专题4.5 等可能条件下的概率（全章直通中考）（培优练）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

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专题4.5 等可能条件下的概率（全章直通中考）（培优练）单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2015·四川德阳·统考中考真题）下列事件发生的概率为0的是（ ）A．射击运动员只射击1次，就命中靶心B．任取一个实数x，都有|x|≥0C．画一个三角形，使其三边的长分别为8cm，6cm，2cmD．抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的点数的正方体骰子，朝上一面的点数为62．（2021·内蒙古·统考中考真题）柜子里有两双不同的鞋，如果从中随机地取出2只，那么取出的鞋是同一双的概率为（   ）A． B． C． D．3．（2022·北京·统考中考真题）不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（    ）A． B． C． D．4．（2020·辽宁·中考真题）一个不透明的口袋中有4个红球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是（    ）A． B． C． D．5．（2016·辽宁葫芦岛·中考真题）在一个不透明的布袋中装有若干个只有颜色不同的小球，如果袋中有红球5个，黄球4个，其余为白球，从袋子中随机摸出一个球，“摸出黄球”的概率为，则袋中白球的个数为（　　）A．2 B．3 C．4 D．126．（2021·湖南长沙·统考中考真题）在一次数学活动课上，某数学老师将1~10共十个整数依次写在十张不透明的卡片上（每张卡片上只写一个数字，每一个数字只写在一张卡片上，而且把写有数字的那一面朝下）．他先像洗扑克牌一样打乱这些卡片的顺序，然后把甲，乙，丙，丁，戊五位同学叫到讲台上，随机地发给每位同学两张卡片，并要求他们把自己手里拿的两张卡片上的数字之和写在黑板上，写出的结果依次是：甲：11；乙：4；丙：16；丁：7；戊：17．根据以上信息，下列判断正确的是（    ）A．戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9B．丙同学手里拿的两张卡片上的数字是9和7C．丁同学手里拿的两张卡片上的数字是3和4D．甲同学手里拿的两张卡片上的数字是2和9．7．（2023·湖南张家界·统考中考真题）下列说法正确的是（    ）A．扇形统计图能够清楚地反映事物的变化趋势B．对某型号电子产品的使用寿命采用全面调查的方式C．有一种游戏的中奖概率是，则做5次这样的游戏一定会有一次中奖D．甲、乙两组数据的平均数相等，它们的方差分别是，，则乙比甲稳定8．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在正方形中，阴影部分是以正方形的顶点及其对称中心为圆心，以正方形边长的一半为半径作弧形成的封闭图形．将一个小球在该正方形内自由滚动，小球随机地停在正方形内的某一点上．若小球停在阴影部分的概率为，停在空白部分的概率为，则与的大小关系为（    ）  A． B． C． D．无法判断9．（2022·山东烟台·统考中考真题）如图所示的电路图，同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是（　　）A． B． C． D．110．（2022·湖北武汉·统考中考真题）班长邀请，，，四位同学参加圆桌会议．如图，班长坐在⑤号座位，四位同学随机坐在①②③④四个座位，则，两位同学座位相邻的概率是（    ）A． B． C． D．填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2021·广西贺州·统考中考真题）盒子里有4张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字2，3，4，5，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为偶数的概率是 ．12．（2021·山东聊城·统考中考真题）有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、菱形和圆，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上的图形都既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ．13．（2021·辽宁盘锦·统考中考真题）从不等式组的所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是 14．（2021·江苏镇江·统考中考真题）一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得P（摸出一红一黄）＝P（摸出两红），则放入的红球个数为 ．15．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）若关于x的方程有两个不相等的实数根，且，则从满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是 ．16．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是 ．17．（2023·山东聊城·统考中考真题）在一个不透明的袋子中，装有五个分别标有数字，，0，2，的小球，这些小球除数字外其他完全相同．从袋子中随机摸出两个小球，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为 ．18．