【典例专练篇】期末典例专项练习十四：表面积的增减变化问题-2022-2023学年六年级数学上册典型例题系列（原卷版+解析版）苏教版

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（解析版）
一、填空题。
1．用6个棱长1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积可能是( )平方厘米或( )平方厘米，体积都是( )立方厘米。
【答案】 26 22 6
【分析】如下图所示，用6个棱长1厘米的正方体拼成一个长方体，有两种拼法，根据“长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”代入数据分别计算出它们的表面积；
两种长方体都是用用6个棱长1厘米的正方体拼成，体积都是6立方厘米。
【详解】（1）（6×1＋6×1＋1×1）×2
＝13×2
＝26（平方厘米）
（3×1＋3×2＋1×2）×2
＝11×2
＝22（平方厘米）
则这个长方体的表面积可能是26平方厘米或22平方厘米。
（2）1×1×1×6＝6（立方厘米），体积都是6立方厘米。
【点睛】本题考查立体图形的切拼。掌握长方体的表面积和正方体的体积公式是解题的关键。
2．一个正方体，如果高减少2厘米，这时表面积比原来减少40平方厘米。现在长方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
【答案】 110 75
【分析】正方体的高减少2厘米，表面积比原来减少40平方厘米，表面积减少的只是4个侧面的面积，减少的4个侧面是完全相同的长方形，用减少的面积除以4求出减少一个面的面积，用面积除以宽（2厘米），求出正方体的棱长，即长方体的长和宽，根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，求出正方体表面积，再减去40，即可求出长方体表面积；再用正方体棱长－2厘米，求出长方形的高，再根据长方形体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。
【详解】棱长：40÷4÷2
＝10÷2
＝5（厘米）
现在长方体的表面积：
5×5×6－40
＝25×6－40
＝150－40
＝110（平方厘米）
现在长方体的体积：
5×5×（5－2）
＝25×3
＝75（立方厘米）
如图所示，一个正方体，如果高减少2厘米，这时表面积比原来减少40平方厘米。现在长方体的表面积是110平方厘米；体积是75立方厘米。
【点睛】本题考查立体图形的切拼，以及长方体表面积公式、长方体体积公式的应用，关键是求出正方体的棱长。
3．如图所示，一个正方体，如果高减少2厘米，这时表面积比原来减少64平方厘米。现在长方体的表面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
【答案】 320 384
【分析】正方体的高减少2厘米，表面积比原来减少64平方厘米，表面积减少的只是4个侧面的面积，减少的4个侧面是完全相同的长方形，用减少的面积除以4求出减少一个面的面积，用面积除以宽（2厘米），求出正方体的棱长，即长方体的长和宽，根据正方体表面积公式：表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，求出正方体表面积，再减去64，即可求出长方体表面积；再用正方体棱长－2厘米，求出长方形的高，再根据长方形体积公式：体积＝长×宽×高，代入数据，即可解答。
【详解】64÷4÷2
＝16÷2
＝8（厘米）
8×8×6－64
＝64×6－64
＝384－64
＝320（平方厘米）
8×8×（8－2）
＝64×6
＝384（立方厘米）
如图所示，一个正方体，如果高减少2厘米，这时表面积比原来减少64平方厘米。现在长方体的表面积是320平方厘米；体积是384立方厘米。
【点睛】本题考查立体图形的切拼，以及长方体表面积公式、长方体体积公式的应用，关键是求出正方体的棱长。
4．一个棱长是4分米的正方体，它的体积是( )立方分米；如果将正方体的高增加3分米，表面积比原来增加( )平方分米。
【答案】 64 48
【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体体积；将正方体的高增加3分米，表面积增加了4个长方形，长方形的长＝正方体棱长，长方形的宽＝增加的高，据此求出一个长方形的面积，乘4就是增加的表面积。
【详解】4×4×4＝64（立方分米）
