专题3.1 数据的集中趋势和离散程度（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

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专题3.1 数据的集中趋势和离散程度（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】平均数一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为.要点提醒：平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势.（1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数.（2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响.若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数.要点提醒:（1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”.（2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 【知识点2】中位数与众数1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数.要点提醒:（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半.2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.要点提醒:（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数.【知识点3】平均数、中位数与众数的联系与区别联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要.区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述.【知识点4】方差用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，极差＝最大值－最小值.要点提醒：极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据极差越小，这组数据就越稳定.方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.方差的计算公式是：　　要点提醒：（1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.（2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变.（3）一组数据的每一个数据都变为原来的倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的 倍.方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用符号表示，即：；标准差的数量单位与原数据一致.【知识点5】极差、方差和标准差的联系与区别联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数．区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性也越小；反之，则稳定性越好．所以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差.【知识点6】用样本估计总体在考察总体的平均水平或方差时，往往都是通过抽取样本，用样本的平均水平或方差近似估计得到总体的平均水平或方差.要点提醒：（1）如果总体数量太多，或者从总体中抽取个体的试验带有破坏性，都应该抽取样本.取样必须具有尽可能大的代表性.（2）用样本估计总体时，样本容量越大，样本对总体的估计也越精确.样本容量的确定既要考虑问题本身的需要，又要考虑实现的可能性所付出的代价.数据的集中趋势和离散程度考点目录：【考点1】平均数与加权平均数 【考点2】中位数与众数 【考点3】方差与标准差【考点一】平均数与加权平均数【例1】（2023春·江西赣州·八年级校联考期末）某校欲招聘一名教师，对甲、乙两名候选人进行了三项素质测试，各项测试成绩满分均为分，根据最终成绩择优录用，他们的各项测试成绩如下表所示： （1）如果学校认为这三项素质测试成绩同等重要，从他们的成绩看，______将被录取；填“甲”或“乙”（2）如果学校根据实际需要，将通识知识、专业知识和实践能力三项测试得分按的比例确定最终成绩，请计算甲、乙两人各自的最终成绩，确定谁将被录取．【答案】（1）乙；（2）甲将被录用，理由见分析【分析】（1）根据平均数的计算公式分别求出甲、乙的成绩，再进行比较，即可得出答案；（2）将两人的总成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果．（1）解：甲的平均成绩为：（分），乙的平均成绩为：（分），∴乙的平均成绩最好，乙将被录用，故答案为：乙；（2）甲的测试成绩为：（分），乙的测试成绩为：（分），∴甲的综合成绩最好，甲将被录用．【点拨】本题考查平均数和加权平均数，掌握平均数和加权平均数的计算公式是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·河北衡水·九年级校考期中）某校组织学生进行绘画比赛，对参赛作品按A，B，C，D四个等级进行评定，四个等级的分数分别为A级5分，B级4分，C级2分，D级1分．现随机抽取部分学生绘画作品的评定结果进行分析，并根据各等级的人数绘制了如图所示的条形图和不完整的扇形图，条形图不小心被撕掉了一块，则被调查学生的平均分数为（    ）  A．