人教版2023-2024学年七年级上册数学期末培优专题训练

这是一份人教版2023-2024学年七年级上册数学期末培优专题训练，共66页。
（1）如图1，若直角△DOE的边OD放在射线OB上，则∠COE＝ ；
（2）如图2，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得OE平分∠AOC，说明OD所在射线是∠BOC的平分线；
（3）如图3，将直角△DOE绕点O按逆时针方向转动，使得∠COD＝∠AOE．求∠BOD的度数．
2．已知，如图，把直角三角形MON的直角顶点O放在直线AB上，射线OC平分∠AON．
（1）如图1，若∠MOC＝28°，求∠BON的度数．
（2）若∠MOC＝m°，则∠BON的度数为 ．
（3）由（1）和（2），我们发现∠MOC和∠BON之间有什么样的数量关系？
（4）若将三角形MON绕点O旋转到如图2所示的位置，试问∠MOC和∠BON之间的数量关系是否发生变化？请说明理由．
3．如图，以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝70°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）
（1）如图①，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝ °；
（2）如图②，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠COD的度数；
（3）如图③，将直角三角板DOE绕点O转动，如果OD始终在∠BOC的内部，试猜想∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？并说明理由．
4．点O为直线AB上一点，将一直角三角板OMN的直角顶点放在点O处．射线OC平分∠MOB．
（1）如图1，若∠AOM＝30°，求∠CON的度数；
（2）在图1中，若∠AOM＝a，直接写出∠CON的度数（用含a的代数式表示）；
（3）将图1中的直角三角板OMN绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，一边OM在射线OB上方，另一边ON在直线AB的下方．
①探究∠AOM和∠CON的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②当∠AOC＝3∠BON时，求∠AOM的度数．
5．已知，OC是过点O的一条射线，OD，OE分别平分∠AOC，∠BOC．
（1）如图①，如果射线OC在∠AOB的内部，∠AOB＝80°，则∠DOE＝ °；
（2）如图②，如果射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，∠AOB＝x°，则∠DOE＝ °；
（3）如果射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转，∠AOB＝x°，请借助图③探究∠DOE的度数．
6．已知一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°
（1）图1中∠BOD＝ °．
（2）如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕着点O按顺时针方向旋转一个角度α，在转动过程中两块三角板都在直线EF的上方：
①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度α的值；
②是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求此时的α的值；若不存在，请说明理由．
7．如图①，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）若∠AOC＝30°，则∠BOD＝ °，∠DOE＝ °；
（2）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，其他条件不变，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数（用含α的式子表示）；
（3）将图①中的∠COD绕顶点O顺时针旋转至图③的位置，其他条件不变，直接写出∠AOC和∠DOE的度数之间的关系： .（不用证明）
8．将一副三角板中的含有60°角的三角板的顶点和另一块的45°角的顶点重合于一点O，绕着点O旋转60°的三角板，拼成如图的情况（OB在∠COD内部），请回答问题：
（1）如图1放置，将含有60°角的一边与45°角的一边重合，求出此时∠AOD的度数．
（2）绕着点O，转动三角板AOB，恰好是OB平分∠COD，此时∠AOD的度数应该是多少？
（3）是否存在这种情况，∠AOC的度数恰好等于∠BOD度数的3倍．如果存在，请求出∠AOD的度数，如果不存在请说明理由．
9．如图①，点O在直线AB上，∠BOC＝50°．将直角三角尺（斜边为DE）的直角顶点放在点O处，一条直角边OE放在射线OB上．已知∠DEO＝30°，将该三角尺绕点O按逆时针方向旋转180°，在旋转过程中，解决下列问题．
（1）如图②，若射线OE平分∠BOC，则∠COD与∠DOA的数量关系为 ；
（2）如图③，当斜边DE与射线OA相交时，∠COE与∠AOD的差是否保持不变？请说明理由．
10．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB（其中∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OB恰好平分∠COE，此时，∠AOC与∠AOD之间数量关系为 ；
（2）若射线OC的位置固定不变，且∠COE＝130°．
①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OB，OC，OD中的某一条射线是另外两条射线夹角的平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由；
②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交．
（i）求∠AOC﹣∠BOE的值．
（ii）若2∠AOE+∠BOD＝∠AOD﹣∠COD，求∠BOE的度数．
11．已知O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图①，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数．
（2）在图①中，若∠AOC＝α，求∠DOE的度数（用含α的代数式表示）．
（3）将图①中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图②的位置，且保持射线OC在直线AB上方，在整个旋转过程中，当∠AOC的度数是多少时，∠COE＝2∠DOB．
12．（1）探究：哪些特殊的角可以用一副三角板画出？
在①135°，②120°，③75°，④25°中，小明同学利用一副三角板画不出来的特殊角是 ；（填序号）
（2）在探究过程中，爱动脑筋的小明想起了图形的运动方式有多种．如图①，他先用三角板画出了直线EF，然后将一副三角板拼接在一起，其中45°角（∠AOB）的顶点与60°角（∠COD）的顶点互相重合，且边OA、OC都在直线EF上．固定三角板COD不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度α，当边OB与射线OF第一次重合时停止．
①当OB平分∠EOD时，求旋转角度α；
②是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求旋转角度α；若不存在，请说明理由．
13．如图，直线AB、CD相交于点O，AB⊥CD，∠EOF＝90°．
（1）若∠COE＝30°，则∠BOF＝ ．
（2）从（1）的时刻开始，若将∠EOF绕O点以每秒15°的速度逆时针旋转一周，求运动多少秒时，直线AB平分∠EOF．
（3）从（1）的时刻开始，若将∠EOF绕O点逆时针旋转一周，如果射线OP是∠COE的角平分线，请直接写出此过程中∠AOP与∠BOF的数量关系．（不考虑OE与AB、CD重合的情况）
14．对于平面内给定射线OA，射线OB及∠MON，给出如下定义：若由射线OA、OB组成的∠AOB的平分线OT落在∠MON的内部或边OM、ON上，则称射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．例如，图1中射线OA与射线OB关于∠MON内含对称．
已知：如图2，在平面内，∠AOM＝10°，∠MON＝20°．
（1）若有两条射线OB1，OB2的位置如图3所示，且∠B1OM＝30°，∠B2OM＝15°，则在这两条射线中，与射线OA关于∠MON内含对称的射线是 ；
（2）射线OC是平面上绕点O旋转的一条动射线，若射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，设∠COM＝x°，求x的取值范围；
（3）如图4，∠AOE＝∠EOH＝2∠FOH＝20°，现将射线OH绕点O以每秒1°的速度顺时针旋转，同时将射线OE和OF绕点O都以每秒3°的速度顺时针旋转．设旋转的时间为t秒，且0＜t＜60．若∠FOE的内部及两边至少存在一条以O为顶点的射线与射线OH关于∠MON内含对称，直接写出t的取值范围．
15．如图，直线EF与MN相交于点O，∠MOE＝30°，将一直角三角尺的直角顶点与O重合，直角边OA与MN重合，OB在∠NOE内部．操作：将三角尺绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，直角边OB恰好平分∠NOE？此时OA是否平分∠MOE？请说明理由；
（2）若在三角尺转动的同时，直线EF也绕点O以每秒9°的速度顺时针方向旋转一周，当一方先完成旋转一周时，另一方同时停止转动．
①当t为何值时，EF平分∠AOB？
②EF能否平分∠NOB？若能请直接写出t的值；若不能，请说明理由．
16．如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起．
（1）判断∠ACE与∠BCD的大小关系，并说明理由；
（2）若∠DCE＝30°，求∠ACB的度数；
（3）猜想：∠ACB与∠DCE有怎样的数量关系，并说明理由．
17．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O．