4×3×4＝48（平方分米）
它的体积是64立方分米；表面积比原来增加48平方分米。
【点睛】关键是掌握并灵活运用正方体体积公式，具有一定的空间想象能力。
5．用4个棱长为1厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积最小是( )平方厘米。
【答案】16
【分析】根据题意，拼法有：、、、，前两种拼法都是减少了6个面的面积，后两种拼法都是减少了8个面的面积，所以要使长方体的表面积最小，采用后两种拼法；通过观察，要求后两种拼法中长方体的表面积实际上是求（6×4－8）个正方形的面积。利用正方形的面积公式解答即可。
【详解】根据分析得，6×4－8＝24－8＝16（个）
1×1×16＝16（平方厘米）
【点睛】此题的解题关键是通过组合图形的拼搭，弄清组合后表面积的变化情况，再利用面积公式解决问题。
6．用3个棱长是5cm的正方体拼成一个长方体，拼成长方体的表面积是( )，体积是( )。
【答案】 350 375
【分析】正方体的每个面都是完全相同的正方形，把3个棱长是5cm的正方体木块拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来3个正方体的表面积之和减少了4个边长为5cm的正方形的面积，根据正方体的表面积公式，求出原来3个正方体的表面积之和，再减去4个面的面积，据此求解即可；
长方体的体积等于原来3个正方体的体积之和，根据正方体的体积公式，求出原来3个正方体的体积之和，即可得解。
【详解】5×5×6×3－5×5×4
＝450－100
＝350（cm2）
5×5×5×3＝375（cm3）
【点睛】此题主要考查长方体、正方体的切拼以及表面积和体积的计算方法。
7．一个长方体的高增加2分米后变成一个棱长是10分米的正方体，原来长方体的表面积是( )平方分米，体积是( )立方分米。
【答案】 520 800
【分析】根据题意可知，一个长方体如果高增加2分米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且都是10分米，高就是10－2＝8（分米），根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【详解】10－2＝8（分米）
（10×10＋10×8＋10×8）×2
＝（100＋80＋80）×2
＝260×2
＝520（平方分米）
10×10×8
＝100×8
＝800（立方分米）
【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
8．把一个棱长为2cm的正方体和一个长为4cm，宽为2cm、高为2cm的长方体拼成一个大长方体，这个大长方体的所有棱长之和是( )cm。
【答案】40
【分析】根据题意，把一个棱长为2cm的正方体和一个长为4cm，宽为2cm、高为2cm的长方体拼成一个大长方体，则大长方体的长是4＋2＝6（cm），宽是2cm，高是2cm，据此解答即可。
【详解】大长方体的长是4＋2＝6（cm），宽是2cm，高是2cm
（6＋2＋2）×4
＝10×4
＝40（cm）
【点睛】明确长方体和正方体拼组成一个新长方体，找出新长方体的长宽高是解答此题的关键；用到的知识点：长方体棱长和的计算方法。
二、解答题
9．一个长方体的高减少3分米后，得到一个正方体，表面积比原来减少24平方分米。原来长方体的体积是多少立方分米？
【答案】20立方分米
【分析】因为高去掉3分米后得到一个正方体，所以这个长方体的底面一定是正方形。表面积减少的部分是去掉3分米部分的四个侧面的面积，用表面积减少的部分除以4求出一个侧面的面积，用一个侧面的面积除以3即可求出底面边长，然后求出原来长方体的高，再用底面积乘高求出原来长方体的体积即可。
【详解】24÷4÷3
＝6÷3
＝2（分米）
2＋3＝5（分米）
2×2×5
＝4×5
＝20（立方分米）
答：原来长方体的体积是20立方分米。
【点睛】根据截去后剩下是正方体，可知减少的部分是宽为3分米的4个面，从而可以分别求出长方体的长、宽、高，进而利用长方体体积的计算方法即可求解。
10．把一个长12厘米，宽和高都是4厘米的长方体，分割成棱长4厘米的正方体，表面积比原来增加了多少？
【答案】64平方厘米
【分析】根据题意可知，把这个长方体分割成棱长是4厘米的正方体，因为长是宽和高的3倍，所以可以分割成3个正方体，需要切2次，每切一次就增加两个切面的面积，所以表面积增加了4个切面的面积，根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式解答。
