2023年人教版数学七年级上册期末专项练习《定义新运算》（2份打包，答案版+教师版）

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一、选择题
1.规定符号*的意义为：a*b= SKIPIF 1 < 0 ，那么−3*4等于( )
A.eq \f(1,12) B.-eq \f(1,12) C.eq \f(7,12) D.-eq \f(7,12)
2.对有理数a、b，规定运算如下：a※b=a＋ab，则－2※3的值为( )
A.－8 B.－6 C.－4 D.－2
3.若※是新规定的运算符号，设a*b=ab+ab+b，则在2*x=-16中，x的值( )
A.－8 B.6 C.8 D.－6
4.在有理数范围内定义运算“*”，其规则为a*b= SKIPIF 1 < 0 ，则方程(2*3)(4*x)=49的解为( )
A.-3 B.55 C.-56 D.-55
5.定义一种运算☆，其规则为a☆b=eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)，根据这个规则计算2☆3的值是( )
A.eq \f(5,6) B.eq \f(1,5) C.5 D.6
6.a为有理数，定义运算符号“※”：当a＞﹣2时，※a=﹣a，当a＜﹣2时，※a=a，当a=﹣2时，※a=0，根据这种运算，则※[4+※(2﹣5)]的值为( )
A.1 B.﹣1 C.7 D.﹣7
7.如果规定☆为一种运算符号，且a☆b=ab-ba，那么4☆(3☆2)的值为( )
A.3 B.1 C.-1 D.2
8.在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即 “ 结绳计数 ”.当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结(如图)，由细到粗(右细左粗)，满七进一，那么孩子已经出生了( )
A.1335 天 B.516 天 C.435 天 D.54 天
9.定义运算：若am＝b，则lgab＝m(a＞0)，例如23＝8，则lg28＝3.运用以上定义，计算：lg5125﹣lg381＝( )
A.﹣1 B.2 C.1 D.44
10.对于两数a、b，定义运算：a*b=a+b—ab，则在下列等式中，正确的为( )
①a*2=2*a；②(—2)*a=a*(—2)； ③(2*a)*3=2*(a*3)；④0*a=a
A.①③ B.①②③ C.①②③④ D.①②④
二、填空题
11.现定义新运算“※”，对任意有理数a、b，规定a※b＝ab＋a﹣b，例如：1※2＝1×2＋1﹣2＝1，则计算3※(﹣5)＝ .
12.定义一种新运算“*”，规定：a*b=eq \f(1,3)a﹣4b，例如：6*5=eq \f(1,3)×6﹣4×5=﹣18，则12*(﹣1)= .
13.定义一种新运算：a⊗b=b2－ab，如：1⊗2=22－1×2=2，则(－1⊗2)⊗3=____.
14.定义a*b=ab+a+b,若3*x=27，则x的值是 .
15.将四个数a 、b、c、d写成两行两列，规定=，若=－9，则x= .
16.我们规定一种运算法则“※”，对任意两个有理数a、b，有a※b=2a＋6.若有理数x满足(2x＋1)※(－4)=5※(3－x)，则x= .
三、解答题
17.规定运算a&b=ab＋1，求下列各式的值：
(1)(－2)&3；
(2)[(－1)&2]&(－3).
18.定义：a是不为1的有理数，我们把eq \f(1,1－a)称为a的差倒数.
如：2的差倒数是eq \f(1,1－2)=－1，－1的差倒数是eq \f(1,1－（－1）)=eq \f(1,2).已知a1=－eq \f(1,3)，
(1)a2是a1的差倒数，求a2；
(2)a3是a2的差倒数，求a3；
(3)a4是a3的差倒数，…依此类推an＋1是an的差倒数，直接写出a2017.
19.定义一种新运算，观察下列式：
1⊙3=1×4＋3=7
3⊙(－1)=3×4－1=11
5⊙4=5×4＋4=24
4⊙(－3)=4×4－3=13
(1)请你想一想：a⊙b=______；若a≠b，那么a⊙b______b⊙a(填入“=”或“≠”)；
(2)若a⊙(－2b)=4，请计算(a－b)⊙(2a＋b)的值.