（1）如图①，若∠AOB＝155°，求∠AOD、∠BOC、∠DOC的度数．
（2）如图①，你发现∠AOD与∠BOC的大小有何关系？∠AOB与∠DOC有何关系？直接写出你发现的结论．
（3）如图②，当△AOC与△BOD没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由．
18．如图，将一副直角三角板的直角顶点C叠放在一起．
【计算与观察】
（1）若∠DCE＝35°，则∠BCA＝ ；若∠ACB＝150°，则∠DCE＝ ；
【猜想与证明】
（2）猜想∠ACB与∠DCE的大小有何特殊关系？并说明理由．
【拓展与运用】
（3）若∠DCE：∠ACB＝2：7，求∠DCE的度数．
19．如图所示，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图1，若∠AOC＝30°，求∠DOE的度数．
（2）在图1中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数： （用含α的代数式表示）．
（3）将图1中的∠COD绕顶点O顺时针开始旋转．
①当∠COD旋转至如图2的位置时，请探究∠AOD与∠BOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②过点O的一条射线OF，使得OC恰好平分∠BOF，在图1和图2中分别探究∠AOF与∠DOE的度数之间的关系，请直接写出结论．
20．已知直线AB经过点O，∠COD＝90°，射线OE是∠BOC的角平分线．
（1）如图1，若∠AOC＝32°，求∠DOE的度数；
（2）将图1中的∠COD绕顶点O逆时针旋转到图2的位置，若∠DOE＝58°，求∠AOC的度数；
（3）若∠DOE＝x度，由（1），（2）猜测∠AOC大小，请你直接写出∠AOC＝ 度；（用含x的式子表示）
21．已知，OC是∠AOB内部的一条射线，且∠AOB＝3∠AOC．
（1）如图1所示，若∠AOB＝120°，OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，求∠MON的度数；
（2）如图2所示，∠AOB是直角，从点O出发在∠BOC内引射线OD，满足∠BOC﹣∠AOC＝∠COD，若OM平分∠COD，求∠BOM的度数；
（3）如图3所示，∠AOB＝x°，射线OP，射线OQ分别从OC，OB出发，并分别以每秒1°和每秒2°的速度绕着点O逆时针旋转，OP和OQ分别只在∠AOC和∠BOC内部旋转，运动时间为t秒．
①直接写出∠AOP和∠COQ的数量关系；
②若∠AOB＝150°，当，求t的值．
22．如图1，一直角三角尺的直角顶点O在直线AB上，一边OC在射线OA上，另一边OD在直线AB的上方，将直角三角尺在平面内绕点O顺时针旋转，且OE平分∠BOC，OF平分∠DOB，如图2．
（1）如图2，当∠AOC＝70°时，
①求∠BOC和∠DOB的度数；
②求∠EOF的度数．
（2）在直角三角尺旋转过程中，设∠AOC＝α，若0°＜α＜180°，则
①求∠BOC和∠DOB的度数（用含α的代数式表示）；
②∠EOF的度数是否发生变化，请通过计算说明理由．
23．已知∠AOB＝2∠COD＝140°，OE平分∠AOD．
（1）如图①，若∠COE＝10°，求∠AOC的度数；
（2）将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图②的位置，∠BOD和∠COE有怎样的数量关系？请说明理由；
（3）将∠COD绕顶点O按逆时针方向旋转至如图③的位置，（2）中的关系是否成立？请说明理由．
24．已知∠AOB＝120°，射线OC在∠AOB的内部，射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线，射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线．
（1）若OC平分∠AOB，求∠MON的度数；
（2）小明说：当射线OC绕点O在∠AOB的内部旋转时，∠MON的度数始终保持不变，你认为小明的说法是否正确？说明理由；
（3）若OM、ON、OA、OB中有两条直线互相垂直，请直接写出∠AOC所有可能的值．
25．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O．
（1）如图①，若∠AOB＝155°，则∠DOC＝ °，∠DOC与∠AOB的关系是 ；
（2）如图②，固定三角板BOD不动，将三角板AOC绕点O旋转到如图所示位置．
①（1）中你发现的∠DOC与∠AOB的关系是否仍然成立，请说明理由；
②如图②，若∠BOC＝70°，在∠BOC内画射线OP，设∠BOP＝x°（0＜x＜50），探究发现随着x的值的变化，图中以O为顶点的角中互余角的对数也变化．请直接写出以O为顶点的角中互余角的对数有哪几种情况？并写出每一种情况相应的x的取值或取值范围．
26．两个形状、大小完全相同的含有30°、60°的直角三角板如图①放置，PA、PB与直线MN重合，且三角板PAC、三角板PBD均可绕点P逆时针旋转．
（1）直接写出∠DPC的度数．
（2）如图②，在图①基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为5°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为1°/秒，（当PA转到与PM重合时，两三角板都停止转动），在旋转过程中，当PC与PB重合时，求旋转的时间是多少？
（3）在（2）的条件下，PC、PB、PD三条射线中，当其中一条射线平分另两条射线的夹角时，请直接写出旋转的时间．
27．综合与探究：
将直角三角板OAB和直角三角板OCD按图1所示的方式放置，两个顶点重合于点O，且∠AOB＝60°，∠OCD＝45°，∠COD＝∠ABO＝90°，OE平分∠BOC，OF平分∠AOD，将三角板OCD绕点O逆时针旋转一周的过程中（旋转中∠AOD和∠BOC均是指小于180°的角），探究∠EOF的度数．
（1）当三角板OCD绕点O旋转至图2的位置时，OB与OD重合，则∠AOC＝ °，∠EOF＝ °．（2）当三角板OCD绕点O旋转至图3的位置时，此时B，O，D三点在同一直线上，求∠EOF的度数．
（3）三角板OCD绕点O旋转过程中，∠EOF的度数还有其他可能吗？若有，请直接写出∠EOF的度数；若没有，请说明理由．
28．已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
（1）如图1，若∠AOC＝40°，求∠DOE的度数；
（2）在图1中，若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数（用含α的代数式表示）；
（3）将图1中的∠DOC绕顶点O顺时针旋转至图2的位置．
①探究∠AOC和∠DOE的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；
②在∠AOC的内部有一条射线OM，满足：4∠BOE﹣∠AOC＝﹣3∠AOM，试确定∠AOM与∠DOE的度数之间的关系，说明理由．
29．【阅读新知】
如图①，射线OC在∠AOB内，图中共有三个角∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角的度数的2倍，则称射线OC是∠AOB的“巧线”．
【理解运用】
（1）∠AOB的角平分线 这个角的“巧线”；（填“是”或“不是”）
（2）若∠AOB＝90°，射线OC是∠AOB的“巧线”，则∠AOC的度数是 ．
【拓展提升】
如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角板ABP绕量角器中心点P以每秒5°的速度顺时针方向旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角板ABP的运动时间为t秒．
（3）求t何值时，射线PB是∠CPD的“巧线”？
（4）若三角板ABP按照原来方向旋转的同时，三角板PCD也绕点P以每秒2°的速度逆时针方向旋转，此时三角板ABP绕点P旋转的速度比原来每秒快了3°．当三角板ABP停止旋转时，三角板PCD也停止旋转，问：在旋转过程中，是否存在某一时刻t，使三条射线PB、PC、PD中，其中一条恰好是以另两条组成的角的“巧线”？若存在，请直接写出t的值．若不存在，请说明理由．
30．如图，OC是∠AOB内一条射线，OD、OE别是∠AOC和∠BOC的平分线．
（1）如图①，当∠AOB＝80°时，则∠DOE的度数为 °；
（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠BOE、∠EOD、∠DOA三角之间有怎样的数量关系？并说明理由；
（3）当射线OC在∠AOB外如图③所示位置时，（2）中三个角：∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系的结论是否还成立？给出结论并说明理由；
（4）当射线OC在∠AOB外如图④所示位置时，∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系是 ．
31．如图1，点O在直线AB上，过点O引一条射线OC，使∠AOC＝80°，将一个直角三角尺的直角顶点放在点O处，直角边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方；将一直尺的一端点也放在点O处，另一端点E在射线OC上．
按要求操作：将图1中的三角尺绕着点O以每秒15°的速度按逆时针方向旋转； 同时，直尺也绕着点O以每秒5°的速度按逆时针方向旋转，当一方先完成旋转一周时停止，另一方同时也停止转动，设旋转的时间为t秒．
（1）如图2，三角尺旋转过程中当直角边OM在∠BOC的内部，且OM平分∠BOC时，∠BON＝ °；
（2）当t为何值时，OM⊥OE？
（3）试探索：在三角尺与直尺旋转的过程中，是否存在某个时刻，使OM、OC、OE中的某一条线是另两条线所夹角的平分线？若存在，请求出所有满足题意的t的值；若不存在，请说明理由．
32．如图①，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC＝120°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图①中的三角板OMN摆放成如图②所示的位置，使一边OM在∠BOC的内部，当OM平分∠BOC时，∠BON＝ ；（直接写出结果）
