数学第二册第9章 立体几何达标测试

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1．（2022·全国·高三专题练习）正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，所有棱长均为2，点E，F分别为棱BB1，A1C1的中点，若过点A，E，F作一截面，则截面的周长为（ ）
A．2+2B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，在正三棱柱中，延长AF与CC1的延长线交于M，连接EM交B1C1于P，连接FP，则四边形AEPF为所求截面.
过E作EN平行于BC交CC1于N，则N为线段CC1的中点，由相似于可得MC1=2，由相似于可得：，
在中，，则，
在中，，则，
在中，，则，
在中，，
由余弦定理：，则，
所以截面周长为：.
故选：B.
2．（2022·全国·高三专题练习）直角中，，，D是斜边AC上的一动点，沿BD将翻折到，使二面角为直二面角，当线段的长度最小时，四面体的外接球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
作，，，，
设，，，．
在中，，在中，，
．
当时最小．
设，的外接圆半径分别为，
∴，∴
，．
∴
∴.
故选:D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知长方体中，，，，为矩形内一动点，设二面角为，直线与平面所成的角为，若，则三棱锥体积的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】如图，作平面，垂足为，再作，垂足为，
连接，由题意可知，，所以，
由抛物线定义可知，的轨迹为抛物线一部分，所以的轨迹为抛物线一部分，
当点到线段距离最短时，三角形面积最小，三棱锥体积最小，
建立如图所示直角坐标系，则直线的方程为，
抛物线的方程为，，
由题意，，得，代入，得，
所以点的坐标为，所以到直线的最短距离为
，因为，
所以，
所以三棱锥体积的最小值为.
故选：C
4．（2022·全国·高三专题练习）如图，斜三棱柱中，底面是正三角形，分别是侧棱上的点，且，设直线与平面所成的角分别为，平面与底面所成的锐二面角为，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
如图：延长EF，AB交于M，延长EG，AC交于N，延长FG，BC交于D，易得MN为平面ABC和平面EFG的交线，
又D在平面ABC和平面EFG上，则D在直线MN上，即M，N，D三点共线，由外角定理可得.
过A作面EFG，垂足为P，过A作，垂足为Q，连接，易得即为直线与平面所成的角，
则，又面EFG，面EFG，则，又，面，，
所以面，面，则，则即为平面与底面所成的锐二面角，则，
又，则，同理可得，则，
又由，
，
则，
故，A，C错误；
故，由可知，所以，
即，整理可得，
即，即，
故，又，故，B正确，D错误.
故选：B.
5．（2022·宁夏·平罗中学三模（理））已知正方体的棱长为3，动点M在侧面上运动（包括边界），且，则与平面所成角的正切值的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设点M在平面的投影为点N，则，所求线面角为，则，因为，所以，在平面上，以A为坐标原点，AD为x轴，为y轴建立平面直角坐标系，
则，，设，，化简得：，，故点N的轨迹为以为圆心，半径为2的且位于第一象限的圆弧ST，如图所示，连接，与圆弧ST相交于点，此时取得最小值，由勾股定理得：，所以，当点N与S重合时，取得最大值，由勾股定理得：，
则，．
故选：B．
6．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，为的中点.过作截面将此四棱锥分成上､下两部分，记上､下两部分的体积分别为，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
过作平面的垂线，垂足为，连，设的交点为，在中过作直线交于两点，由相交直线确定平面，则四边形为过的截面.由计算可得，得为正三角形，，所以为的重心，设，由向量运算可得，又，可得，所以，由三点共线，得，即，易得到平面的距离为，到平面的距离为1，因为，所以，，得，，由，，得，当且仅当取等号，所以，即的最小值为.
故选：A.
7．（2022·全国·高三专题练习）在三棱锥中，顶点P在底面的射影为的垂心O（O在内部），且PO中点为M，过AM作平行于BC的截面，过BM作平行于AC的截面，记，与底面ABC所成的锐二面角分别为，，若，则下列说法错误的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．可能值为
D．当取值最大时，
【答案】C
【解析】
如图所示，连接延长交与，连接延长交与，设平面平面
顶点P在底面的射影为的垂心，平面，平面平面
则有：直线与平行
又，则
平面，则
又
则平面
从而
故为与平面的二面角，即
同理可得：
对选项A，，又，则有：
可得：与全等，则
又根据是的垂心，则，
综上可得：直线垂直并平分线段
可得：，故选项A正确；
对选项B，易知有如下角关系：
又，则有：
可得：
解得：
则，故选项B正确；
对选项C，若，则有：
则有：
化简后可得：
令，则有：
则有：，此时方程无解，故选项C错误；
对选项D，设（），则有：
可化简为：
令，则有：
则有：
解得：
故取得最大值时，，此时
同理可得：
故，且
则有：，故选项D正确；
故选：C
8．（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥三条侧棱，，两两互相垂直，且，､分别为该三棱锥的内切球和外接球上的动点，则线段的长度的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由已知将该三棱锥补成正方体，如图所示.
