2023高考数学前四题专项练习（易版本）含答案

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(2)设函数对任意，有，且当时，；求函数在上的解析式.
2．在数列中，已知.
(1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设的前项和为，求证：.
3．如图所示的几何体中，ABC-A1B1C1为三棱柱，且AA1⊥平面ABC， AA1=AC，四边形ABCD为平行四边形，AD=2CD=4，∠ADC=60°.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
4．第19届亚运会组委会消息，亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行.为此某校举办了以“迎亚运”为主题的篮球和排球比赛，每个学生只能报名参加一项，某调研组在校内参加报名的学生中随机选取了男生､女生各100人进行了采访，其中参加排球比赛的归为甲组，参加篮球比赛的归为乙组，调查发现甲组成员96人，其中男生36人.
(1)根据以上数据，补充上述列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢排球还是篮球是否与“性别”有关；
(2)现从调查的男生中，按分层抽样选出25人，从这25人中再随机抽取3人发放礼品，发放礼品的3人在甲组中的人数为，求的分布列及数学期望.
参考公式：.
参考数据：
1．在锐角中，角所对的边分别是.已知.
（1）求；
（2）求周长的取值范围.
2．已知等差数列满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列是公比为3的等比数列，且，求数列的前n项和Sn，
3．已知三棱锥中，为等腰直角三角形，，平面，且，且，为的中点．
（1）求证：直线平面；
（2）求多面体的体积．
4．随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，每超过（不足，按计算）需再收5元.
该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：
公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：
以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.
（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率；
（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每件揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是公司老总，是否进行裁减工作人员1人？
1．已知函数
(Ⅰ)求在上的单调递增区间；
(Ⅱ)在中，分别是角的对边，为锐角，若， 且的面积为，求的最小值.
2．在公差不为的等差数列中，，且为与的等比中项.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
3．如图，在三棱柱中，，分别是，的中点.
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）若这个三棱柱的底面是边长为2的等边三角形，侧面都是正方形，求五面体的体积.
4．根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升.
将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为；表示全国GDP总量，表中，.
（1）根据数据及统计图表，判断与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为全国GDP总量关于的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出关于的回归方程.
（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP总量.
线性回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，.
参考数据：
1．已知的内角A，，所对的边分别为，，，的最大值为.
(1)求角；
(2)若点在上，满足，且，，解这个三角形.
2．等比数列的各项均为正数，成等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
3．如图，在三棱柱中，点在底面内的射影恰好是点，点是的中点，且.
(1)证明：；
(2)已知，，直线与底面所成角的大小为，求二面角的大小.
4．质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的12个零件质量进行检测.甲、乙两个车间的零件质量(单位：克）分布的茎叶图如图所示.零件质量不超过20克的为合格.
(1)从甲、乙两车间分别随机抽取2个零件，求甲车间至少一个零件合格且乙车间至少一个零件合格的概率；
(2)质检部门从甲车间8个零件中随机抽取4件进行检测，若至少2件合格，检测即可通过，若至少3件合格，检测即为良好，求甲车间在这次检测通过的条件下，获得检测良好的概率；
(3)若从甲、乙两车间12个零件中随机抽取2个零件，用表示乙车间的零件个数，求的分布列与数学期望.
1．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，△ABC的面积为2，D为边BC的中点，求AD的长度．
2．已知等差数列的公差为，是数列的前项和，等比数列的公比为，是数列的前项和，，，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得关于的不等式有解？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
3．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥底面ABCD，BD1⊥B1D，四边形ABCD是边长为4的菱形，D1D＝6，E，F分别是线段AB的两个三等分点．
（1）求证：D1F//平面A1DE；
（2）求四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的表面积．
4．某地为鼓励群众参与“全民读书活动”，增加参与读书的趣味性.主办方设计这样一个小游戏：参与者抛掷一枚质地均匀的骰子（正方体，六个面上分别标注1，2，3，4，5，6六个数字）.若朝上的点数为偶数.则继续抛掷一次.若朝上的点数为奇数，则停止游戏，照这样的规则进行，最多允许抛掷3次.每位参与者只能参加一次游戏.