（2）在（1）的条件下，作线段NO的延长线OP（如图③所示），试说明射线OP是∠AOC的平分线；
（3）将图①中的三角板OMN摆放成如图④所示的位置，请探究∠NOC与∠AOM之间的数量关系．（直接写出结果，不须说明理由）
33．已知∠AOB＝90°，∠COD＝60°，按如图1所示摆放，将OA、OC边重合在直线MN上，OB、OD边在直线MN的两侧：
（1）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O旋转至如图2所示的位置，则
①∠AOC+∠BOD＝ ；②∠BOC﹣∠AOD＝ ．
（2）若∠COD按每分钟5°的速度绕点O逆时针方向旋转，∠AOB按每分钟2°的速度也绕点O逆时针方向旋转，OC旋转到射线ON上时都停止运动，设旋转t分钟，计算∠MOC﹣∠AOD（用t的代数式表示）．
（3）保持∠AOB不动，将∠COD绕点O逆时针方向旋转n°（n≤360），若射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOD，求∠EOF的大小．
34．已知将一副三角板（直角三角板OAB和直角三角板OCD，∠AOB＝90°，∠ABO＝45°，∠CDO＝90°，∠COD＝60°）
（1）如图1摆放，点O、A、C在一直线上，则∠BOD的度数是多少？
（2）如图2，将直角三角板OCD绕点O逆时针方向转动，若要OB恰好平分∠COD，则∠AOC的度数是多少？
（3）如图3，当三角板OCD摆放在∠AOB内部时，作射线OM平分∠AOC，射线ON平分∠BOD，如果三角板OCD在∠AOB内绕点O任意转动，∠MON的度数是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由．
35．如图1，射线OC在∠AOB的内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的奇妙线．
（1）一个角的角平分线 这个角的奇妙线．（填是或不是）
（2）如图2，若∠MPN＝60°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒10°的速度逆时针旋转，当∠QPN首次等于180°时停止旋转，设旋转的时间为t（s）．
①当t为何值时，射线PM是∠QPN的奇妙线？
②若射线PM同时绕点P以每秒6°的速度逆时针旋转，并与PQ同时停止旋转．请求出当射线PQ是∠MPN的奇妙线时t的值．
36．【阅读理解】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点P在直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS平分∠RPT，则有∠RPT＝2∠RPS，所以我们称射线PR是射线PS，PT的“双倍和谐线”．
【迁移运用】
（1）如图1，射线PT （选填“是”或“不是”）射线PS，PR的“双倍和谐线”；射线PS （选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”；
（2）如图2，点O在直线MN上，OA⊥MN，∠AOB＝40°，射线OC从ON出发，绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．
①当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，求t的值；
②若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB．当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，求∠CON的度数．
37．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠D＝30°）的直角顶点放在点O处，一边OE在射线OA上，另一边OD与OC都在直线AB的上方．
（1）将图1中的三角板绕点O以每秒5°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图2，经过t秒后，OD恰好平分∠BOC．
①此时t的值为 ；（直接填空）
②此时OE是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒8°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠DOE？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠DOB？请画图并说明理由．
38．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．
（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后OM恰好平分∠BOC，则t＝ （直接写结果）
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多少秒后OC平分∠MON？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，那么经过多少秒∠MOC＝36°？请说明理由．
39．已知：∠AOD＝160°，OB，OM，ON是∠AOD内的射线．
（1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOD．当射线OB绕点O在∠AOD内旋转时，∠MON＝ 度．
（2）OC也是∠AOD内的射线，如图2，若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，当∠BOC绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小．
（3）在（2）的条件下，若∠AOB＝10°，当∠BOC在∠AOD内绕O点以每秒2°的速度逆时针旋转t秒，如图3，若∠AOM：∠DON＝2：3，求t的值．
40．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝112°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒4°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为多少？
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
41．定义：从一个角的顶点出发把这个角分成1：2的两个角的射线叫做这个角的一条三等分线．例如，如图①，∠BOC＝2∠AOC，则OC是∠AOB的一条三等分线．显然，一个角的三等分线有两条．
（1）如图②，已知∠AOB＝75°，OC、OD是∠AOB的两条三等分线，则∠COD的度数为 ；
（2）在（1）的条件下，若以点O为旋转中心将射线OD顺时针旋转n°（0＜n＜75）得到射线OD'．
①当OA恰好为∠COD'的三等分线时，求n的值；
②在旋转过程中，若∠COD'+∠AOD′＞35°，求n的取值范围．
42．已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD、OE．
（1）如图①，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数；
（2）如图②，当射线OC在∠AOB内绕O点旋转时，∠DOE的大小是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求∠DOE的度数．
43．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC．问：此时直线ON是否平分∠AOC？请说明理由．
（2）将图1中的三角板绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，求t的值．
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，试探索：在旋转过程中，∠AOM与∠NOC的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请求出差的变化范围．
44．【阅读理解】
射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线；同时，由于∠BOD＝∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．
【知识运用】
（1）如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝ °；
（2）如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出答案）
45．如图1，直线DE上有一点O，过点O在直线DE上方作射线OC，将一直角三角板AOB（其中∠OAB＝30°）的直角顶点放在点O处，一条直角边OA在射线OD上，另一边OB在直线DE上方，将直角三角板绕着点O按每秒10°的速度逆时针旋转一周，设旋转时间为t秒．
（1）当直角三角板旋转到如图2的位置时，OA恰好平分∠COD，此时，∠BOC与∠BOE之间数量关系为 ；
（2）若射线OC的位置保持不变，且∠COE＝130°．
①在旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OA，OC，OD中的某一条射线是另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请求出所有满足题意t的值，若不存在，请说明理由；
②如图3，在旋转的过程中，边AB与射线OE相交，请直接写出∠AOC﹣∠BOE的值．
46．点 O 是直线 AB上一点，∠COD 是直角，OE平分∠BOC．
（1）①如图1，若∠DOE＝25°，求∠AOC 的度数；
②如图2，若∠DOE＝α，直接写出∠AOC的度数（用含α的式子表示）；
（2）将图 1中的∠COD 绕点O按顺时针方向旋转至图 2 所示位置．探究∠DOE 与∠AOC 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．
参考答案
1．解：（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，