3分 B．分 C．分 D．分【答案】D【分析】先根据A， D等级的人数和，及圆心角的度数和求出总人数，再根据各级的度数和总人数分别求出B 级、C 级的人数，最后根据平均数的计算公式即可求出答案．解：A， D等级的人数和为人，圆心角的度数和为，被调查学生的总人数为人，B等级的人数人，C等级的人数人，则被调查学生的平均分数为分，故选：D．【点拨】此题考查了条形统计图与扇形统计图，根据A， D等级的人数和，及圆心角的度数和求出总人数是解题的关键．【变式2】（2023春·北京密云·八年级统考期末）某测评中心分别从操作系统、硬件规格、屏幕尺寸和电池寿命四个方面对新投入市场的两款智能手机进行测评．各项得分均按十分制计，然后再按操作系统占，硬件规格占、屏幕尺寸占、电池寿命占，计算这两款智能手机的综合得分．这两款智能手机的各项得分如下表所示：由此计算得到A款智能手机的综合得分为6.3，B款智能手机的综合得分为 ．【答案】6【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可．解：B款智能手机的综合得分为：（分）．故答案为：6．【点拨】本题考查加权平均数，理解加权平均数的定义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．【考点二】中位数与众数【例2】（2023春·福建泉州·八年级统考期末）为了加强学生的心理健康教育，某校组织七年级一部分学生进行了心理健康知识测试，并根据测试成绩绘制出如下不完整的统计图．  根据所给的信息，解答下列问题：（1）求七年级参加测试的学生人数，并将条形统计图补画完整；（2）请求出这组测试成绩的众数和中位数．【答案】（1）人，补全图形见分析（2）众数为分，中位数为：分【分析】（1）根据80的人数除以占比求得总人数，进而求得70分和90分的人数，补全统计图；（2）根据中位数与众数的定义，即可求解．（1）解：设每个年级参加测试的学生人数为：（人）如图；  （2）这组测试成绩的众数为分，中位数为：分．【点拨】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求众数，中位数，熟练掌握以上知识是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·海南·九年级校联考期中）2023年春节前夕，海口骑楼老街举办以“兔飞猛进·艺迎新春”为主题的国潮年艺节，为市民带来一场春节文化艺术盛宴．某校九年级5个班积极参加志愿者服务，已知5个班级参加志愿者服务的人数（单位：人）分别为：13、21、27、27、23，这组数据的中位数和众数分别是（    ）A．27，27 B．26，27 C．23，27 D．21，23【答案】C【分析】根据中位数和众数的意义，找到排序后处在中间位置的数是中位数，出同次数最多的数是众数求解即可．解：∵将这五个数据从小到大排列：13，21，23，27，27，∴中位数是23．∵27出现次数最多有2次，∴众数是27．故选：C．【点拨】本题考查中位数和众数的意义，解题关键是掌握将一组数据从小到大排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数是中位数，出现次数最多的数是众数．【变式2】（2022春·云南德宏·八年级统考期末）4月23日是“世界读书日”，某班举行了图书捐赠活动，班长对全班45名学生的捐赠情况进行了调查，并依据调查结果绘制成折线统计图（如右图所示），该班本次图书数量的众数是 ，中位数是 ．  【答案】 5 6【分析】根据统计图，找出出现次数最多的数据，即为总数，找出第23个数据，即为中位数．解：由图可知，捐赠了5本书的人数最多，有12个人，∴众数为5，∵一共有45人，∴中位数为第23个人捐赠的本数，∵，∴第23个人捐赠了6本，故答案为：5，6．【点拨】本题主要考查了求众数和中位数，解题的关键是掌握一组数据按大小排序，若有奇数个数据，中位数就是最中间的那个数据，若有偶数个数据，中位数是最中间两个数据的平均数；一组数据中出现次数最多的数据即为众数．【考点三】平均数、中位数、众数综合【例3】（2023秋·福建漳州·八年级统考期末）某校八年级举行“学习二十大”的党史知识竞赛，在活动中随机抽取50名学生的成绩绘制如图所示的统计图．  （1）写出这50名同学成绩的众数和中位数；（2）请根据所学的统计知识，估算八年级学生在这次党史知识竞赛的平均成绩【答案】（1）众数是80分，中位数是80分；（2）85分【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可；（2）根据平均数的定义求解即可．（1）解：由图可得，80分出现25次，出现的次数最多，∴这50名同学成绩的众数是80分，把这50名同学成绩按照从小到大的顺序排列，处于中间的两个分数分别是80分、80分，∴这50名同学成绩的中位数是分；（2）解：（分），答：八年级学生在这次党史知识竞赛的平均成绩为85分．【点拨】本题考查众数、平均数和中位数的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2023·河北沧州·模拟预测）抽样调查某品牌灯泡的使用寿命，数据如下（单位：年）：3，4，5，6，8，8，8，10，该灯泡的生产厂家在广告中称自己产品的使用寿命是8年，则厂家表达集中趋势时用的是（    ）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．中位数或众数【答案】C【分析】分别求出八个数据平均数、中位数、众数，逐一判断即可．解：A、八个数据：3，4，5，6，8，8，8，10，其平均数为，故此选项不符合题意．B、八个数据：3，4，5，6，8，8，8，10，其中位数为，故此选项不符合题意．C、八个数据：3，4，5，6，8，8，8，10，出现频数最多的是8，故众数为8，此选项符合题意．D、八个数据：3，4，5，6，8，8，8，10，其中位数为，故此选项不符合题意．故选：C．【点拨】本题考查了众数、中位数、平均数的概念，解题的关键是熟知众数、中位数、平均数的计算法．