20.设”*”是某种运算符号，对任意的有理数a，b有a*b=eq \f(3a＋b,3).求方程2*(2x＋1)=2的解.
21.对于两个有理数a，b，我们规定一种新运算“*”：a*b=3ab.
(1)解方程：3*x－2*4=0；
(2)若无论x为何值，总有a*x=x，求a的值.
22.阅读下列材料，并回答问题
计算机利用的是二进制数，它共有两个数码：0，1；将一个十进制的数转化为二进制数，只需把该数写成若干个的数的和，依次写出1或0即可．
例如十进制数19可以按下述方法转化为二进制数：19＝16＋2＋1＝1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝10011．
二进制数110110可以转换成十进制数为：110110＝1×25＋1×24＋0×23＋1×22＋1×21＋0×20＝54．
(1)将86化成二进制；
(2)将1011101化成十进制．
23.在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数——“差一数”.
定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”.
例如： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以14是“差一数”；
SKIPIF 1 < 0 ，但 SKIPIF 1 < 0 ，所以19不是“差一数”.
(1)判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；
(2)求大于300且小于400的所有“差一数”.
答案
1.B.
2.A.
3.D
4.B.
5.A.
6.B
7.A
8.B.
9.A
10.D
11.答案为：﹣7.
12.答案为：8.
13.答案为：－9
14.答案为：6.
15.答案为：x=-2；
16.答案为：3
17.解：(1)－5 (2)4
18.解：(1)根据题意，得：a2=eq \f(1,1－（－\f(1,3)）)=eq \f(1,\f(4,3))=eq \f(3,4).
(2)根据题意，得：a3=eq \f(1,1－\f(3,4))=eq \f(1,\f(1,4))=4.
(3)由a1=－eq \f(1,3)，a2=eq \f(3,4)，a3=4，a4=eq \f(1,1－4)=－eq \f(1,3)，2023÷3=674……1，
∴a2023=－eq \f(1,3).
19.解：(1)∵1⊙3=1×4＋3=7,3⊙(－1)=3×4－1=11，5⊙4=5×4＋4=24,
4⊙(－3)=4×4－3=13，
∴a⊙b=4a＋b，b⊙a=4b＋a，(4a＋b)－(4b＋a)=3a－3b=3(a－b)，
∵a≠b，
∴3(a－b)≠0，即(4a＋b)－(4b＋a)≠0，
∴a⊙b≠b⊙a，故填4a＋b，≠；
(2)∵a⊙(－2b)=4a－2b=4，
∴2a－b=2，
(a－b)⊙(2a＋b)=4(a－b)＋(2a＋b)=4a－4b＋2a＋b=6a－3b=3(2a－b)=3×2=6.
20.解：x=－eq \f(1,2)
21.解：(1)由3*x－2*4=0，得9x－24=0，解得x=.
(2)由a*x=x，得3ax=x，所以(3a－1)x=0.
因为它的解为所有数，所以3a－1=0.
所以a=eq \f(1,3).
22.解：(1)86÷2＝43，
43÷2＝21…1，
21÷2＝10…1，
10÷2＝5…0，
5÷2＝2…1，
2÷2＝1…0，
1÷2＝0…1，
故86(10)＝1010110(2)．
(2)(1011101)2
＝1×26＋0×25＋1×24＋1×23＋1×22＋0×21＋1×20
＝64＋0＋16＋8＋4＋0＋1
＝93；
(1011101)2＝(93)10．
23.解：(1)∵ SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，
∴49不是“差一数”，
∵ SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，
∴74是“差一数”；
(2)解法一：∵“差一数”这个数除以5余数为4，
∴“差一数”这个数的个位数字为4或9，
∴大于300且小于400的符合要求的数为304、309、314、319、324、329、334、339、344、349、354、359、364、369、374、379、384、389、394、399，
∵“差一数”这个数除以3余数为2，
∴“差一数”这个数的各位数字之和被3除余2，
∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389.
解法二：∵“差一数”这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，
∴这个数加1能被15整除，
∵大于300且小于400的能被15整除的数为315、330、345、360、375、390，
∴大于300且小于400的所有“差一数”为314、329、344、359、374、389.