又∵∠COB＝60°，
∴∠COE＝30°，
故答案为：30°；
（2）∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝∠AOE＝COA，
∵∠EOD＝90°，
∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，
∴∠COD＝∠DOB，
∴OD所在射线是∠BOC的平分线；
（3）设∠COD＝x°，则∠AOE＝5x°，
∵∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，
∴6x＝30或5x+90﹣x＝120
∴x＝5或7.5，
即∠COD＝5°或7.5°
∴∠BOD＝65°或52.5°．
2．解：（1）如图1，∵∠MOC＝28°，∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°﹣28°＝62°，
又∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC＝62°，
∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣62°×2＝56°，
（2）如图1，∵∠MOC＝m°，∠MON＝90°，
∴∠NOC＝90°﹣m°＝（90﹣m）°，
又∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC＝（90﹣m）°，
∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣（90﹣m）°×2＝2m°，
故答案为：2m°；
（3）由（1）和（2）可得：∠BON＝2∠MOC；
（4）∠MOC和∠BON之间的数量关系不发生变化，
如图2，∵OC平分∠AON，
∴∠AOC＝∠NOC，
∵∠MON＝90°，
∴∠AOC＝∠NOC＝90°﹣∠MOC，
∴∠BON＝180°﹣2∠NOC＝180°﹣2（90°﹣∠MOC）＝2∠MOC，
即：∴∠BON＝2∠MOC．
3．解：（1）如图①，∠COE＝∠DOE﹣∠BOC＝90°﹣70°＝20°，
故答案为：20；
（2）如图②，∵OC平分∠EOB，∠BOC＝70°，
∴∠EOB＝2∠BOC＝140°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠BOD＝∠BOE﹣∠DOE＝50°，
∵∠BOC＝70°，
∴∠COD＝∠BOC﹣∠BOD＝20°；
（3）∠COE﹣∠BOD＝20°，
理由是：如图③，∵∠BOD+∠COD＝∠BOC＝70°，∠COE+∠COD＝∠DOE＝90°，
∴（∠COE+∠COD）﹣（∠BOD+∠COD）
＝∠COE+∠COD﹣∠BOD﹣∠COD
＝∠COE﹣∠BOD
＝90°﹣70°
＝20°，
即∠COE﹣∠BOD＝20°．
4．解：（1）由已知得∠BOM＝180°﹣∠AOM＝150°，
又∠MON是直角，OC平分∠BOM，
所以∠CON＝∠MON﹣∠BOM＝90°﹣×150°＝15°；
（2）由已知得∠BOM＝180°﹣∠AOM＝180°﹣α，
又∠MON是直角，OC平分∠BOM，
所以∠CON＝∠MON﹣∠BOM＝90°﹣×（180°﹣α）＝a；
（3）设∠AOM＝a，则∠BOM＝180°﹣a，
①∠AOM＝2∠CON，
理由如下：
∵OC平分∠BOM，
∴∠MOC＝∠BOM＝（180°﹣α）＝90°﹣，
∵∠MON＝90°
∴∠CON＝∠MON﹣∠MOC＝90°﹣（90°﹣α）＝α，
∴∠CON＝∠AOM，
②由①知∠BON＝∠MON﹣∠BOM＝90°﹣（180°﹣α）＝α﹣90°，
∠AOC＝∠AOM+∠MOC＝α+90°﹣α＝90°+α，
∵∠AOC＝3∠BON，
∴90°+α＝3（α﹣90°），
解得α＝144°，
∴∠AOM＝144°．
5．解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，
∴∠COD＝∠AOD＝∠AOC，∠COE＝∠BOE＝∠BOC，
∴．
故答案为：40；
（2）∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，
∴∠COD＝∠AOD＝∠AOC，∠COE＝∠BOE＝∠BOC，
∴，
∴；
故答案为：（）；
（3）分两种情况：
①如图：
∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，
∴∠COD＝∠AOD＝∠AOC，∠COE＝∠BOE＝∠BOC，
∴，
∴；
②如图：
∵OD、OE分别平分∠AOC、∠BOC，
∴∠COD＝∠AOD＝∠AOC，∠COE＝∠BOE＝∠BOC，
∴，
∴．
综上所述，∠DOE的度数为或．
6．解：（1）∵∠AOB＝45°，∠COD＝60°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOB﹣∠COD＝75°，
故答案为：75；
（2）①当OB平分∠AOD时，
∵∠AOE＝α，∠COD＝60°，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOE﹣∠COD＝120°﹣α，
∴∠AOB＝∠AOD＝60°﹣α＝45°，
∴α＝30°，
当OB平分∠AOC时，
∵∠AOC＝180°﹣α，
∴∠AOB＝90°﹣α＝45°，
∴α＝90°；
当OB平分∠DOC时，
∵∠DOC＝60°，
∴∠BOC＝30°，
∴α＝180°﹣45°﹣30°＝105°，
综上所述，旋转角度α的值为30°，90°，105°；
②当OA在OD的左侧时，则∠AOD＝120°﹣α，∠BOC＝135°﹣α，
∵∠BOC＝2∠AOD，
∴135°﹣α＝2（120°﹣α），
∴α＝105°；
当OA在OD的右侧时，则∠AOD＝α﹣120°，∠BOC＝135°﹣α，
∵∠BOC＝2∠AOD，
∴135°﹣α＝2（α﹣120），
∴α＝125°，
综上所述，当α＝105°或125°时，存在∠BOC＝2∠AOD．
7．解：（1）∵O是直线AB上的一点，∠COD是直角，∠AOC＝30°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝60°．
∵∠COD＝90°，∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝∠COD+∠BOD＝150°．
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝75°，
∴∠DOE＝∠BOE﹣∠BOD＝75°﹣60°＝15°，
故答案为：60，15；
（2）∵∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝90°﹣，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90﹣（90°﹣）＝．
（3）∠AOC和∠DOE的度数之间的关系：∠AOC＝360°﹣2∠DOE，理由：
设∠AOC＝α，
则∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝90°﹣，
∴∠DOE＝∠DOC+∠COE＝90°+90°﹣＝180°﹣α，
∴∠DOE＝180°﹣∠AOC，
∴∠AOC＝360°﹣2∠DOE．
8．解：（1）由三角板知，∠AOB＝60°，∠COD＝45°，
∴∠AOD＝45°+60°＝105°；
（2）∵OB平分∠COD，
∴∠BOD＝，
∴∠AOD＝∠AOB+∠BOD＝60°+22.5°＝82.5°；
（3）设∠BOC＝x，
则∠AOC＝60°﹣x，
∠BOD＝45°﹣x，
∵∠AOC＝3∠BOD，
∴60°﹣x＝3（45°﹣x），
解得x＝37.5°，
此时，∠AOD＝∠COD+∠AOC＝45°+（60°﹣37.5°）＝45°+22.5°＝67.5°．
9．解：（1）∵射线OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠COE，
∵∠COE+∠COD＝90°，∠AOD+∠BOE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠COD＝∠DOA，
故答案为：相等；
（2）∠COE与∠AOD的差保持不变，理由如下：
∵∠BOC＝50°，
∴∠AOC＝∠COE+∠AOE＝180°﹣50°＝130°，
∴∠COE＝130°﹣∠AOE，
∵∠AOD＝∠DOE﹣∠AOE＝90°﹣∠AOE，
∴∠COE﹣∠AOD＝130°﹣∠AOE﹣（90°﹣∠AOE）＝40°，
∴∠COE与∠AOD的差保持不变．
10．解：（1）∠AOD＝∠AOC．
理由如下：
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，
∵OB恰好平分∠COE，
∴∠BOC＝∠BOE，
∴∠AOD＝∠AOC，
故答案为：∠AOD＝∠AOC；
（2）①存在．
理由：∵∠COE＝130°，
∴∠COD＝180°﹣130°＝50°，
当OB平分∠COD时，∠BOD＝∠BOC＝∠COD，即10t+（90﹣25）＝360，解得t＝29.5；
当OC平分∠BOD时，∠BOC＝∠COD，即10t+90＝2×50，解得t＝1；
当OD平分∠BOC时，∠BOD＝∠COD，即360﹣10t＝50+90，解得：t＝22；
综上所述，t的值为29.5、1、22；
②（i）∵∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝130°﹣∠AOE，∠BOE＝90°﹣∠AOE，
∴∠AOC﹣∠BOE＝（130°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝40°，
∴∠AOC﹣∠BOE的值为40°．
（ii）∵∠COE＝130°，
设∠BOE＝α，则∠AOE＝90°﹣α，∠BOD＝180°﹣α，
∴∠AOD＝180°﹣∠AOE＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α，
∠COD＝180°﹣∠COE＝50°，
∵2∠AOE+∠BOD＝∠AOD﹣∠COD，
∴2（90°﹣α）+（180°﹣α）＝90°+α﹣×50°，
解得α＝48°，即∠BOE＝48°．