（2021·四川成都·统考中考真题）我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和如图1，是该三角形的顺序旋转和，是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图2，若从1，2，3中任取一个数作为x，从1，2，3，4中任取一个数作为y，则对任意正整数k，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2023·江苏·统考中考真题）小华、小玲一起到淮安西游乐园游玩，他们决定在三个热门项目（A：智取芭蕉扇、B：三打白骨精、C：盘丝洞）中各自随机选择一个项目游玩．（1）小华选择C项目的概率是_________；（2）用画树状图或列表等方法求小华、小玲选择不同游玩项目的概率．20．（8分）（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，，两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘上的数字分别是，，5，转盘上的数字分别是6，，4（两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同）．小聪和小明同时转动，两个转盘，使之旋转（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）．（1）转动转盘，转盘指针指向正数的概率是________；（2）若同时转动两个转盘，转盘指针所指的数字记为，转盘指针所指的数字记为，若，则小聪获胜；若，则小明获胜；请用列表法或树状图法说明这个游戏是否公平．21．（10分）（2023·辽宁鞍山·统考中考真题）二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是________．（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率．22．（10分）（2014·江苏镇江·统考中考真题）在一只不透明的布袋中装有红球、黄球各若干个，这些球除颜色外都相同，均匀摇匀.（1）若布袋中有3个红球，1个黄球．从布袋中一次摸出2个球，计算“摸出的球恰是一红一黄”的概率（用“画树状图”或“列表”的方法写出计算过程）；（2）若布袋中有3个红球，x个黄球．请写出一个x的值 ，使得事件“从布袋中一次摸出4个球，都是黄球”是不可能的事件；（3）若布袋中有3个红球，4个黄球．我们知道：“从袋中一次摸出4个球，至少有一个黄球”为必然事件．请你仿照这个表述，设计一个必然事件： ．23．（10分）（2023·四川雅安·统考中考真题）某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况．开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：  请根据图表信息解答下列问题：（1）求a，b，c的值；（2）补全频数直方图；（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．24．（12分）（2023·辽宁·统考中考真题）为了推进“优秀传统文化进校园”活动，学校准备在七年级成立四个课外活动小组，分别是：．民族舞蹈组；．经典诵读组；．民族乐器组；．地方戏曲组．为了了解学生最喜欢哪一个活动小组，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，每人必须选择且只能选择一项，并将调查结果绘制成如下两幅统计图．  请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）本次调查的学生共有________人；（2）在扇形统计图中，求组所对应的扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；（3）在重阳节来临之际，学校计划组织学生到敬老院为老人表演节目，准备从这个小组中随机抽取个小组汇报演出，请你用列表法或画树状图法，求选中的个小组恰好是和小组的概率．参考答案：1．C解：A. 射击运动员只射击1次，就命中靶心是随机事件，故此选项错误；B. 任取一个实数x，都有|x|≥0，是必然事件，故此选项错误；C. 画一个三角形，使其三边的长分别为8cm，6cm，2cm，是不可能事件，故此选项正确；D. 抛掷一枚质地均匀且六个面分别刻有1到6的点数的正方体骰子，朝上一面的点数为6是随机事件，故此选项错误．故选C．2．A【分析】画树状图，共有12个等可能的结果，取出的鞋是同一双有4个，再由概率公式求解即可．解：设两双鞋的型号分别为：，其中A1，A2为一双，B1，B2为一双，画树状图如下：共有12种等可能的结果，取出的鞋是同一双的有4种，则取出的鞋是同一双的概率为：，故选：A．【点拨】本题主要考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适用于两步完成是事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．3．A【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为，故选：A．【点拨】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．4．D【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．解：摸到红球的概率为：．故选D．【点拨】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．5．B解：试题分析：首先设袋中白球的个数为x个，然后根据概率公式，可得，解得：x=3．经检验：x=3是原分式方程的解．∴袋中白球的个数为3个．故选B．考点：概率公式．6．A【分析】先根据判断出乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3，从而可得判断出丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5，再判断出甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7，然后判断出丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10，由此即可得出答案．