本的产量一样高；（3）15520千克；（4）【分析】（1）根据中位数的定义求解可得．（2）根据平均数的定义分别计算出甲、乙两座山样本的产量，据此可得．（3）用平均数乘枣树的棵树，求得四座山的产量和，再乘成活率即可．（4）用表格或树状图列出所有可能的结果，然后用概率公式即可求得．（1）解：因为甲山4棵小枣树产量分别为34千克、36千克、40千克、50千克，所以甲山4棵小枣树产量的中位数为（千克）．故答案为：38千克．（2）解：因为（千克），（千克），所以，所以甲、乙两座山的样本的产量一样高．答：甲座山小枣样本的平均数为40千克，乙座山小枣样本的平均数为40千克，甲、乙两座山的样本的产量一样高．（3）四座山的小枣树的总产量为：（千克）．答：用样本平均数估计四座荒山小枣的产量总和为15520千克．（4）将这四座山分别记作甲山、乙山、丙山、丁山，列表如下：由上表可知，共有12种等可能的结果，其中选中甲、乙两座山的结果数为2种，所以王大叔选中甲、乙两座山的概率为．【点拨】本题考查了统计与概率，涉及折线统计图、平均数、中位数、用样本平均数估计总体、画树状图或列表求简单事件的概率等，解题的关键是根据折线统计图得出正确的信息．-112-1121234123甲乙丙丁甲甲乙甲丙甲丁乙乙甲乙丙乙丁丙丙甲丙乙丙丁丁丁甲丁乙丁丙