【学考复习】2024年高中数学学业水平考试（江苏专用）03第三章 函数的概念与性质-讲义

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1．函数的概念
2．同一个函数
(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同．
(2)结论：这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数表示的是一个函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．
5．常用结论
（1）直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点．
（2）判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
6．函数的定义域
(1)求定义域的步骤
①写出使函数式有意义的不等式(组)．
②解不等式(组)．
③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)
(2)基本初等函数的定义域
①整式函数的定义域为R．
②分式函数中分母不等于0．
③偶次根式函数被开方式大于或等于0．
④一次函数、二次函数的定义域均为R．
⑤函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}．
⑥指数函数的定义域为R．
⑦对数函数的定义域为(0，＋∞)．
7．函数的值域
(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．
(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(y|y≥\f(4ac－b2,4a)))；当a0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．
(5)y＝lgax(a>0且a≠1)的值域是R．
7．函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
8．函数的最值
9．常用结论
若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质
(1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,fx)的单调性相反．
(4)复合函数y＝f[g(x)]的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记：“同增异减”．
10．增函数(减函数)的等价变形
(1)∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔eq \f(fx1－fx2,x1－x2)>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数．
(2)∀x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，则(x1－x2)[f(x1)
－f(x2)]\f(1,2)))；(3)y＝eq \f(2－sinx,2＋sinx)；(4)y＝|x＋1|＋|x－2|．
考点八 确定函数的单调性(区间)
【例8】(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．y＝ex－e－x B．y＝|x2－2x|
C．y＝x＋csx D．y＝eq \r(x2＋x－2)
归纳点拨
(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．
(2)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③性质法；④导数法．
(3)函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则．
对点训练
1．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(3,2))) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，＋∞))
C．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(3,2))) D．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，4))
2．函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是__________．
3．试讨论函数f(x)＝eq \f(ax,x－1)(a≠0)在(－1,1)上的单调性．
考点九 求函数的最值
【例9】 (1)设函数f(x)＝eq \f(2x,x－2)在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则eq \f(m2,M)＝( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(3,8) C．eq \f(3,2) D．eq \f(8,3)
(2)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≤b，,b，a>b.))设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝lg2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是__________．
(3)函数y＝eq \r(x)－x(x≥0)的最大值为______．
(4)函数f(x)＝3x＋eq \f(2,x)，x∈[1,2]的最大值为________．
归纳点拨
求函数最值的五种常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．
(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．
对点训练
1．函数y＝eq \f(2－x,x＋1)，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是( )
A．(1,2) B．(－1,2)
C．[1,2) D．[－1,2)
2．已知函数f(x)＝x＋eq \r(1－2x)，则函数f(x)有( )
A．最小值eq \f(1,2)，无最大值 B．最大值eq \f(1,2)，无最小值
C．最小值1，无最大值 D．最大值1，无最小值
3．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2，x≤1，,x＋\f(6,x)－6，x>1，))则f(x)的最小值是__________．
考点十 函数奇偶性的应用
【例10】若f(x)为奇函数，当x≤0时，f(x)＝a＋2csx，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4π,3)))＝( )
A．－3 B．1 C．3 D．2＋eq \r(3)
(2)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝__________．
归纳点拨
(1)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式或函数值．
(2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．
对点训练
1．已知函数f(x)＝sinx，g(x)＝ex＋e－x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
2．若f(x)＝lneq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a＋\f(1,1－x)))＋b是奇函数，则a＝__________，b＝__________．
考点十一 函数的周期性
【例11】 (1)函数f(x)＝lg|sinx|是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为2π的偶函数
(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，并且满足f(x＋2)＝－eq \f(1,fx)，当2≤x≤3时，f(x)＝x，则f(105．5)＝( )
A．－2．5 B．2．5
C．5．5 D．－5．5
归纳点拨
(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
对点训练
1．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x－2)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则f(lg210)的值为( )
A．－eq \f(2,5) B．eq \f(2,5) C．－eq \f(3,5) D．eq \f(3,5)
2．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当x∈[－3,3)时，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x＋22，－3≤x