浙教版九年级下册1.3 解直角三角形一课一练

这是一份浙教版九年级下册1.3 解直角三角形一课一练，共13页。

知识点1 解直角三角形
1.(2020浙江杭州中考)如图,在△ABC中,∠C=90°,设∠A,∠B,∠C所对边的长分别为a,b,c,则( ) ( )
A.c=bsin B B.b=csin B
C.a=btan B D.b=ctan B

第1题图 第2题图
2.(2019浙江金华中考)如图,矩形ABCD的对角线交于点O.已知AB=m,∠BAC=∠α,则下列结论错误的是( )
A.∠BDC=∠α B.BC=m·tan α
C.AO=m2sinα D.BD=mcsα
3.(2018浙江丽水中考)如图,两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上,量得∠ABC=α,∠ADC=β,则竹竿AB与AD的长度之比为( )
A.tanαtanβ B.sinβsinα
C.sinαsinβ D.csβcsα
4.【教材变式·P18例2】已知Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对边的长分别为a,b,c.根据下列条件解直角三角形.( )
(1)∠B=60°,a=4;
(2)a=3-1,b=3-3;
(3)∠A=45°,c=2+3.
知识点2 解斜三角形
5.(2022浙江金华中考)一配电房示意图如图所示,它是一个轴对称图形,已知BC=6 m,∠ABC=∠α,则房顶A离地面EF的高度为( )
( )
A.(4+3sin α)m B.(4+3tan α)m
C.4+3sinαm D.4+3tanαm

6.(2022江苏常州中考)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠ABC=90°,DB平分∠ADC.若AD=1,CD=3,则sin∠ABD= .
7.已知在△ABC中,∠B=45°,AB=82,AC=10,则BC= .
8.【一题多解】(2023浙江杭州拱墅月考)如图,已知△ABD中,AC⊥BD,BC=8,CD=4,cs∠ABC=45,BF为AD边上的中线.
(1)求AC的长;
(2)求tan∠FBD的值.
能力提升全练
9.【数学文化】(2021浙江温州中考,8,★★☆)图①是第七届国际数学教育大会(ICME)会徽的主体部分,在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形,恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC.若AB=BC=1,∠AOB=α,则OC2的值为( )( )
A.1sin2α+1 B.sin2α+1
C.1cs2α+1 D.cs2α+1
10.(2023浙江宁波海曙期中,16,★★★)如图,已知点A(4,3),点B为直线y=-2上的一动点,点C(0,n),-211.(2020浙江湖州中考,19,★★☆)有一种升降熨烫台的原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度.图①是这种升降熨烫台的平面示意图,AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆,点O是它们的连接点,OA=OC,h(cm)表示熨烫台的高度.
(1)若AB=CD=110 cm,∠AOC=120°,求h的值;
(2)爱动脑筋的小明发现,当家里这种升降熨烫台的高度为120 cm时,两根支撑杆的夹角∠AOC是74°(如图②),求该熨烫台支撑杆AB的长度(结果精确到1 cm.参考数据:sin 37°≈0.6,cs 37°≈0.8,sin 53°≈0.8,cs 53°≈0.6).

图① 图②
素养探究全练
12.【运算能力】小明在学习“锐角三角函数”时发现,将如图所示的含30°(∠BAC)角的直角三角形纸片ABC沿过点A的直线折叠,使点C落在AB上的点D处,这样就可以求出75°角的正切值是( ) ( )
A.2-3 B.2+3 C.2.5 D.5