11．解：（1）由已知得∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，
又∵∠COD是直角，OE平分∠BOC，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠BOC＝90°﹣×150°＝15°；
（2）由（1）知∠DOE＝∠COD﹣∠BOC，
∴∠DOE＝90°﹣（180°﹣∠AOC）＝∠AOC＝α；
（3）设∠AOC＝α，则∠BOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝×（180°﹣α）＝90°﹣α，
如图②﹣1，∠BOD＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α，
∵∠COE＝2∠DOB，
∴90°﹣α＝2（90°﹣α），
解得α＝60°．
如图②﹣2，∠BOD＝90°﹣（180°﹣α）＝α﹣90°，
∵∠COE＝2∠DOB，
∴90°﹣α＝2（α﹣90°），
解得α＝108°．
综上所述，当∠AOC的度数是60°或108°时，∠COE＝2∠DOB．
12．解：（1）∵135°＝90°+45°，120°＝90°+30°，75°＝30°+45°，
∴只有25°不能写成90°、60°、45°、30°的和或差，故画不出；
故选④；
（2）①∵∠COD＝60°，
∴∠EOD＝180°﹣∠COD＝180°﹣60°＝120°，
∵OB平分∠EOD，
∴∠EOB＝∠EOD＝×120°＝60°，
∵∠AOB＝45°，
∴α＝∠EOB﹣∠AOB＝60°﹣45°＝15°；
②当OA在OD的左侧时，如图②，
则∠AOD＝120°﹣α，∠BOC＝135°﹣α，
∵∠BOC＝2∠AOD，
∴135°﹣α＝2（120°﹣α），
∴α＝105°；
当OA在OD的右侧时如图③，则∠AOD＝α﹣120°，∠BOC＝135°﹣α，
∵∠BOC＝2∠AOD，
∴135°﹣α＝2（α﹣120），
∴α＝125°，
综上所述，当α＝105°或125°时，存在∠BOC＝2∠AOD．
13．解：（1）∵AB⊥CD，∠EOF＝90°，
∴∠BOC＝90°，
∴∠COE+∠BOE＝90°，∠BOE+∠BOF＝90°，
∴∠BOF＝∠COE＝30°，
故答案为：30°；
（2）情况1：如图：
∵OA平分∠EOF，
∴∠EOA＝，
∴∠FOC＝90°﹣45°＝45°，
设运动t秒时OA平分∠EOF，
根据题意得，15t＝30+45+90，
解得，t＝11；
情况2：如图：
∵OB平分∠EOF，
∴∠EOB＝，
∴∠EOC＝90°﹣45°＝45°，
设运动t秒时OB平分∠EOF，
根据题意得，15t＝30+270+45，
解得，t＝23，
综上，运动11或23秒时，直线AB平分∠EOF；
（3）①∠AOP＝90°+∠BOF，如图：
②∠AOP＝90°﹣∠BOF，如图：
③∠AOP＝90°﹣∠BOF，如图：
④∠AOP＝90°+∠BOF，如图：
综上，∠AOP＝90°+∠BOF或∠AOP＝90°﹣∠BOF．
14．解：（1）∵∠AOB1在∠MON的外部，
∴射线OA、OB1组成的∠AOB1的平分线在∠MON的外部，
∴OB1不是与射线OA关于∠MON内含对称的射线，
∵∠B2OM＝15°，∠AOM＝10°，
∴∠AOB2＝25°，
∴射线OA、OB2组成的∠AOB2的平分线在∠MON的内部，
∴OB2是与射线OA关于∠MON内含对称的射线，
故答案为：OB2；
（2）由（1）可知，当OC在直线OM的下方时，才有可能存在射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，
∵∠COM＝x°，∠AOM＝10°，∠MON＝20°，
∴∠AOC＝（x+10）°，∠AON＝30°，
∵射线OA与射线OC关于∠MON内含对称，
∴10°≤（x+10）°≤30°，
∴10≤x≤50；
（3）∵∠AOE＝∠EOH＝2∠FOH＝20°，
∴∠HOM＝50°，∠HON＝70°，∠EOM＝30°，∠FOM＝40°，
若射线OE与射线OH关于∠MON内含对称，
∴50﹣t≤≤70﹣t，
∴20≤t≤30；
若射线OF与射线OH关于∠MON内含对称，
∴50﹣t≤≤70﹣t，
∴22.5≤t≤32.5，
综上所述：20≤t≤32.5．
15．解：（1）∵当直角边OB恰好平分∠NOE时，∠NOB＝∠NOE＝（180°﹣30°）＝75°，
∴90°﹣3°t＝75°，
解得：t＝5．
此时∠MOA＝3°×5＝15°＝∠MOE，
∴此时OA平分∠MOE．
（2）①OE平分∠AOB，
依题意有30°+9°t﹣3°t＝90°÷2，
解得t＝2.5；
OF平分∠AOB，
依题意有30°+9°t﹣3°t＝180°+90°÷2，
解得t＝32.5．
故当t为2.5s或32.5s时，EF平分∠AOB
②OB在MN上面，
依题意有180°﹣30°﹣9°t＝（90°﹣3°t）÷2，
解得t＝14；
OB在MN下面，
依题意有9t﹣（360°﹣30°）＝（3°t﹣90°）÷2，
解得t＝38．
故EF能平分∠NOB，t的值为14或38s．
16．解：（1）∠ACE＝∠BCD，理由如下：
∵∠ACE+∠DCE＝90°，∠BCD+∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD；
（2）由余角的定义，得∠ACE＝90°﹣∠DCE＝90°﹣30°＝60°，
由角的和差，得∠ACB＝∠ACE+∠BCE＝60°+90°＝150°；
（3）∠ACB+∠DCE＝180°，理由如下：
由角的和差，得∠ACB＝∠BCE+∠ACE，
∠ACB+∠DCE＝∠BCE+（∠ACE+DCE）＝∠BCE+∠ACE＝180°．
17．解：（1）∠AOD＝∠BOC＝155°﹣90°＝65°，
∠DOC＝∠BOD﹣∠BOC＝90°﹣65°＝25°；
（2）∠AOD＝∠BOC，
∠AOB+∠DOC＝180°；
（3）∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD＝360°，
∵∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB+∠DOC＝180°．
18．解：（1）①∵∠ACD＝∠ECB＝90°，∠DCE＝35°，
∴∠ACE＝90°﹣∠DCE＝55°，
∴∠BCA＝∠ACE+∠BCE＝145°，
∴∠BCA＝145°；
②∵∠ACB＝150°，∠ACD＝∠ECB＝90°，
∴∠ACE＝∠DCB＝150°﹣90°＝60°，
∴∠DCE＝90°﹣60°＝30°．
故答案为：145°，30°；
（2）猜想得：∠ACB+∠DCE＝180°（或∠ACB与∠DCE互补）．
理由：∵∠ECB＝90°，∠ACD＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°+∠DCB，
∠DCE＝∠ECB﹣∠DCB＝90°﹣∠DCB，
∴∠ACB+∠DCE＝180°．
（3）∵∠ACB+∠DCE＝180°，∠DCE：∠ACB＝2：7，
∴∠DCE+∠DCE＝180°，
解得∠DCE＝40°．
19．解：（1）∵∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝150°，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∵∠COD是直角，即∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝15°．
（2）∵∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠COE＝∠BOC＝90°﹣，
∵∠COD是直角，即∠COD＝90°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣90°+＝．
故答案为：．
（3）①∠AOD﹣2∠BOE＝90°．理由如下：
当∠COD旋转至题图2的位置时，
设∠AOC＝β，则∠BOC＝180°﹣β，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠COE＝∠BOC＝90°﹣β，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣90°+＝，
∴∠AOC＝2∠DOE，即2∠DOE﹣∠AOC＝0，
∵∠AOD＝360°﹣（∠AOC+∠COD）＝270°﹣∠AOC，
∵∠BOE＝∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣∠DOE，
∴2∠BOE＝180°﹣2∠DOE，
∴∠AOD﹣2∠BOE＝270°﹣∠AOC﹣180°+2∠DOE＝90°；
②在图1中，∠AOF+4∠DOE＝180°．理由如下：
由已知，过点O的一条射线OF，使得OC恰好平分∠BOF，反向延长OC得到射线 OC'，如图，
则OC'平分∠BOF，
∴∠BOC'＝∠FOC'＝，
又∵∠AOC＝∠BOC′，
∴∠BOF＝2∠AOC，
∴∠AOF＝180°﹣∠BOF＝180°﹣2∠AOC，
由（2）知，若∠AOC＝α，则，
∴∠AOC＝2∠DOE，
∴∠AOF＝180°﹣2∠AOC＝180°﹣4∠DOE，即∠AOF+4∠DOE＝180°；
在图2中，4∠DOE﹣∠AOF＝180°．理由如下：
如图，
∵OC平分∠BOF，
∴，
又∵∠AOF+∠BOF＝180°，
∴∠AOF+2∠BOC＝180°，即2∠BOC＝180°﹣∠AOF，
由①知，∠AOC＝2∠DOE，
∴∠AOF+∠FOC＝2∠DOE，
∴∠AOF+∠BOC＝2∠DOE，
∴2∠AOF+2∠BOC＝4∠DOE，
将2∠BOC＝180°﹣∠AOF代入，得2∠AOF+180°﹣∠AOF＝4∠DOE，
整理得4∠DOE﹣∠AOF＝180°．
20．解：（1）∵∠AOC＝32°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝148°，
∵射线OE是∠BOC的角平分线，
∴∠BOE＝∠COE＝74°，
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣74°＝16°；
（2）∵∠DOE＝58°，
∴∠COE＝90°﹣∠DOE＝32°，
∵∠BOE＝∠COE，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOE﹣∠COE＝116°；
（3）根据（1）（2），猜测∠AOC＝2∠DOE＝2x（度）；
