【学考复习】2024年高中数学学业水平考试（江苏专用）01第一章 集合、常用逻辑用语-讲义

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1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)常用数集及记法
2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A．
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A．
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A．
5.常用结论
（1）若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
（2）空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集．
（3）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB．
（4）∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
6．充分条件、必要条件与充要条件的概念
7．全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
8．全称量词命题和存在量词命题
9．充要关系与集合的子集之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
10．常用结论
（1）区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B eq \(⇒,/) A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A eq \(⇒,/) B)两者的不同．
（2）p是q的充分不必要条件，等价于綈q是p的充分不必要条件．
（3）全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题．
考点一 集合的基本概念
【例1】集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(n∈N|x＝\f(16,n)，x∈N))的元素个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】因为x∈N，n∈N，且x＝eq \f(16,n)，所以n是16的正因数，即n的值可以是1,2,4,8,16，则A＝{1,2,4,8,16}，所以集合A中有5个元素，故选C．
归纳点拨
(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．
(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
对点训练
1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A．4 B．2
C．0 D．0或4
【答案】A
【解析】①当a＝0时，1＝0显然不成立；②当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，得a＝4.综上可知a＝4.故选A．
2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(b,a)，b))，则a2023＋b2024＝__________.
【答案】0
【解析】由题意知a≠0，因为{1，a＋b，a}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(b,a)，b)).所以a＋b＝0，则eq \f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2023＋b2024＝－1＋1＝0.
3．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
【答案】－eq \f(3,2)
【解析】由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－eq \f(3,2)，当m＝1时，m＋2＝3,2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－eq \f(3,2)时，m＋2＝eq \f(1,2)，2m2＋m＝3，综上知，m＝－eq \f(3,2).
考点二 集合间的基本关系
【例2】 (1)已知集合A＝{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝k＋\f(1,6)，k∈N))，B＝{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝\f(m,2)－\f(1,3)，m∈N))，C＝{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝\f(n,2)＋\f(1,6)，n∈N))，则集合A、B、C的关系是( )
A．ACB B．CAB
C．AB＝C D．ABC
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为__________．
【答案】(1)A (2)(－∞，3]
【解析】(1)∵集合C＝{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝\f(n,2)＋\f(1,6)，n∈N))，
∴当n＝2a(a∈N)时，x＝eq \f(2a,2)＋eq \f(1,6)＝a＋eq \f(1,6)，此时C＝A．∴AC．当n＝b－1(b∈N*)时，x＝eq \f(b－1,2)＋eq \f(1,6)＝eq \f(b,2)－eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＝eq \f(b,2)－eq \f(1,3)(b∈N*)．集合B＝{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝\f(m,2)－\f(1,3)，m∈N))，当m＝0时，－eq \f(1,3)∈B，但－eq \f(1,3)∉C，∴集合CB．综上，ACB，故选A．
(2)∵B⊆A，∴若B＝∅，则2m－1