【学考复习】2024年高中数学学业水平考试（江苏专用）04第四章 幂函数与二次函数、指数与指数函数、对数与对数函数-讲义

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1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象，如图．
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增．
③当α1)．
④eq \r(n,an)＝a(n为大于1的奇数)．
⑤eq \r(n,an)＝|a|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a，a≥0，,－a，a0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a eq \s\up15(－eq \f(m,n)) ＝eq \f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
5．指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R．
6．指数函数及其性质
(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R．
(2)指数函数的图象与性质
7．常用结论
（1）画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,a)))．
（2）指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与00，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝lgaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
9．对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质
①algaN＝N．
②lgaab＝b(a>0，且a≠1)．
(2)对数的运算性质
如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么
①lga(MN)＝lgaM＋lgaN．
②lgaeq \f(M,N)＝lgaM－lgaN．
③lgaMn＝nlgaM(n∈R)．
(3)换底公式：lgab＝eq \f(lgcb,lgca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)．
10．对数函数及其性质
(1)概念：函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．
(2)对数函数的图象与性质
11．反函数
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝lgax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，它们的定义域和值域正好互换．
12．换底公式的两个重要结论
(1)lgab＝eq \f(1,lgba)(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)．
(2)lgambn＝eq \f(n,m)lgab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0)．
13．对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故00)＝________．
【答案】ab－1
【解析】原式＝＝a· eq \s\up15(eq \f(3,2)＋eq \f(1,6)－1＋eq \f(1,3)) b eq \s\up15(1＋eq \f(1,3)－2－eq \f(1,3)) ＝ab－1．
2．若x eq \s\up15( eq \f (1,2)) ＋x eq \s\up15(－eq \f(1,2)) ＝3，则eq \f(x eq \s\up15(eq \f(3,2)) ＋x eq \s\up15(－eq \f(3,2)) －3,x2＋x－2－2)的值为______．
【答案】eq \f(1,3)
【解析】由x eq \s\up15( eq \f (1,2)) ＋x eq \s\up15(－eq \f(1,2)) ＝3，两边平方，得x＋x－1＝7，∴x2＋x－2＝47．
∴x2＋x－2－2＝45．
由(x eq \s\up15( eq \f (1,2)) ＋x eq \s\up15(－eq \f(1,2)) )3＝33，得x eq \s\up15(eq \f(3,2)) ＋3x eq \s\up15( eq \f (1,2)) ＋3x eq \s\up15(－eq \f(1,2)) ＋x eq \s\up15(－eq \f(3,2)) ＝27．
∴x eq \s\up15(eq \f(3,2)) ＋x eq \s\up15(－eq \f(3,2)) ＝18，∴x eq \s\up15(eq \f(3,2)) ＋x eq \s\up15(－eq \f(3,2)) －3＝15．∴eq \f(x eq \s\up15(eq \f(3,2)) ＋x eq \s\up15(－eq \f(3,2)) －3,x2＋x－2－2)＝eq \f(1,3)．
考点七 指数函数的图象及应用
【例7】 (1)已知f(x)＝(x－a)(x－b)(a>b)的大致图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是( )
(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
【答案】(1)A (2)[－1,1]
【解析】(1)由函数f(x)的大致图象可知3