解：由题意得：是由中的两个不相同的数字相加所得的数，只能是1与3的和，即乙同学手里拿的两张卡片上的数字是1和3，，丁同学手里拿的两张卡片上的数字是2和5，，甲同学手里拿的两张卡片上的数字是4和7，，丙同学手里拿的两张卡片上的数字是6和10，戊同学手里拿的两张卡片上的数字是8和9，故选：A．【点拨】本题考查了随机事件、等可能事件，正确列出每位同学的所有可能结果，进行逐一判断是解题关键．7．D【分析】根据扇形统计图的特点、全面调查及抽样调查的特点，概率的意义及方差的意义依次判断即可．解：A、扇形统计图能够清楚地反映事物所占的比例，选项错误，不符合题意；B、对某型号电子产品的使用寿命调查有破坏性，适合采用抽样调查，选项错误，不符合题意；C、有一种游戏的中奖概率是，则做5次这样的游戏不一定会中奖，选项错误，不符合题意；D、平均数相等，方差越小，越稳定，选项正确，符合题意；故选：D．【点拨】题目主要考查扇形统计图的特点、全面调查及抽样调查的特点，概率的意义及方差的意义，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．8．B【分析】根据题意可得阴影部分面积等于正方形面积的一半，进而即可求解．解：如图所示，连接交于O，由题意得，分别是正方形四条边的中点，∴点O为正方形的中心，∴，  根据题意，可得扇形的面积等于扇形的面积，∴，∴阴影部分面积等于空白部分面积，即阴影部分面积等于正方形面积的一半∴，故选：B．【点拨】本题考查了正方形的性质，扇形面积，几何概率，得出阴影部分面积等于正方形面积的一半是解题的关键．9．B【分析】画树状图，共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，再由概率公式求解即可．解：把S1、S2、S3分别记为A、B、C，画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中同时闭合两个开关能形成闭合电路的结果有4种，即AB、AC、BA、CA，∴同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为．故选：B．【点拨】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，列出树状图是解题的关键．10．C【分析】采用树状图法，确定所有可能情况数和满足题意的情况数，最后运用概率公式解答即可.解：根据题意列树状图如下：由上表可知共有12中可能，满足题意的情况数为6种则，两位同学座位相邻的概率是 .故选C.【点拨】本题主要考查了画树状图求概率，正确画出树状图成为解答本题的关键.11．【分析】根据题意先画出树状图，得出所有等可能的结果，再利用概率公式求解即可．解：根据题意，画树状图如下：由树状图得：共有12种等可能结果，两次抽到卡片上的数字之和为偶数的结果有4种，∴两次抽到卡片上的数字之和为偶数的概率为．故答案为：【点拨】本题考查了概率的计算问题，掌握利用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．12．【分析】由等边三角形、平行四边形、菱形、圆中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有菱形、圆，再画出树状图展示所有等可能的结果，进而即可求得答案．解：设等边三角形、平行四边形、菱形、圆分别为A，B，C，D，根据题意画出树状图如下：一共有12种情况，抽出的两张卡片的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形为C、D共有2种情况，∴P（既是中心对称图形，又是轴对称图形）＝2÷12＝．故答案是：．【点拨】本题考查了列表法和树状图法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，画出树状图，是解题的关键．13．【分析】首先求得不等式组的所有整数解，然后由概率公式求得答案．解：∵，由①得：x≥1，由②得：x≤5，∴不等式组的解集为：1≤x≤5，∴整数解有：1，2，3，4，5；∴它是偶数的概率是．故答案为：．【点拨】此题考查了概率公式的应用以及不等式组的解集．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．3【分析】分别假设放入的红球个数为1、2和3，画树状图列出此时所有等可能结果，从中找到摸出一红一黄和两个红球的结果数，从而验证红球的个数是否符合题意．解：（1）假设袋中红球个数为1，此时袋中由1个黄球、1个红球，搅匀后从中任意摸出两个球，P（摸出一红一黄）＝1，P（摸出两红）＝0，不符合题意．（2）假设袋中的红球个数为2，列树状图如下：由图可知，共有6种情况，其中两次摸到红球的情况有2种，摸出一红一黄的有4种结果，∴P（摸出一红一黄）=，P（摸出两红）=，不符合题意，（3）假设袋中的红球个数为3，画树状图如下：由图可知，共有12种情况，其中两次摸到红球的情况有6种，摸出一红一黄的有6种结果，∴P（摸出一红一黄）=P（摸出两红）=，符合题意，所以放入的红球个数为3，故答案为：3．【点拨】本题考查了列表法和树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．/0.5【分析】根据题意，由关于x的一元二次方程的根的判别式，可计算，再结合可知，进而推导满足条件的所有整数为-3、-2、-1、0、1、2共计6个，其中负数有3个，由简单概率的计算公式即可得出结果．解：根据题意，关于x的方程有两个不相等的实数根，故该一元二次方程的根的判别式，即，解得，又∵，∴，∴满足条件的所有整数为-3、-2、-1、0、1、2共计6个，其中负数有-3、-2、-1共计3个，∴满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是．故答案为：．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、简单概率计算等知识，解题关键是读懂题意，综合运用所学知识解决问题．16．【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．解：设两名男生分别记为，，两名女生分别记为，，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有种，抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为．