【变式2】（2022春·甘肃天水·八年级统考期末）为积极响应国家“建设美丽乡村”政策，我市在一地实行试点示范建设，下表是六个乡镇推荐候选的数据统计结果上表统计的数据的平均数为 ，中位数为 ．【答案】 40 40【分析】根据平均数的公式求得上表统计的数据中的平均数，将其按从小到大的顺序排列中间的那个是中位数．解：平均数为，把这几个数据按从小到大顺序排列为：27，31，37，43，49，53，中位数为．故答案为：40；40．【点拨】本题考查了平均数和中位数的知识，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握平均数和中位数的定义．【考点四】方差【例4】（2023春·四川绵阳·八年级统考期末）红旗村种植户王大叔，想了解甲、乙两种黄瓜的挂果情况，现从种植田中随机各抽取5株黄瓜，挂果记录数据如下（单位：个）：甲：7，8，5，7，8；    乙：8，7，6，8，6．（1）分别求这两组数据的平均值；（2）分别计算两组数据的方差，并估计哪种黄瓜挂果均匀长势更好．【答案】（1），（2）乙种黄瓜挂果均匀长势更好解：（1），．，，∵，，∴乙种黄瓜挂果均匀长势更好．【举一反三】【变式1】（2023秋·河北廊坊·九年级校考开学考试）已知两个样本，甲样本的方差是，乙样本的方差是，则下列说法正确的是（        ）A．甲的样本容量小 B．乙的样本容量小 C．甲的波动较小 D．乙的波动较小【答案】D【分析】根据方差是反映数据波动大小的量可以得到答案．解：∵，，∴，∴，∴乙的波动小，故选：D．【点拨】本题考查了方差的意义及实数的大小，解题的关键是了解方差是反映数据波动大小的量，方差越大波动越大．【变式2】（2022春·福建泉州·八年级校考期末）2020年春节期间，全球爆发了新型冠状病毒引发肺炎的疫情，导致学生不能返校上课，为了确保疫情期间学生的学习，学校进行了网课教学，为了解甲、乙两位同学在网课期间在线学习时间情况，随机抽查了10天统计两位同学的在线学习时间，发现两位同学平均在线学习时间相同，方差分别是：，则在线学习时间较稳定的是 （选填“甲”或“乙”）．【答案】甲【分析】根据方差的意义：方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，再比较出甲、乙两位同学的方差大小即可求出答案．解：∵， ∴， ∴在线学习时间较稳定的是甲同学， 故答案为：甲．【点拨】此题考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，此题较简单，是一道基础题．【考点五】平均数、中位数、众数、方差综合【例5】（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）第四中学准备对近期跳绳训练活动进行社团比赛，每班准备抽取一人进入总决赛，九（1）班经过评选，准备从甲、乙两名学生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名学生进行了5次一分钟跳绳测试．并对数据进行收集、整理：甲乙两人得分表： 甲乙两人得分统计表：解答下列问题：（1） ， ；（2）请计算甲乙两位学生的方差？（3）甲、乙都认为自己去参加总决赛更好些，请根据成绩的稳定性和众数选择 （填甲和乙）去参加比赛较好．【答案】（1）；；（2）；；（3）乙【分析】（1）根据平均数的求法，代值求解即可得到；根据中位数定义及求法即可得到；（2）根据方差计算公式代值求解即可得到答案；（3）根据（2）中方差，判断稳定性做决策，再结合众数做决策即可得到答案．（1）解：；将乙得分按照从小到大排列如下：，则由中位数定义可知；故答案为：；；（2）解：甲的方差为：；乙的方差为：；（3）解：由（2）中，；，，乙的成绩比甲的成绩更稳定；甲成绩的众数为；乙成绩的众数为，乙取得高成绩的机会更大一些；综上所述，根据成绩的稳定性和众数选择乙去参加比赛较好，故答案为：乙．【点拨】本题考查统计综上，熟记平均数、中位数、方差、众数的定义及求法是解决问题的关键．【举一反三】【变式1】（2023·浙江衢州·统考中考真题）某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，60，60．若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（    ）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【答案】B【分析】根据捐款最少的员工又多捐了20元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，即可解答．解：根据题意，可得，即捐款额为：50，50，50，60，60，此时中位数不变，平均数，众数，方差都会受到影响，故选：B．【点拨】本题考查了中位数，众数，方差，平均数，熟知以上概念是解题的关键．【变式2】（2023秋·四川达州·八年级统考期末）为了倡导节约用水，某家庭记录了去年个月的月用水量如表（，且为整数）．根据下列关于用水量的统计，推算平均数、中位数、众数、方差中，不会发生变化的是 ．【答案】众数、中位数【大小】根据图表给出的数据得出吨和吨的和是，再根据中位数和众数的定义进行解答即可．解：吨和吨的和是，频率之和是，则这组数据的中位数是第、个数据的平均数，即吨，对于不同的正整数，中位数不会发生改变；出现的次数最多，出现了次，众数是吨，众数也不会发生改变，而平均数以及方差随着的变化而变化，故答案为：众数、中位数．【点拨】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．候选人通识知识专业知识实践能力甲乙手机款式操作系统硬件规格屏幕尺寸电池寿命A7863B6845乡镇ABCDEF推荐数（个）274953374331序号12345甲（个分钟）170177180180193乙（个分钟）177180182179182平均数中位数众数甲180180乙180182用水量/吨34567频数125