设三棱锥内切球球心为，外接球球心为，内切球与平面的切点为，
易知：三点均在上，且平面，
设内切球的半径为，外接球的半径为，则.
由等体积法：，得，
由等体积法：，得，
将几何体沿截面切开，得到如下截面图：大圆为外接球最大截面，小圆为内切球最大截面，
∴两点间距离的最小值为.
故选：B.
9．（2022·全国·高三专题练习）已知在正方体中，点为棱的中点，直线在平面内．若二面角的平面角为，则的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】连接AE，取AE的中点P，过点P作FG⊥AE交CD于点F，交AB于点G，设正方体棱长为2，由勾股定理可知：，，同理，取的中点，连接，取的中点，过点作MN⊥交于点M，交于点N，则直线即为直线，此时，MF⊥CD，NG⊥AB，OP⊥底面ABCD，因为FG平面ABCD，所以OP⊥FG，因为AE∩OP=P，所以FG⊥平面AOP，连接OA，OE
，因为OA平面AOP，所以OA⊥FG，因为MN∥FG，所以OA⊥MN，同理可证：OE⊥MN，所以即为二面角的平面角，由对称性可知：此角即为二面角的平面角的最大值，且，其中，由勾股定理得：，所以，则
故选：B
10．（2022·全国·高三专题练习）在三棱台中，底面BCD，，，．若A是BD中点，点P在侧面内，则直线与AP夹角的正弦值的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图，分别取的中点，连接，
取的中点，连接
由三棱台的性质知，且，
所以四边形为平行四边形，
又，，故直线与AP的夹角为直线与AP的夹角，
要使直线与AP夹角的正弦值最小，需点到AP的距离最小，
又点P在侧面内，则需点到AP的距离最小，即点到面的距离，
设点到面的距离为，利用等体积法知
即，即，
在直角中，，，
又在中，，，，
，又
设直线与AP夹角的最小值为，则
故选：B
11．（2022·全国·高三专题练习）如图，在棱长为的正方体中，点是平面内一个动点，且满足，则直线与直线所成角的取值范围为（ ） （参考数据：
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【解析】取的中点，作点在平面内的投影，过作交于点，连结、，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系如图，
根据题意，得，0，，，0，，，，，，，，
设，，，
则，，，，，，，0，，
，
，
，，
记为直线与直线所成的角，则即为直线与直线所成的角，
，
点的轨迹在平面内是以为圆心，为半径的圆，
，，
又为锐角或直角，，
，则
直线与直线所成角的取值范围为，，
故选：B．
12．（2022·全国·高三专题练习）已知正方体的棱长为3，为棱上的靠近点的三等分点，点在侧面上运动，当平面与平面和平面所成的角相等时，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】如图1，为棱上靠近的三等分点，由正方体的对称性可知平面与平面和平面所成角相等，取棱AB上靠近B的三等分点E，取棱DC上的三等分点N,M，容易证明：，则共面，即平面与平面和平面所成角相等，于是点P在线段FN上.
如图2，过点作垂直于FN于，容易知道当P位于时，最小.
如图3，由勾股定理可以求得，由等面积法，
.
故选：A.
13．（2022·全国·高三专题练习）已知点P是正方体上底面上的一个动点，记面ADP与面BCP所成的锐二面角为，面ABP与面CDP所成的锐二面角为，若，则下列叙述正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】
为解析方便，将正方体上下底面对调，如图，取正方体的下底面的各边中点E,F,G,H,上底面的中心为Q,下底面的中心为O,
面ADP，面BCP所成的角为α，面ABP，面CDP所成的角为β，α>β，
等价于P到HF的距离比到EG的距离大，
所以P在如图所示的阴影范围内；
在△APC和△BPD中，AC=BD，PQ公用，Q为共同的中点，
∠APC,∠BPD的大小由PQ于AC,BD所成的角大小所决定，
所成角越小，则对应角越大，
显然PQ与AC和BD所成的角的大小关系不确定，当P在靠近A'时PQ与直线AC所成的角较小，与直线BD所成的角则接近于90°，
此时∠BPD>∠APC，同样当P接近于D'时∠APC>∠BPD，故A、B错误；
∠APD与∠BPC的大小关系实际上是看P在EG的左侧还是右侧。
若P在EG左侧，则∠APD>∠BPC，若P在EG右侧，则∠APD∠CPD，P在HF上，则∠APB=∠CPD，P在HF的后面，则∠APB