故答案为：．【点拨】本题考查列表法与树状图法，解题时要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率．17．/【分析】列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．解：根据题意列表如下：共有20种等可能出现的结果，两球上的数字之积恰好是有理数的有8种，两球上的数字之积恰好是有理数的概率为，故答案为：．【点拨】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．18．【分析】先画树状图确定的所有的等可能的结果数，再分别计算符合要求的结果数，再利用概率公式计算即可得到答案．解：画树状图如下：所以一共有种等可能的结果，又三角形的顺序旋转和与逆序旋转和分别为：＜恒成立，为正整数，满足条件的有：共种情况，所以此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于4的概率是： 故答案为：【点拨】本题考查的是自定义情境下的概率计算，不等式的性质，掌握利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的概率是解题的关键．19．（1）；（2）【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）列表法求概率即可求解．（1）解：共有三个热门项目，小华选择C项目的概率是；故答案为：．（2）解：列表法如图，共有9种等可能结果，其中小华、小玲选择不同游玩项目，有6种，∴小华、小玲选择不同游玩项目的概率．【点拨】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．（1）；（2）这个游戏公平，理由见分析【分析】（1）转盘指针指向正数的概率，据此即可求解；（2）通过列表找出事件的所有等可能结果，分别计算小明获胜的概率、小聪获胜的概率即可进行判断．（1）解：∵为正数∴转盘指针指向正数的概率为：（2）解：列表得：一共有9种等可能的结果其中的有4种、、、；其中的有4种、、、∴（小聪获胜）；（小明获胜）（小聪获胜）（小明获胜）∴这个游戏公平【点拨】本题考查了概率的应用．熟记概率的计算公式以及列表法（或树状图）是解题关键．21．（1）；（2）【分析】（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，由概率的定义可得答案；（2）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．（1）解：共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是，故答案为：；（2）解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B．夏至”的有6种，所以两人都没有抽到“B．夏至”的概率为．【点拨】本题考查列表法或树状图法，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键．22．（1）；（2）1（答案不唯一）；（3）从袋中一次摸出5个球，至少有两个黄球.试题分析：（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有可能，即可得出答案；（2）根据不可能事件的概率为0，填空即可：∵不可能事件的概率为0，∴x可取1≤x≤3之间的整数1，2，3，答案不唯一.（3）根据必然事件的概率为：1，填空即可：∵必然事件的概率为1，∴从袋中一次摸出5个球，至少有两个黄球是必然事件，答案不唯一.解：（1）设三个红球分别是123，黄球为4，列表得：∵共有12种等可能结果，摸出的球恰是一红一黄”情况有6种，∴摸出的球恰是一红一黄”的概率P=.（2）1（答案不唯一）.（3）从袋中一次摸出5个球，至少有两个黄球．考点：1.列表法或树状图法；2.概率；3.随机事件；4.开放型问题．23．（1），，；（2）见分析；（3）【分析】（1）根据的人数和频率可求抽取总人数，再由频率的定义求出a、b、c即可；（2）由（1）中a的值，补全频数分布直方图即可；（3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可．（1）解：由题意得：抽取学生总数（人），，，．（2）解：补全频数分布直方图如图：  （3）画树状图如下：  共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有4种，∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为．【点拨】此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和频数分布直方图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．24．（1）；（2），补全统计图见分析；（3）．【分析】（1）从两个统计图可知，样本中参加组的有人，占调查人数的，由频率可求出调查人数；（2）求出样本中选择组的学生所占的百分比，进而可求出相应的圆心角度数，求出选择组的学生人数，即可补全条形统计图；（3）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．解：（1）人，故答案为：；（2）解：组所对应的扇形圆心角的度数为∶，选择组的人数为∶（人），补全条形统计图如下∶  （3）解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下∶  共有种等可能出现的结果，其中个小组恰好是和小组的有种，所以选中的个小组恰好是和小组的概率为．【点拨】本题考查条形统计图，扇形统计图，用列表法或树状图求概率，理解两个统计图中数量之间的关系是解决问题的前提，掌握频率是正确解答的总数关键．成绩/分频数/人频率100.115ba0.3540c020000000200小华小丽6412341（1，2）（1，3）（1，4）2（2，1）（2，3）（2，4）3（3，1）（3，2）（3，4）4（4，1）（4，2）（4，3）