【详解】4×4×4
＝16×4
＝64（平方厘米）
答：表面积比原来增加了64平方厘米。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握正方体、长方体表面积的意义及应用，正方形的面积公式及应用，关键是熟记公式。
11．如果一个长方体的高减少4分米后，表面积就减少了1600平方厘米，这时正好变成了一个正方体，原长方体的体积是多少？
【答案】5000立方厘米
【分析】4分米＝40厘米，根据高减少40厘米，就剩下一个正方体可知，这个正方体比原长方体表面积减少的4个面是相同的，根据已知表面积减少1600平方厘米，1600÷4÷40＝10厘米，求出减少面的宽，也就是剩下的正方体的棱长，然后10＋40＝140厘米求出原长方体的高，再计算原长方体的体积即可。
【详解】减少的面的宽（剩下正方体的棱长）
1600÷4÷40
＝400÷40
＝10（厘米）
原来长方体的高：
10＋40＝50（分米）
原来的体积：
10×10×50
＝100×50
＝5000（立方厘米）
答：原长方体的体积是5000立方厘米。
【点睛】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，解答此题关键是求出原来长方体的高。
12．一个长方体木块，从它的上部和下部分别截去高4厘米和5厘米的长方体后，成为一个正方体，这样表面积比原来减少了216平方厘米。原来长方体的体积是多少立方厘米？（提示：可以先画出示意图帮助理解）
【答案】540立方厘米
【分析】如图，由题意可知，这是一个上、下面为正方形的长方体，从上部和下部分别截去高为4厘米和5厘米的长方体后，把截去的部分拼在一起，新增加的部分是一个展开后长为上、下底边长4倍，宽为（4＋5）厘米的长方形；根据长方形的面积计算公式“S＝ab”，即可求出这个长方形的长，长方形的长除以4就是中间剩下的正方体的棱长，即原长方体的长、宽，高是长加上（4＋5）厘米；根据长方体的体积计算公式“V＝abh”即可求出原长方体的体积
【详解】如图：
根据分析得：
216÷（4＋5）÷4
＝216÷9÷4
＝6（厘米）
6×6×（6＋4＋5）
＝36×15
＝540（立方厘米）
答：原来长方体的体积是540立方厘米。
【点睛】解答此题的关键，也是难点是求出中间所剩正方体的棱长，也就是原长方体的长、宽。
13．如图，从一个表面积为98平方厘米的长方体中锯下一个正方体，剩下长方体的表面积是78平方厘米，锯下正方体的表面积是多少平方厘米？
【答案】30平方厘米
【分析】根据图形可知，长方体锯下一个正方体，长方体的表面积减少的值相当于正方体的一个侧面积的4倍，用减少的值除以4，求出一个面的面积，再乘6，就是这个正方体的表面积，据此解答。
【详解】（98－78）÷4×6
＝20÷4×6
＝5×6
＝30（平方厘米）
答：锯下正方体的表面积是30平方米。
【点睛】本题考查长方体的切拼，关键明确减少的部分为正方体的4个面的面积和。
14．把一根长1.4米的长方体钢材（横截面是正方形）全部锯成长0.35米的小段，表面积比原来增加了6平方分米，如果每平方分米钢材重7.8千克，原来这根钢材重多少千克？
【答案】109.2千克
【分析】根据题意，先求出锯成几段，用长方体钢材长度除以0.35米，进而求出有几个横截面，再用已知增加表面积除以横截面的个数，求出一个横截面的面积，再用一个横截面的面积×长方体钢材的长度，求出这个长方体钢材的体积，最后再乘7.8千克，就是这个钢材的重量，据此解答。
【详解】1.4米＝14分米
1.4÷0.35＝4（段）
增加的面数（4－1）×2
＝3×2
＝6（个）
一个面的面积：6÷6＝1（平方分米）
1×14×7.8
＝14×7.8
＝109.2（千克）
答：这个钢材重109.2千克。
【点睛】本题考查长方体体积公式的应用，关键是明确求出截几段，进而增加几个面的面积。
15．一根长1米的长方体木料锯成2段后，表面积增加了60平方厘米。这根木料的体积是多少立方厘米？
【答案】3000cm3
【分析】截成2段后，表面积比原来增加了2个横截面的面积，因为表面积是增加了60平方厘米，由此即可求出横截面的面积是60÷2＝30平方厘米，由此再乘以长就是这根木料的体积。
【详解】1米＝100厘米
60÷2×100
＝30×100
＝3000（立方厘米）
答：这根木料的体积是3000立方厘米。
【点睛】抓住长方体的切割特点和增加的表面积求出长方体的横截面的面积是解决此题的关键。