故答案为：2x．
21．解：（1）∵∠AOB＝3∠AOC，∠AOB＝120°，
∴，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠AOB，
∴，
∴∠AOM＝20°，∠AON＝60°，
∴∠MON＝∠AON﹣∠AOM＝60°﹣20°＝40°；
（2）∵∠AOB＝90°，∠AOB＝3∠AOC，
∴∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵∠BOC﹣∠AOC＝∠COD，
∴∠COD＝60°﹣30°＝30°，
∵OM平分∠COD，
∴，
∴∠BOM＝∠BOC﹣∠COM＝45°；
（3）①∵∠AOB＝3∠AOC，∠AOB＝x°，
∴，
∴，
由题意得：∠COP＝t×1°＝t°，∠BOQ＝t×2°＝2t°，
∴，，
∴∠COQ＝2∠AOP；
②由①知∠COP＝t°，，
∵∠POQ＝∠COQ+∠COP，∠BOP＝∠BOC+∠COP，
∴，
∵∠AOB＝150°，，
∴，
把x＝150代入得：，
解得t＝20，
∴若∠AOB＝150°，当时，t＝20．
22．解：（1）①∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣70°＝110°，
∵由题意得，△COD是直角三角形，
∴∠COD＝90°，
∴∠DOB＝∠BOC﹣∠COD＝110°﹣90°＝20°，
②∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOE＝55°，
∵OF平分∠DOB，
∴∠BOF＝∠DOF＝10°，
∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝55°﹣10°＝45°；
（2）①∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α，
∵△COD是直角三角形，
∴∠COD＝90°，
∴∠DOB＝∠BOC﹣∠COD＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α，
②∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOE＝90°﹣，
∵OF平分∠DOB，
∴∠BOF＝∠DOF＝45°﹣，
∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝90°﹣﹣（45°﹣）＝45°，
∠EOF的度数没有发生变化．
23．解：（1）∵∠AOB＝2∠COD＝140°，
∴∠COD＝∠AOB＝70°，
∴∠DOE＝∠EOC+∠COD＝80°，
∵OE平分∠AOD，
∠AOE＝∠EOD＝80°，
∠AOC＝∠AOE+∠COE＝90°；
（2）2∠COE＝∠BOD；理由如下：
设∠AOD＝x°，则∠AOC＝70°﹣x°，∠BOD＝140°﹣x°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE＝∠EOD＝x°，
∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝70°﹣x°+x°＝70°﹣x°，
∴2∠COE＝140°﹣x°＝∠BOD；
（3）不成立，理由如下：
设∠AOD＝x°，则∠AOC＝70°+x°，∠BOD＝360°﹣（140°+x°）＝220°﹣x°，
∵OE平分∠AOD，∴∠AOE＝∠EOD＝x°，
∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝70°+x°﹣x°＝70°+x°，
∴2∠COE+∠BOD＝140°+x°+220°﹣x°＝360°．
24．解：（1）∵∠AOB＝120°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
∴∠MOC＝∠AOC＝40°，∠NOC＝∠BOC＝40°，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝40°+40°＝80°；
（2）小明是说法正确，
∵∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，
∴∠MON＝∠MOC+∠NOC＝（∠AOC+∠BOC）＝∠AOB＝×120°＝80°；
（3）①当OA⊥ON时，
∵∠AOB＝120°，OA⊥ON，
∴∠BON＝∠AOB﹣∠AON＝120°﹣90°＝30°，
∵ON是∠BOC的三等分线，
∴∠BOC＝3∠BON＝90°，
∴∠AOC＝120°﹣90°＝30°；
②当OM⊥OB时，
∵∠AOB＝120°，OM⊥OB，
∴∠AOM＝∠AOB﹣∠BOM＝120°﹣90°＝30°，
∵OM是∠AOC的三等分线，
∴∠AOC＝3∠AOM＝90°．
综上，∠AOC的度数是30°或90°．
25．解：（1）由题意可知，∠AOC＝∠BOD＝90°，
∵∠AOB＝155°，
∴∠COD＝360°﹣∠AOC﹣∠BOD﹣∠AOB＝25°，
∴∠AOB+∠COD＝155°+25°＝180°；
故答案为：25；互补；
（2）①成立；
理由：∠DOC+∠AOB
＝∠AOC﹣∠AOD+∠DOB+∠AOD
＝∠AOC+∠DOB
＝90°+90°
＝180°；
②∵∠BOC＝70°，
∴∠COD＝20°，
∴∠AOD＝70°；此时有两对角互余，∠AOD和∠COD，∠BOC和∠COD；
当共有3种情况：
当x＝35时，∠BOP＝∠COP＝35°，则∠BOP+∠DOP＝∠COP+∠DOP＝90°，
此时互余的角有4对：∠AOD和∠COD，∠BOC和∠COD，∠BOP和∠DOP，∠COP和∠DOP；
当x＝20时，∠BOC＝∠AOD＝∠DOP＝70°，∠COD＝∠COP＝20°，
此时，互余的角有6对：∠AOD和∠COD，∠BOC和∠COD，∠DOP和∠COD，∠AOD和∠BOP，∠BOC和∠BOP，∠DOP和∠BOP；
当0＜x＜50且x≠35和20时，
此时互余的角有3对：∠AOD和∠COD，∠BOC和∠COD，∠BOP和∠DOP．
26．解：
（1）∠DPC＝180°﹣∠APC﹣∠BPD＝180°﹣60°﹣30°＝90°
故答案为：90°
（2）设旋转的时间是t秒时PC与PB重合，根据题意列方程得
5t﹣t＝30+90
解得t＝30
又∵180÷5＝36秒
∴30＜36
故旋转的时间是30秒时PC与PB重合．
（3）设t秒时其中一条射线平分另两条射线的夹角，分三种情况：
①当PD平分∠BPC时，5t﹣t＝90﹣30，解得t＝15
②当PC平分∠BPD时，，解得t＝26.25
③当PB平分∠DPC时，5t﹣t＝90+2×30，解得t＝37.5＞36（舍去）
故15秒或26.25秒时其中一条射线平分另两条射线的夹角．
27．解：（1）∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOD，∠COD＝90°，∠AOD＝60°，
∴，，
∴∠EOF＝∠FOD+∠DOE
＝30°+45°
＝75°，
∠AOC＝∠AOD+∠COD
＝60°+90°
＝150°，
故答案为：150，75．
（2）∵OE平分∠BOC，OF平分∠AOD，∠AOB＝60°，∠COD＝90°，
∴∠AOD＝∠COD+90°﹣∠AOB
＝90°+90°﹣60°
＝120°，
∠BOC＝180°﹣∠COD
180°﹣90°
＝90°，
∴，，
∴∠EOF＝180°﹣（∠FOD+∠BOE）
＝180°﹣（60°+45°）
＝75°；
（3）∠EOF＝105°，
理由如下：如图，设∠AOC＝x，则∠BOC＝∠AOC+∠AOB＝x+60°，
∵OE平分∠BOC，
∴，
∴，
∵∠AOC+∠COD+∠AOD＝360°，
∴∠AOD＝360°﹣x﹣90°＝270°﹣x，
∵OF平分∠AOD，
∴，
∴，
∴∠EOF＝∠AOE+∠AOF
＝
＝105°．
28．解：（1）∵∠AOC＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝140°．
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝70°．
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣70°＝20°；
（2）∠DOE＝α．理由：
∵∠AOC＝α，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣α．
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝90°﹣α．
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣α）＝α；
（3）①∠AOC＝2DOE，理由：
设∠AOC＝α，则∠BOC＝180°﹣α．
∵OE平分∠BOC，
∴∠COE＝∠BOC＝90°﹣α．
∴∠DOE＝∠COD﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣α）＝α．
∴∠AOC＝2∠DOE．
②∠AOM＝2∠DOE﹣120°．理由：
设∠AOC＝α，则∠BOC＝180°﹣α．
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝∠BOC＝90°﹣α．
∴4∠BOE＝2∠BOC＝360°﹣2α．
∵4∠BOE﹣∠AOC＝﹣3∠AOM，
∴360°﹣3α＝﹣3∠AOM．
∴120°﹣α＝﹣∠AOM．
由①知：∠AOC＝2∠DOE，
∴2∠DOE＝α．
∴∠AOM＝2∠DOE﹣120°．
29．解：（1）如图，
∵OC是∠AOB的平分线，
∴∠AOB＝2∠AOC，
∴OC是∠AOB的“巧线”，
故答案为：是；
（2）∵∠AOB＝90°，射线OC是∠AOB的“巧线”，
∴∠AOC＝∠AOB，即∠AOC＝30°，
∠AOC＝∠AOB，即∠AOC＝45°，
∠AOC＝∠AOB，即∠AOC＝60°，
综上，∠AOC的度数是30°或45°或60°，
故答案为：30°或45°或60°；
（3）如图，由题意得，0≤t≤27，
∠CPB＝5t﹣75°，∠CPD＝60°，
∵射线PB是∠CPD的“巧线“，
∴∠CPB＝∠CPD，即5t﹣75＝20，t＝19，
∠CPB＝∠CPD，即5t﹣75＝30，t＝21，
∠CPB＝∠CPD，即5t﹣75＝40，t＝23，
综上，t的值是19或21或23；