（1）求游戏结束时朝上点数之和为5的概率；
（2）参与者可以选择两种方案：方案一：游戏结束时，若朝上的点数之和为偶数，奖励3本不同的畅销书；若朝上的点数之和为奇数，奖励1本畅销书.方案二：游戏结束时，最后一次朝上的点数为偶数，奖励5本不同的畅销书，否则，无奖励.试分析哪一种方案能使游戏参与者获得更多畅销书奖励？并说明判断的理由.
1．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求A；
(2)若，求的取值范围．
2．已知正项数列的前n项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设是的前n项和，求使成立的最大正整数n.
3．如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，，，，，为上一点.
（1）求证：平面平面；
（2）若平面，求面与面所成锐二面角的余弦值.
4．在一次大型活动中，在安全保障方面，警方从武警训练基地挑选防暴警察，从体能、射击、反应三项指标进行检测，如果这三项中至少有两项通过即可入选.假定某基地有名武警战士（分别记为、、、）拟参加挑选，且每人能通过体能、射击、反应的概率分别为、、.这三项测试能否通过相互之间没有影响.
（1）求能够入选的概率；
（2）规定：按入选人数得训练经费（每入选人，则相应的训练基地得到元的训练经费），求该基地得到训练经费不大于元的概率.
1．在中，的对边分别为，，的面积为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
2．已知为数列的前n项和，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
3．如图，四棱柱的底面是菱形，，底面，，．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求点到面的距离．
4．第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项.共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技.前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民.武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：
（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求，的值（，的值四舍五入取整数），并计算；
（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于的可以获得1次抽奖机会，得分不低于的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A的概率为，抽中价值为30元的纪念品B的概率为.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y的分布列和数学期望，并估算此次纪念品所需要的总金额.
（参考数据：；；.）
1．已知函数 .
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最大值及最小值.
2．已知为单调递增的等差数列，设其前项和为，，且，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求的最小值及取得最小值时的值．
3．如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，四边形为直角梯形，其中，，，E是的中点．
（1）求证：
（2）若，求直线与平面所成的角的正弦值．
4．九连环是中国传统的有代表性的智力玩具，凝结着中国传统文化，具有极强的趣味性九连环既能练脑又能练手，对开发人的逻辑思维能力及活动手指筋骨大有好处．同时它还可以培养学习工作的专注精神和耐心，实为老少咸宜．据明代杨慎《丹铅总录》记载，曾以玉石为材料制成两个互贯的圆环，“两环互相贯为一，得其关换，解之为二，又合而为一”．后来，以铜或铁代替玉石．甲、乙两位同学进行九连环比赛，每局不存在平局．比赛规则规定，领先3局者获胜．若比赛进行了7局，仍然没有人领先3局，比赛结束，领先者也获胜．已知甲同学每局获胜的概率为，且每局之间相互独立．现比赛已经进行了2局，甲同学2局全输．
(1)由于某种原因，比赛规则改为“五局三胜制”，试判断新规则对谁更有利，并说明理由；
(2)设比赛总局数为，求随机变量的分布列及期望．
1．如图，在直角坐标系xOy中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点A，且，将角的终边按照逆时针方向旋转，交单位圆于点B，记
（1）若，求；
（2）分别过A、B作x轴的垂线，垂足依次为C、D，记的面积为，的面积为，若，求角的值.
2．已知公比不等于1的等比数列满足，且是，的等差中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求使得成立的正整数的最小值.
3．如图，四棱锥的底面是正方形，底面．
(1)证明：是异面直线与的公垂线；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
4．A，B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是，，，B队队员是，，，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负的概率如下表：
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设，分别表示A队、B队最后所得总分．求：
(1)，的分布列；
(2)，．
1．如图，已知四点共面，且，.
（1）求；
（2）求．
2．已知数列满足，且．
（1）求证：当时，总有；
（2）数列满足求的前项和．
3．如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝4.
（1）证明：面ACD1⊥面BB1D；
（2）求二面角B1﹣AC﹣D1的余弦值.
4．某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水量发电．下图是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X（单位：万立方米）的频率分布直方图（不完整），已知，历年中日泄流量在区间[30，60）
的年平均天数为156，一年按364天计．
（Ⅰ）请把频率分布直方图补充完整；
（Ⅱ）该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才够运行一台发电机，如时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润为4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据，问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？
1．如图，在△ABC中；角A、B、C所对的边分别是，且，为ABC的外心.