13.【模型观念】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,点D是边AC的中点,点E,F在边AB上,当△DEF是等腰三角形,且底角的正切值是12时,△DEF的腰长是 .
答案全解全析
基础过关全练
1.B ∵Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对边的长分别为a,b,c,∴sin B=bc,即b=csin B,A选项不成立,B选项成立;
tan B=ba,即b=atan B,C,D选项不成立,故选B.
2.C ∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠DCB=90°,AC=BD,AO=CO,BO=DO,
∴AO=OB=CO=DO,∴∠DBC=∠ACB,
∴∠BAC=∠BDC=∠α,故选项A不符合题意;
在Rt△ABC中,tan α=BCm,即BC=m·tan α,故选项B不符合题意;
在Rt△ABC中,AC=mcsα,即AO=m2csα,故选项C符合题意;
∵四边形ABCD是矩形,∴DC=AB=m,
∵∠BAC=∠BDC=∠α,∴在Rt△DCB中,BD=mcsα,
故选项D不符合题意.故选C.
3.B 在Rt△ABC中,AB=ACsinα,在Rt△ACD中,AD=ACsinβ,
∴AB∶AD=ACsinα∶ACsinβ=sinβsinα,故选B.
4.解析 (1)∠A=90°-∠B=90°-60°=30°.
由tan B=ba,得b=atan B=4tan 60°=43.
由cs B=ac,得c=acsB=4cs60°=8.
(2)∵tan B=ba=3-33-1=3,∴∠B=60°,
∴∠A=90°-∠B=30°,
由sin A=ac,得c=asinA=3-1sin30°=23-2.
(3)∵∠B=90°-∠A=45°,
∴∠A=∠B,∴a=b,
∵sin A=ac,
∴a=csin A=(2+3)×22=2+62,
∴b=2+62.
5.B 过点A作AD⊥BC于点D,如图,
∵它是一个轴对称图形,
∴AB=AC,
∵AD⊥BC,
∴BD=12BC=3 m,
在Rt△ADB中,∵tan∠ABC=ADBD,
∴AD=BD·tan α=3tan α m.
∴房顶A离地面EF的高度=AD+BE=(4+3tan α)m,故选B.
6.答案 66
解析 过点D作DE⊥BC,垂足为E,如图,
易得四边形ADEB为矩形,
∴AD=BE,DE=AB,∵∠A=∠ABC=90°,
∴AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,
∵DB平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB,
∴∠CBD=∠CDB,∴CB=CD=3,
∵BE=AD=1,∴CE=BC-BE=3-1=2,
在Rt△CDE中,DE=CD2-CE2=32-22=5,
∴AB=DE=5,
在Rt△ADB中,BD=AD2+AB2=12+(5)2=6,
∴sin∠ABD=ADBD=16=66.
7.答案 2或14
解析 如图,过点C作CD⊥AB于点D,
∵∠B=45°,∴BD=CD,
设BD=CD=x,则AD=AB-BD=82-x,
在Rt△ACD中,由CD2+AD2=AC2可得x2+(82-x)2=102,
解得x=2或x=72,
当x=2,即BD=CD=2时,BC=2BD=2;
当x=72,即BD=CD=72时,BC=2BD=14.
∴BC的长度为2或14.
8.解析 (1)∵cs∠ABC=BCAB=45,BC=8,
∴AB=10,
在Rt△ACB中,由勾股定理得,
AC=AB2-BC2=102-82=6.
(2)解法一:如图,连结CF,过F点作BD的垂线,垂足为E,
在Rt△ACD中,由勾股定理得,
AD=AC2+CD2=62+42=213,
∵BF为AD边上的中线,
∴CF=12AD=FD=13,
∴三角形CFD为等腰三角形,
∵FE⊥CD,∴CE=12CD=2,
∴在Rt△EFC中,EF=CF2-CE2=13-4=3,
∴tan∠FBD=FEBE=38+2=310.
解法二:过点F作FE⊥BD于点E(图略),
∵BF为AD边上的中线,
∴DF=12AD,
∵FE⊥BD,AC⊥BD,∴FE∥AC,
∴△DFE∽△DAC,
∴EFAC=DECD=DFAD=12,
∴FE=12AC=3,CE=12CD=2,
∴tan∠FBD=FEBE=38+2=310.
能力提升全练
9.A 在Rt△OAB中,sin α=ABOB,AB=1,
∴OB=1sinα.
在Rt△OBC中,OB2+BC2=OC2,BC=1,
∴OC2=1sinα2+12=1sin2α+1.故选A.
10.答案 53;12
解析 过点A作AM⊥y轴于点M,作AN垂直直线BG于点N,如图所示:
则∠AMC=90°,∠ANB=90°,
∵直线y=-2与x轴平行,
∴∠ABN=α,∠CGB=90°,
∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°,∴∠ACM+∠BCG=90°,
∵∠ACM+∠MAC=90°,∴∠CAM=∠BCG,
∵∠AMC=∠CGB=90°,
∴△AMC∽△CGB,∴CMAM=BGCG,
设BG=m,
∵点A的坐标为(4,3),点C的坐标为(0,n),
∴AM=4,GC=n+2,CM=3-n,∴3-n4=mn+2,
当n=2时,可得14=m4,解得m=1,
∴GB=1,∴BN=3,易知AN=MG=5,∴tan α=ANBN=53.
∵tan α=ANNB=5NB,
∴当BN最小,即m最大时,tan α最大,
∵3-n4=mn+2,
∴m=-14(n-3)(n+2)=-14n-122+2516,
∵-14<0,
∴当n=12时,m取得最大值,即tan α最大,
故答案为53;12.
11.解析 (1)如图,过点B作BE⊥AC于E,
∵OA=OC,∠AOC=120°,
∴∠OAC=∠OCA=180°-120°2=30°,
∴h=BE=AB·sin 30°=110×12=55.
(2)如图,过点B作BF⊥AC于F,
∵OA=OC,∠AOC=74°,
∴∠OAC=∠OCA=180°-74°2=53°,
∴AB=BF÷sin 53°≈120÷0.8=150(cm),
即该熨烫台支撑杆AB的长度约为150 cm.
素养探究全练
12.B 在Rt△ABC中,设BC=1,∵∠BAC=30°,∴AC=3,AB=2,
∵含30°(∠BAC)角的直角三角形纸片ABC沿过点A的直线折叠,使点C落在AB上的点D处,
∴∠CAE=12∠CAB=15°,CE=DE,AD=AC=3,
∴∠AEC=75°,
设CE=x,则DE=x,BE=1-x,
在Rt△BDE中,BD=AB-AD=2-3,
∵BE2=DE2+BD2,
∴(1-x)2=x2+(2-3)2,解得x=23-3.
在Rt△AEC中,tan∠AEC=tan 75°=ACEC=323-3=2+3.故选B.
13.答案 32
解析 ∵∠C=90°,AC=4,BC=3,
∴AB=BC2+AC2=32+42=5,
∵点D是边AC的中点,∴AD=12AC=2,
作DM⊥AB于M,如图1所示:
∵sin A=BCAB=DMAD,即35=DM2,∴DM=65,
∴AM=22-652=85.
分三种情况:
①当DE=DF时,如图1,
∵tan∠DFE=DMFM=12,∴FM=2DM=2×65=125,
∵FM>AM,∴FM=125不符合题意;
②当ED=EF时,如图2,
由①得FM=125,∵FM>AM,∴FM=125不符合题意;
③当FE=FD时,如图3,
图3
∵tan∠FED=DMEM=12,∴EM=125,
设EF=DF=x,则FM=125-x,
在Rt△DMF中,FM2+DM2=DF2,即125-x2+652=x2,解得x=32.
综上所述,当△DEF是等腰三角形,且底角的正切值是12时,△DEF的腰长是32.