（4）由题意得0≤t≤16，
分三种情况：
①PC在∠BPD内部，PC是∠BPD的巧线，
∠BPC＝75﹣10t，∠CPD＝60°，
∠BPC＝∠CPD，
∴75°﹣10t＝60°，
t＝1.5．
∠BPC＝∠CPD时，75°﹣10t＝30°，
t＝4.5．
②PB在∠CPD内部，PB是∠CPD的巧线，
∠BPC＝10t﹣75，∠CPD＝60°，
∴∠BPC＝∠CPD，10t﹣75＝20，t＝9.5，
∠BPC＝∠CPD，10t﹣75＝30，t＝10.5，
∠BPC＝∠CPD，10t﹣75＝40，t＝11.5；
③PD在∠CPB内部，PD是∠BPC的巧线，
∠BPC＝10t﹣75，∠CPD＝60°，
∴∠CPD＝∠BPC，60＝（10t﹣75），t＝25.5（舍去），
∠CPD＝∠BPC，60＝（10t﹣75），t＝19.5（舍去），
∠CPD＝∠BPC，60＝（10t﹣75），t＝16.5；
综上，t的值是1.5或4.5或9.5或10.5或11.5或16.5．
30．解：当射线OC在∠AOB的内部时，
∵OD，OE分别为∠AOC，∠BOC的角平分线，
∴∠DOC＝∠AOC，∠EOC＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝（∠AOC+∠BOC）＝∠AOB，
（1）若∠AOB＝80°，则∠DOE的度数为40°．
故答案为：40；
（2）∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝∠AOC+∠BOC＝∠BOE+∠DOA．
（3）当射线OC在∠AOB的外部时 （1）中的结论不成立．理由是：
∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线
∴∠COD＝∠AOC，
∠EOC＝∠BOC，
∠DOE＝∠COD﹣∠EOC＝∠AOC﹣∠BOC＝∠AOD﹣∠BOE．
（4）∵OD，OE分别为∠AOC，∠BOC的角平分线，
∴∠DOC＝∠AOD，∠EOC＝∠BOE，
∴∠DOE＝∠DOC+∠EOC＝∠BOE+∠DOA．
故∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系是∠DOE＝∠BOE+∠DOA．
故答案为：∠DOE＝∠BOE+∠DOA．
31．解：（1）∵∠AOC＝80°
∴∠BOC＝180°﹣80°＝100°
∴当OM平分∠BOC时，∠BOM＝50°
∴∠BON＝90°﹣50°＝40°
故答案为：40；
（2）因为OM⊥OE，所以∠EOM＝90°，
①当OM追上OE之前时，
∵∠EOB＝∠EOC+∠COB＝5t+100，
∠EOB＝∠EOM+∠MOB＝15t+90，
∴5t+100＝15t+90，
解这个方程得：t＝1；
②当OM超过OE之后时，
∵直角三角尺旋转的度数＝（∠BOC+∠COE+∠EOM）的度数，
∴15t＝100+5t+90，
∴t＝19
综上，当t＝1或t＝19时，OM⊥OE．
（3）∵360÷15＝24（秒），
∴0≤t≤24
①当OC平分∠MOE时，
∠MOC＝∠EOC，∠COB﹣∠MOB＝∠EOC
∴100﹣15t＝5t
∴t＝5；
②当OM平分∠COE时，
则有：，
∴
∴t＝8；
③当OE平分∠COM时，
∴大于180°的∠MOC＝2∠EOC
∴15t﹣100＝2×5t
∴t＝20；
综上：t＝5秒或8秒或20秒．
32．解：（1）如图②，∠AOC＝120°，
∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°，
又∵OM平分∠BOC，
∴∠BOM＝30°，
又∵∠NOM＝90°，
∴∠BON＝90°﹣30°＝60°，
故答案为：60°；
（2）如图③，∵∠AOP＝∠BON＝60°，∠AOC＝120°，
∴∠AOP＝∠AOC，
∴射线OP是∠AOC的平分线；
（3）如图④，∵∠AOC＝120°，
∴∠AON＝120°﹣∠NOC，
∵∠MON＝90°，
∴∠AON＝90°﹣∠AOM，
∴120°﹣∠NOC＝90°﹣∠AOM，
即∠NOC﹣∠AOM＝30°．
33．解：（1）①∠AOC+∠BOD
＝∠AOC+∠AOD+∠AOB
＝∠COD+∠AOB
＝60°+90°
＝150°；
②∠BOC﹣∠AOD
＝（∠AOB﹣∠AOC）﹣（∠COD﹣∠AOC）
＝∠AOB﹣∠AOC﹣∠COD+∠AOC
＝∠AOB﹣∠COD
＝90°﹣60°
＝30°；
故答案为：150°、30°；
（2）设运动时间为t秒，0＜t≤36，∠MOC＝（5t）°，
①0＜t≤20时，OD与OA相遇前，∠AOD＝（60+2t﹣5t）°＝（60﹣3t）°，
∴∠MOC﹣∠AOD＝（8t﹣60）°；
②20＜t≤36时，OD与OA相遇后，∠AOD＝[5t﹣（60+2t）]°＝（3t﹣60）°，
∴∠MOC﹣∠AOD＝（2t+60）°；
（3）设OC绕点O逆时针旋转n°，则OD也绕点O逆时针旋转n°，
①0＜n°≤150°时，如图4，
射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN同侧，
∵∠BOF＝[90°﹣（n﹣60°）]＝（150﹣n）°，∠BOE＝（90﹣n）°＝（180﹣n）°，
∴∠EOF＝∠BOE﹣∠BOF＝15°；
②150°＜n°≤180°时，如图5，
射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN同侧，
∵°，∠BOE＝（90﹣n）°＝（180﹣n）°，
∴∠EOF＝∠BOE+∠BOF＝15°；
③180°＜n°≤330°时，如图6，
射线OE、OF在射线OB异侧，在直线MN异侧，
∵°，°，
∴∠EOF＝∠DOF+∠COD+∠COE＝165°；
④330°＜n°≤360°时，如图7，
射线OE、OF在射线OB同侧，在直线MN异侧，
∵∠DOF＝[360﹣（n﹣150）]°＝（510﹣n）°，°，
∴∠EOF＝∠DOF﹣∠COD﹣∠COE＝15°；
综上，∠EOF＝15°或165°．
34．解：（1）∠BOD＝90°﹣60°＝30°；
（2）∠BOC＝∠COD＝×60°＝30°，
∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣30°＝60°；
（3）∠BOD+∠AOC＝90°﹣∠COD＝90°﹣60°＝30°，
（∠BOD+∠AOC）＝×30°＝15°，
∠MON＝（∠BOD+∠AOC）+∠COD＝15°+60°＝75°
即∠MON的度数不会发生变化，总是75°．
35．解：（1）一个角的平分线是这个角的“奇妙线”；
（2）①依题意有
（a）10t＝60+×60，
解得t＝9；
（b）10t＝2×60，
解得t＝12；
（c）10t＝60+2×60，
解得t＝18．
故当t为9或12或18时，射线PM是∠QPN的“奇妙线”；
②依题意有
（a）10t＝（6t+60），
解得t＝；
（b）10t＝（6t+60），
解得t＝；
（c）10t＝（6t+60），
解得t＝．
故当射线PQ是∠MPN的奇妙线时t的值为或或．
故答案为：是．
36．解：（1）∵PS平分∠RPT，
∴∠RPS＝∠TPS，
∴射线PS不是射线PR，PT的“双倍和谐线”；
∵PS平分∠RPT，
∴∠TPR＝2∠TPS．
∴射线PT是射线PS，PR的“双倍和谐线”．
故答案为：是；不是；
（2）①由题意得：∠AOC＝90°﹣4°t，∠AOB＝40°，
∵射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”，
∴∠AOC＝2∠AOB或∠AOB＝2∠AOC．
当∠AOC＝2∠AOB时，如图，
则：90﹣4t＝2×40．
解得：t＝；
当∠AOB＝2∠AOC时，如图，
则：40＝2（90﹣4t）．
解得：t＝．
综上，当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，t的值为或．
②由题意得：∠CON＝4°t，∠AON＝90°+2°t，∠AOD＝20°，∠DON＝∠AON﹣∠AOD＝70°+2°t．
∵当射线OC与射线OA重合时，运动停止，
∴此时∠AON＝∠CON，
∴90+2t＝4t，
∴t＝45．
∴当t＝45秒时，运动停止，此时∠AON＝180°．
∵射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”，
∴∠COM＝2∠COD或∠COD＝2∠COM．
当∠COM＝2∠COD时，如图，
即：180°﹣∠CON＝2（∠CON﹣∠DON），
则：180﹣4t＝2（4t﹣70﹣2t）．
解得：t＝40．
∴∠CON＝4°×40＝160°；
当∠COD＝2∠COM时，如图，
即：∠CON﹣∠DON＝2（180°﹣∠CON），
则：4t﹣（70+2t）＝2（180﹣4t）．
解得：t＝43．
∴∠CON＝4°×43＝172°．
综上，当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，∠CON的度数为160°或172°．
37．解：（1）①∵∠AOC＝30°，∠AOB＝180°，
∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝150°，
∵OD平分∠BOC，
∴∠BOD＝BOC＝75°，
∴t＝＝3．
②是，理由如下：
∵转动3秒，∴∠AOE＝15°，
∴∠COE＝∠AOC﹣∠AOE＝15°，
∴∠COE＝∠AOE，
即OE平分∠AOC．
（2）三角板旋转一周所需的时间为＝＝72（秒），
射线OC绕O点旋转一周所需的时间为＝45（秒），
设经过x秒时，OC平分∠DOE，
由题意：①8x﹣5x＝45﹣30，
解得：x＝5，
②8x﹣5x＝360﹣30+45，
解得：x＝125＞45，不合题意，
③∵射线OC绕O点旋转一周所需的时间为＝45（秒），45秒后停止运动，
∴当OD旋转到OC的位置后再旋转45°时，OC平分∠DOE，
此时OD旋转了360°﹣（60°﹣45°）＝345°，
∴t＝＝69（秒），
综上所述，t＝5秒或69秒时，OC平分∠DOE．
（3）如图3中，由题意可知，OD旋转到与OB重合时，需要90÷5＝18（秒），
OC旋转到与OB重合时，需要（180﹣30）÷8＝18（秒），
所以OD比OC早与OB重合，
设经过x秒时，OC平分∠DOB，
由题意：8x﹣（180﹣30）＝（5x﹣90），
解得：x＝，
所以经秒时，OC平分∠DOB．
38．解：（1）∵∠AON+∠BOM＝90°，∠COM＝∠MOB，
∵∠AOC＝30°，