（I）求ABC的面积；
（II）求.
2．已知数列的前项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
3．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面圆周上，，F为垂足．
(1)求证：．
(2)当直线DE与平面ABE所成角的正切值为2时，
①求二面角E—DC—B的余弦值；
②求点B到平面CDE的距离．
4．某中学对学生钻研理工课程的情况进行调查，将每周独立钻研理工课程超过6小时的学生称为“理工迷”，否则称为“非理工迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示：
(1)根据的独立性检验，能否认为“理工迷”与性别有关联？
(2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生是非理工迷”，表示“选到的学生是男生”，请利用样本数据，估计的值.
(3)现从“理工迷”的样本中，按分层抽样的方法选出6人组成一个小组，从抽取的6人里再随机抽取3人参加理工科知识竞赛，求这3人中，男生人数的概率分布列及数学期望.
参考数据与公式：
，其中.
1．中，为边上的一点，，，，求．
2．已知在数列中，，．
（1）记，证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
3．如图，四边形与四边形均为菱形，
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
4．为了了解高中学生课后自主学习数学时间（分钟/每天）和他们的数学成绩（分）的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．
表一
(1)请根据所给数据求出，的经验回归方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为100分钟时的数学成绩：（参考数据：，，的方差为200）
(2)基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了220位学生．按照是否参与周未在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表（表二）．依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．
表二
附：，，．
1．已知函数，求：
(1)求函数的最小正周期；
(2)求函数在区间上的值域．
(3)描述如何由的图象变换得到函数的图象．
2．已知数列满足．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
3．如图的多面体是由一个直四棱柱被平面所截后得到的，其中，，．
(1)求证：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正切值．
4．湖南卫视“我是歌手”这个节目深受广大观众喜爱，节目每周直播一次，在某周比赛中歌手甲、乙、丙竞演完毕，现场的某位大众评审对这位歌手进行投票，每位大众评审只能投一票且把票投给任一歌手是等可能的，求：
（1）恰有人把票投给歌手甲的概率；
（2）投票结束后得票歌手的个数的分布列与期望．
1．在①，②，③三个条件中任选一个，补充在以下问题的横线上，并解答.
问题：在平面四边形中，已知，，且满足________.
（1）求的值；
（2）求平面四边形的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分.
2．已知等比数列的各项均为正数，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，记为的前项和，证明：．
3．在如图所示的多面体中，，四边形为矩形，，.
（1）求证：平面平面；
（2）设平面平面，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择若干个作为已知，使二面角的大小确定，并求此二面角的余弦值.
条件①：；条件②：平面；条件③：平面平面.
4．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响.
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
1．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
2．已知正项等比数列的前项和为，且，.
（1)求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
3．如图，在三棱锥中，正三角形所在平面与等腰三角形所在平面互相垂直，，是中点，于.
（1）证明：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
4．某客户考查了一款热销的净水器，使用寿命为十年，过滤由核心部件滤芯来实现.在使用过程中，滤芯需要不定期更换，其中滤芯每个200元.如图是根据100台该款净水器在十年使用期内更换的滤芯的件数制成的柱状图.（以100台净水器更换滤芯的频率代替1台净水器更换滤芯发生的概率）
（1）估计一台净水器在使用期内更换滤芯的件数的众数和中位数.
（2）估计一台净水器在使用期内更换滤芯的件数大于10的概率.
（3）已知上述100台净水器在购机的同时购买滤芯享受5折优惠（使用过程中如需再购买无优惠），假设每台净水器在购机的同时购买滤芯10个，这100台净水器在使用期内，更换滤芯的件数记为a，所需费用记为y，补全下表，估计这100台净水器在使用期内购买滤芯所需总费用的平均数.
1．已知函数的部分图象如图所示，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知.
条件①：；条件②：；条件③：.
注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.
(1)求函数的解析式；
(2)设函数，若在区间上单调递减，求m的最大值.
2．已知数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
3．如图所示的空间几何体中，底面四边形为正方形，，，平面平面，，，.
(1)求二面角的大小；
(2)若在平面上存在点，使得平面，试通过计算说明点的位置.
