河南省济源市英才学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份河南省济源市英才学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d) 回归系数
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1. 在一次试验中，当变量x的值取1,2,3,4时，变量y的值分别为2,3,4,5，则y与x的回归直线方程为 ( )
A.eq \(y,\s\up6(^))＝x＋1 B.eq \(y,\s\up6(^))＝2x＋3
C.eq \(y,\s\up6(^))＝2x＋1 D.eq \(y,\s\up6(^))＝x－1
2. 如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形．根据数组中的数构成的规律，其中的a所表示的数是 ( )
[]
A．2 B．4 C．6 D．8
3. 要证明eq \r(3)＋eq \r(7)＜2eq \r(5)可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( )
A．综合法 B．分析法[]
C．类比法 D．归纳法
4. 已知z1＝2＋i，z2＝1＋2i，则复数z＝z2－z1对应的点位于复平面内的( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
K2＝eq \f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.
下面正确的结论是 ( )
A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”
6. 设p：lg2x＜0，q：，则p是q的 ( )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
7. 设两个变量x和Y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，Y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有 ( )
A．a与r的符号相反B．a与r的符号相同
C．b与r的符号相反 D．b与r的符号相同
8. “因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝(eq \f(1,3))x是指数函数(小前提)，所以函数y＝(eq \f(1,3))x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于 ( )
A．大前提错误导致结论错
B．小前提错误导致结论错
C．推理形式错误导致结论错
D．大前提和小前提错误导致结论错
9. 已知{an}为等比数列，a5＝2，则有a1·a2·…·a9＝aeq \\al(9,5)＝29.若{bn}为等差数列，b7＝3，则数列{bn}的类似结论为 ( )
A．b1·b2·…·b13＝3×13 B．b1＋b2＋…＋b13＝313
C． b1＋b2＋…＋b13＝3×13 D．b1·b2·…·b13＝313
10. 设，则的单调递减区间是 ( )
A． B． C． D．和
11. 抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( )
A． B. C． D．0
12. 袋中共有6个除了颜色外完全相同的球,其中有1个红球,2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于 ( )
A. B. C. D.
二、填空题：（每题5分，共20分）
13. 若椭圆的离心率是，则双曲线的离心率是__________
14. 命题“若sin α＋sin β＋sin γ＝0，cs α＋cs β＋cs γ＝0”，则cs(α－β)等于_____
15. 设i是虚数单位，复数eq \f(1＋ai,2－i)为纯虚数，则实数a为
16. eq \r(2＋\f(2,3))＝2eq \r(\f(2,3))， eq \r(3＋\f(3,8))＝3eq \r(\f(3,8))， eq \r(4＋\f(4,15))＝4eq \r(\f(4,15))，…，若 eq \r(6＋\f(a,b))＝6eq \r(\f(a,b))(a，b均为实数)，请推测a+b＝_____
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知a＞0，b＞0,2c＞a＋b，求证：c－eq \r(c2－ab)＜a＜c＋eq \r(c2－ab).
18．（本小题满分12分）
为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
19．（本小题满分12分）
某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据关系见表：
已知eq \i\su(i＝1,7,x)eq \\al(2,i)＝280，eq \i\su(i＝1,7,y)eq \\al(2,i)＝45 309，eq \i\su(i＝1,7,x)iyi＝3 487.
(1)求eq \x\t(x)，eq \x\t(y)（若结果不是整数，请用最简分数表示）；
（2）做出散点图，判断纯利y(元)与每天销售件数x之间是否线性相关；
(3) 如果具有线性相关关系，求出回归方程（回归系数精确到0.01）．
20．（本小题满分12分）
已知a＞0，且a≠1，证明函数y＝ax－xln a在(－∞，0)内是减函数．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆及直线：.
( 1 )当直线和椭圆有公共点时，求实数的取值范围．
( 2 )求直线被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
22．（本小题满分12分）
已知函数
（1）求的单调区间和最小值；
（2 ）求实数的取值范围，使得对任意成立．
参考答案
一：选择题：
二：填空题
13： 14: 15: 2 16： 41
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17解：证明：要证c－eq \r(c2－ab)＜a＜c＋eq \r(c2－ab)，
只需证－eq \r(c2－ab)＜a－c＜eq \r(c2－ab)，
即证|a－c|＜eq \r(c2－ab)，
只需证(a－c)2＜(eq \r(c2－ab))2，
只需证a2－2ac＋c2＜c2－ab，
即证2ac＞a2＋ab，
因为a＞0，所以只需证2c＞a＋b.
因为2c＞a＋b成立．
所以原不等式成立．
18解：：(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为eq \f(70,500)＝14%.
(2)K2＝eq \f(500×40×270－30×1602,200×300×70×430)≈9.967.
由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
19.解：(1)eq \x\t(x)＝eq \f(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9,7)＝6，
eq \x\t(y)＝eq \f(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91,7)＝eq \f(559,7)；
(2)画出散点图知，y与x有线性相关关系，
(3)设回归直线方程：eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))
eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(3 487－7×6×\f(559,7),280－7×36)＝eq \f(133,28)＝4.75，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \f(559,7)－6×4.75≈51.36.
∴回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝4.75x＋51.36.
20解：证明：y′＝axln a－ln a＝ln a(ax－1)，
当a＞1时，∵ln a＞0，ax＜1，
∴y′＜0，即y在(－∞，0)内是减函数；
当0＜a＜1时，∵ln a＜0，ax＞1，
∴y′＜0，即y在(－∞，0)内是减函数．
综上，函数在(－∞，0)内是减函数．
21解：:(Ⅰ)联立，得 ……3分
因为直线与椭圆有公共点．
所以，解得 ……………6分
(Ⅱ)设直线与椭圆交于，由(1)知，，
由韦达定理，得．所以
…10分
所以当时，最大，此时直线方程为. ……12分
22.解(1)由题设知f(x)＝lnx，g(x)＝lnx＋eq \f(1,x).
∴g′(x)＝eq \f(x－1,x2).…………………………3分
令g′(x)＝0得x＝1，
当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故(0,1)是g(x)的单调减区间．
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间，
因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点．
所以g(x)的最小值为g(1)＝1. …………………………………………… 6分
(2)由(1)知g(x)的最小值为1，
所以，g(a)－g(x)0成立，
只需 g(a)－1< eq \f(1,a) 成立即可，…………………10分
即lna＜1，从而得0＜a＜e. ………………………………12分
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
性别
是否需要志愿者
男
女
需要[学_科_网Z_X_X_K]
40
30
不需要
160
270
x
3
4
5
6
7
8
9
y
66
69
73
81
89
90
91
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
B
B
A
C
D
A
C
D
B
C