∴∠BOC＝2∠COM＝150°，
∴∠COM＝75°，
∴∠CON＝15°，
∴∠AON＝∠AOC﹣∠CON＝30°﹣15°＝15°，
解得：t＝15°÷3°＝5秒；
（2）接（1）当∠COM＝75°时，再过t秒时，∠COM＝∠MON，
则6t﹣3t＝75°﹣45°＝30°，则t＝10；
即总共的时间为：15秒，
第二种情况：OC旋转一周到初始位置，此时，OC平分∠MON，如下图，
此时，∠COM＝45°，而∠AOC＝30°，则∠AOM＝75°，
即OM旋转的角度为：90°+180°+75°＝345°，
即3t＝345°，则t＝15秒，
综上，t＝15秒或115秒；
（3）在（2）的基础上，∠COM＝36°，分两种情况：
①由（2）知，15秒时，∠COM＝45°，要使∠COM＝36°，
当OC没有超过OM时，则6t﹣3t＝45°﹣36°，
解得：t＝3；
当OC刚超过OM时还回到初始位置时，6t﹣3t＝45°+36°，
解得：t＝27，
故经过15+3＝18秒或15+27＝42秒时，符合题意；
②由（2）知，当OC旋转一周回到初始位置时，∠COM＝36°，
情况一：当∠AOC＝30°时，则∠AOM＝6°，
即t秒OM旋转的角度为90°+180°﹣6°＝264°＝3t，
解得：t＝88；
情况二：∠AOM＝30°+36°＝66°，
即t秒时OM旋转的角度为90°+180°+66°＝336°＝3t，
解得：t＝112，
综上，t＝18秒或42秒或88秒或112秒．
39．解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD，
∴∠BOM＝∠AOB，∠BON＝∠BOD，
∴∠MON＝∠BOM+∠BON
＝（∠AOB+∠BOD）
＝∠AOD
＝80°，
故答案为：80；
（2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD，
∴∠MOC＝∠AOC，∠BON＝∠BOD，
即∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC
＝∠AOC+∠BOD﹣∠BOC
＝（∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC
＝（∠AOB+∠BOC+∠BOD）﹣∠BOC
＝（∠AOD+∠BOC）﹣∠BOC
＝×180°﹣20°
＝70°；
（3）∵∠AOM＝ （10°+2t+20°），∠DON＝ （160°﹣10°﹣2t），
又∵∠AOM：∠DON＝2：3，
∴3×（30°+2t）＝2×（150°﹣2t），
得t＝21．
答：t为21秒．
40．解：（1）平分，理由：延长NO到D，
∵∠MON＝90°∴∠MOD＝90°
∴∠MOB+∠NOB＝90°，
∠MOC+∠COD＝90°，
∵∠MOB＝∠MOC，
∴∠NOB＝∠COD，
∵∠NOB＝∠AOD，
∴∠COD＝∠AOD，
∴直线NO平分∠AOC；
（2）分两种情况：
①如图2，∵∠BOC＝112°
∴∠AOC＝68°，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD＝∠COD＝34°，
∴∠BON＝34°，∠BOM＝56°，
即逆时针旋转的角度为56°，
由题意得，4t＝56°
解得t＝14（s）；
②如图3，当NO平分∠AOC时，∠NOA＝34°，
∴∠AOM＝56°，
即逆时针旋转的角度为：180°+56°＝236°，
由题意得，4t＝236°，
解得t＝59（s），
综上所述，t＝14s或59s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；
（3）∠AOM﹣∠NOC＝22°，
理由：∵∠AOM＝90°﹣∠AON，∠NOC＝68°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC
＝（90°﹣∠AON）﹣（68°﹣∠AON）
＝22°．
41．解：（1）∵∠AOB＝75°，OC、OD是∠AOB的两条三等分线，
∴∠COD＝∠AOB＝25°，
故答案为：25°；
（2）①当∠AOC＝2∠AOD′时，
∴∠AOD′＝∠AOC＝×25°＝12.5°，
∴∠DOD′＝∠DOA+∠AOD′＝50°+12.5°＝62.5°．
当∠AOD′＝2∠AOC时，
∴∠COD′＝∠AOB＝75°，
∴∠DOD′＞75°，不符合题意，
∴n的值是62.5；
②当OD′在∠COD内部时，
∵∠COD′＝∠COD﹣∠DOD′，
∴∠COD′＝25°﹣n°，
∵∠AOD′＝∠AOD﹣∠DOD′，
∵∠AOD′＝50°﹣n°，
∴∠COD′+∠AOD′＝75°﹣2n°，
当∠COD′+∠AOD′＞35°时，
∴75°﹣2n°＞35°，
∴n＜20，
∴0＜n＜20，
当OD′在射线OA下方时，
∵∠COD′＝∠DOD′﹣∠COD，
∴∠COD′＝n°﹣25°，
∵∠AOD′＝∠DOD′﹣∠AOD，
∴∠AOD′＝n°﹣50°，
∴∠COD′+∠AOD′＝2n°﹣75°，
当∠COD′+∠AOD′＞35°时，
∴2n°﹣75°＞35°，
∴n＞55，
∴55＜n＜75，
∴n的取值范围是∴0＜n＜20或55＜n＜75．
42．解：（1）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠COE＝∠COB＝35°，∠COD＝∠AOC＝10°，
∴∠DOE＝∠COE+∠COD＝45°；
（2）∠DOE的大小不变等于45°，
理由：∠DOE＝∠DOC+∠COE＝∠COB+∠AOC
＝（∠COB+∠AOC）
＝∠AOB
＝45°．
43．解：（1）直线ON平分∠AOC．
理由：如图所示，设ON的反向延长线为OD．
∵OM平分∠BOC，
∴∠MOC＝∠MOB．
又∵OM⊥ON，
∴∠MOD＝∠MON＝90°．
∴∠COD＝∠BON．
又∵∠AOD＝∠BON（对顶角相等），
∴∠COD＝∠AOD．
∴OD平分∠AOC，即直线ON平分∠AOC．
（2）∵∠BOC＝120°，
∴∠AOC＝60°．
∴∠BON＝∠COD＝30°．
即旋转60°或240°时直线ON平分∠AOC．
由题意得，6t＝60或240．
解得：t＝10或40；
（3）∠AOM﹣∠NOC的差不变．
∵∠MON＝90°，∠AOC＝60°，
∴∠AOM＝90°﹣∠AON、∠NOC＝60°﹣∠AON．
∴∠AOM﹣∠NOC＝（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）＝30°．
44．解：（1）∵射线OM是射线OA的友好线，
∴∠AOM＝∠AOB＝40°，
故答案为：40；
（2）射线OD与射线OA重合时，t＝60（秒），
①存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，有两种情况：
在OC、OD相遇前，180°﹣3t°﹣2t°＝40°，
∴t＝28；
在OC、OD相遇后，3t°+2t°﹣180°＝40°，
∴t＝44，
综上所述，当t为28秒或44秒时，∠COD的度数是40°；
②相遇之前，
（Ⅰ）如图：
OC是OA的友好线时，
∠AOC＝∠AOD，即2t°＝（180°﹣3t°）或∠AOC＝∠AOB，即2t°＝×180°，
∴t＝20或t＝30；
（Ⅱ）如图：
OC是OD的友好线时，
∠DOC＝∠AOD，即180°﹣3t°﹣2t°＝（180°﹣3t°），
∴t＝30；
OD是OC的友好线，
∠DOC＝∠BOC，即180°﹣3t°﹣2t°＝（180°﹣2t），
∴t＝；
相遇之后：
（Ⅲ）
OD是OC的友好线，
∠COD＝∠AOC，即3t°+2t°﹣180°＝×2t°，
∴t＝，
OC是OD的友好线，
∠COD＝∠BOD，即3t°+2t°﹣180°＝×3t°，
∴t＝45；
（Ⅳ）
OD是OA的友好线，
∠AOD＝∠AOC，即180°﹣3t°＝×2t°或∠AOD＝∠AOB，即180°﹣3t°＝×180°，
∴t＝或t＝40，
综上所述，当t为20秒或30秒或秒或秒或45秒或秒或40秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．
45．解：（1）∠BOC＝∠BOE．
理由如下：
∵∠AOB＝90°，
∴∠BOC+∠AOC＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，
∵OA平分∠COD，
∴∠AOD＝∠AOC，
∴∠BOC＝∠BOE，
故答案为：∠BOC＝∠BOE；
（2）①存在．
理由：∵∠COE＝130°，
∴∠COD＝180°﹣130°＝50°，
当OA平分∠COD时，∠AOD＝∠AOC＝∠COD，即10t＝25，解得t＝2.5；
当OC平分∠AOD时，∠AOC＝∠COD，即10t﹣50＝50，解得t＝10；
当OD平分∠AOC时，∠AOD＝∠COD，即360﹣10t＝50，解得：t＝31；
综上所述，t的值为2.5、10、31；
②∵∠AOC＝∠COE﹣∠AOE＝130°﹣∠AOE，∠BOE＝90°﹣∠AOE，
∴∠AOC﹣∠BOE＝（130°﹣∠AOE）﹣（90°﹣∠AOE）＝40°，
∴∠AOC﹣∠BOE的值为40°．
46．解：（1）①∵∠COD＝90°，∠DOE＝25°，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣25°＝65°，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE＝130°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣130°＝50°；
②∵∠COD＝90°，∠DOE＝α，
∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝90°﹣α，
又∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC＝2∠COE＝180°﹣2α，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣（180°﹣2α）＝2α；
（2）∠DOE＝∠AOC，理由如下：
如图2，∵∠BOC＝180°﹣∠AOC，
又∵OE平分∠BOC
∴∠COE＝∠BOC＝（180°﹣∠AOC）＝90°﹣∠AOC，
又∵∠COD＝90°，
∴∠DOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣（90°﹣∠AOC）＝∠AOC．