4．传承传统文化再掀热潮，央视科教频道以诗词知识竞赛为主的《中国诗词大会》火爆荧屏．将中学组和大学组的参赛选手按成绩分为优秀、良好、一般三个等级，随机从中抽取了100名选手进行调查，下面是根据调查结果绘制的选手等级人数的条形图.
(1)若将一般等级和良好等级合称为合格等级，根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否有95﹪的把握认为选手成绩“优秀”与文化程度有关？
注：，其中.
(2)若江西参赛选手共80人，用频率估计概率，试估计其中优秀等级的选手人数；
(3)如果在优秀等级的选手中取4名，在良好等级的选手中取2名，再从这6人中任选3人组成一个比赛团队，求所选团队中的有2名选手的等级为优秀的概率.
1．设中的内角的边分别为 ，若.
(1)若,求的值；
(2)若,求的面积.
2．已知数列中，，又数列（）是公差为1的等差数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
3．如图，在直三棱柱中，正方形边长为3，，，M是线段上一点，设．
（1）若，证明：平面；
（2）若二面角的余弦值为，求的值．
4．年卡塔尔世界杯采用的“半自动越位定位技术”成为本届比赛的一大技术亮点，该项技术的工作原理是将若干个传感器芯片内置于足球中，每个传感芯片都可以高频率定位持球球员，以此判断该球员是否越位．为了研究该技术的可靠性，现从生产的传感芯片中随机抽取个，将抽取到的传感芯片的最高频率（单位：）统计后，得到的频率分布直方图如图所示：
(1)求这批芯片的最高频率的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和方差；
(2)根据频率分布直方图，可以近似认为这批传感芯片的最高频率服从正态分布．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，试估计，从这批传感芯片中任取一个，其最高频率大于的概率；
(3)若传感芯片的最高频率大于，则该传感志片是可精确定位的，现给每个足球内置个传感芯片，若每个足球中可精确定位的芯片数不少于一半，则该足球可以满足赛事要求，能够精确判定球员是否越位，否则就需要增加裁判数量，通过助理裁判指证、慢动作回放等方式进行裁定．已知每个传感芯片的生产和维护费用约为万元/场，因足球不可精确定位而产生的一次性人力成本为万元/场，从单场比赛的成本考虑，每个足球内置多少个芯片，可以让比赛的总成本最低？
附：，，．
1．在中，内角、、所对的边分别为、、，已知．
(1)求角；
(2)若为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围．
2．已知数列的前项的和.
（1）求的通项公式；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.
3．已知平面，
(1)求证：平面平面；
(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值大小.
4．某校为了深入学习宣传贯彻党的二十大精神，引导广大师生深入学习党的二十大报告，认真领悟党的二十大提出的新思想、新论断，作出的新部署、新要求，把思想统一到党的二十大精神上来，把力量凝聚到落实党的二十大作出的各项重大部署上来．经研究，学校决定组织开展“学习二十大奋进新征程”的二十大知识竞答活动．
本次党的二十大知识竞答活动，组织方设计了两套活动方案：
方案一：参赛选手先选择一道多选题作答，之后都选择单选题作答；
方案二：参赛选手全部选择单选题作答．
其中每道单选题答对得2分，答错不得分；
多选题全部选对得3分，选对但不全得1分，有错误选项不得分．
为了提高广大师生的参与度，受时间和场地的限制，组织方要求参与竞答的师生最多答3道题．在答题过程中如果参赛选手得到4分或4分以上则立即停止答题，举办方给该参赛选手发放奖品．据统计参与竞答活动的师生有500人，统计如表所示：
(1)完善上面列联表，据此资料判断，是否有90%的把握认为方案的选择与性别有关？
(2)某同学回答单选题的正确率为0.8，各题答对与否相互独立，多选题完全选对的概率为0.3，选对且不全的概率为0.3；如果你是这位同学，为了获取更好的得分你会选择哪个方案？请通过计算说明理由．
附：，．
1．已知相邻两条对称轴之间的距离为．
(1)求的值及函数的单调递减区间；
(2)已知，，求的值．
2．设数列的前项和为 已知
（I）设，证明数列是等比数列.
（II）求数列的通项公式.
3．如图，在直四棱柱中，AB//CD，∠ABC=90°，AB=2，BC=CD=1．
(1)求证：平面平面；
(2)若二面角的大小为60°，求侧棱的长．
4．某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
（Ⅰ）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为，求事件“m ，n均不小于25”的概率.
（Ⅱ）若选取的是3月1日与3月5日的两组数据，请根据3月2日至3月4日的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（Ⅱ）中所得的线性回归方程是否可靠?
（参考公式：回归直线的方程是，其中，，）
1．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A及a；
（2）若，求的周长．
2．已知数列满足，，．
（I）求证：数列是等比数列；
（II）求数列的前项和．
3．我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．该企业为了了解研发资金的投入额x（单位：百万元）对年收入的附加额y（单位：百万元）的影响，对往年研发资金投入额和年收入的附加额进行研究，得到相关数据如下：
(1)求年收入的附加额y与投入额x的经验回归方程；
(2)若年收入的附加额与投入额的比值大于1，则称对应的投入额为“优秀投资额”，现从上面8个投入额中任意取3个，用X表示这3个投入额为“优秀投资额”的个数，求X的分布列及数学期望．
【参考数据】，，．
【附】在经验回归方程中，，．
4．如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，.
（1）证明：平面；
（2）设二面角的正切值为，，，求异面直线与所成角的余弦值.
1．的内角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，求边上高的长．
2．已知数列的前项和为，，等差数列满足，
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）证明：.
3．如图，在长方体中，，E和F分别是棱和的中点.
（1）证明：平面平面CDF；
（2）若，求三棱锥的体积.
4．2020年抗击新冠肺炎武汉封城期间，某公司的产品因符合抗疫要求（全部用统一规格的包装箱包装且有物流配送支持）能继续直销武汉．为了把握准确的需求信息，他们使用大数据统计了武汉2019年末近100天内每天此产品的售货量（单位：箱）如下表所示：
统计分析发现服从正态分布．
（1）画出售货量的频率分布直方图，并求出的值．
（2）估计该公司一个月（30天）内售货量在区间内的天数（结果保留整数）．
（3）为鼓励分销商，该公司出台了两种不同的促销方案．
方案一：直接返现，按每日售货量三级返现：时，返现400元；时，返现800元；时，返现1200元．
方案二：通过抽奖返现：每日售货量低于时有一次抽奖机会；每日售货量不低于时有两次抽奖机会．每次抽奖获得奖金40O元的概率为，获得奖金800元的概率为．
据你分析，分销商应采用哪种方案？请说明理由．
附：若，则，．
1．已知△ABC的角A，B，C对边分别为a，b，c，满足，且，
(1)求C；
(2)求△ABC外接圆的半径R.
2．已知数列的前项和为，，是公差为1的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)记，，求证：．
3．如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为棱PD的中点，（为常数，且）．
(1)若直线BF∥平面ACE，求实数的值；
(2)当时，求二面角C−AE−F的大小．
4．某火锅店为了解气温对营业额的影响，随机记录了该店四月份中5天的日营业额（单位：千元）与该地当日最低气温（单位：）的数据，如下表：
（Ⅰ）求关于的回归方程；
（Ⅱ）设该地区4月份最低气温，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求.
附：（1）回归方程中，，；
（2），；
（3）若，则，.
1．在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，的面积为，求的值；
（2）若，求的取值范围．
2．如图，圆柱的轴截面是正方形，、分别是上、下底面的圆心，是弧的中点，、分别是与中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
3．已知数列对任意的都满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和为.
4．从高三学生中抽取名学生参加数学竞赛，成绩（单位：分）的分组及各数据绘制的频率分布直方图如图所示，已知成绩的范围是区间，且成绩在区间的学生人数是人.
（1）求，的值；
（2）若从数学成绩（单位：分）在的学生中随机选取人进行成绩分析.
①列出所有可能的抽取结果；
②设选取的人中,成绩都在内为事件，求事件发生的概率.
1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知
（1）求的值
（2）若
（i）求的值
（ii）求的值.
2．设等比数列的前项和为，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前项和为，求.
3．如图，四棱柱中，平面，底面是边长为1的正方形，.
（1）求证：平面平面.
（2）求点到平面的距离.
4．北京时间2022年2月6日，中国女足在0-2落后的情况下，最终以3-2逆转绝杀韩国女足，时隔16年再次问鼎亚洲之巅，成为亚洲唯一一支亚洲杯九冠王球队，为此全民又掀起了足球热潮．为了响应习总书记关于深化足球体制改革，大力发展青少年足球，落实到每个地区每一所学校的号召，哈三中成立了校足球队，其中守门员2人，前锋4人，中场10人，后卫6人，其中每个前锋射门的平均命中率都是，每个中场球员射门的平均命中率都是，每个后卫射门的平均命中率都是，且每位队员射门是否命中相互独立．
(1)为了备战一场友谊赛，现从前锋、中场、后卫中各随机选一人组成一个射门训练小组，该小组每个人射门一次为一轮训练，若该小组三人均射进则奖励3个哈三中百年校庆纪念版校徽，若只有两人射进则奖励1个校徽，其他情况不奖励，设随机变量表示该小组一轮训练所得的校徽数，求的分布列及数学期望；
(2)为了强化队员们的射门能力，现从前锋、中场、后卫队员中随机选3人进行射门特训，求这3个人里中场球员的人数比前锋人数多的概率．
1．内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，边上的高为，
(1)求c的值；
(2)设是的角平分线，求的长.
2．已知数列的通项公式为，数列的首项为.
(1)若是公差为3的等差数列，求证：也是等差数列；
(2)若是公比为2的等比数列，求数列的前项和.
3．如图多面体中，四边形是菱形，平面，.
(1)证明：平面；
(2)在棱上有一点（不包括端点），使得平面与平面的夹角余弦值为，求点到平面的距离.
4．2020年爆发人群广泛感染的新型冠状病毒是一种可以借助飞沫和接触传播的变异病毒．某市防疫部门为尽快筛查出新冠病毒感染者，将高风险地区及重点人群按照单样检测，中风险地区可以按照混样检测，低风险地区可以按照混样检测．单样检测即为逐份检测，混样检测是将份或份样本分别取样后混合在一起检测．若检测结果为阴性，则全为阴性，若检测结果为阳性，就要同时对这几份样本进行单独逐一检测，假设在接受核酸检测样本中，每份样本的检测结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且中风险地区每份样本是阳性结果的概率均为．
（1）现有该市中风险地区的份核酸检测样本要进行混样检测，求检测总次数为次的概率．
（2）现有该市中风险地区的份核酸检测样本，已随机平均分为三组，要采用混样检测，设检测总次数为，求的分布列和数学期望.
甲组
乙组
合计
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.841
10.828
包裹重量（单位：）
1
2
3
4
5
包裹件数
43
30
15
8
4
包裹件数范围
0~100
101~200
201~300
301~400
401~500
包裹件数（近似处理）
50
150
250
350
450
天数
6
6
30
12
6
3
26.474
1.903
10
209.76
14.05
4
5
6
7
8
的近似值
55
148
403
1097
2981
组别
频数
5
30
40
50
45
20
10
对阵队员
A队队员胜的概率
A队队员负的概率
对
对
对
理工迷
非理工迷
总计
男
24
36
60
女
12
28
40
总计
36
64
100
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
编号
1
2
3
4
5
学习时间
30
40
50
60
70
数学成绩
65
78
85
99
108
没有进步
有进步
合计
参与周末在校自主学习
35
130
165
未参与周末不在校自主学习
25
30
55
合计
60
160
220
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
100台该款净水器在试用期内更换滤芯的件数a
9
10
11
12
频率
费用y
优秀
合格
合计
大学组
中学组
合计
0.10
0.05
0. 005
2.706
3.841
7.879
男生
女生
总计
选择方案一
100
80
选择方案二
200
120
总计
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
日 期
3月1日
3月2日
3月3日
3月4日
3月5日
温差（°C）
10
11
13
12
8
发芽数（颗）
23
25
30
26
16
投入额
2
3
4
5
6
8
9
11
年收入的附加额
3.6
4.1
4.8
5.4
6.2
7.5
7.9
9.1
售货量（箱）
天数
5
20
30
30
10
5
2
5
8
9
11
12
10
8
8
7