哈师大附中 2021 级高三第三次调研考试数学试题及参考答案

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（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（共8个小题，每题只有一个选项，每题5分，满分40分）
1. 已知复数，则虚部为（ ）
A. B. C. 6D. 2
2. 下列函数中，在定义域上既是奇函数又是减函数的为（ ）
A. B.
C. D.
3. 设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. ，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
4. 在数列中，若，，，则（ ）
A. B. C. 2D. 1
5. 已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知两个非零向量与，定义，其中为与的夹角，若，，则的值为（ ）
A. 5B. 7C. 2D.
7. 已知正项等比数列中，，则（ ）
A. 1012B. 2024C. D.
8. 如图正方体的棱长为1，A，B分别为所在棱的中点，则四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（共4个小题，每题不只有一个选项，每题5分，满分20分）
9. 已知向量，，则下列说法正确是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. “”是“与的夹角为钝角”的充要条件
D. 若，则
10. 已知是等差数列的前n项和，且，，则下列选项正确的是（ ）
A. 数列为递减数列B.
C. 的最大值为D.
11. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幕，减中斜幂，余半之，自乘于上：以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用公式（其中a、b、c、S为三角形的三边和面积）表示．在中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若，且，则下列命题正确的是（ ）
A. 面积的最大值是B.
C. D. 面积的最大值是
12. 在棱长为2的正方体中，M为边的中点，下列结论正确的有（ ）
A. 与所成角的余弦值为
B. 过三点A、M、的截面面积为
C. 四面体的内切球的表面积为
D. E是边的中点，F是边的中点，过E、M、F三点的截面是六边形．
三、填空题（共4个小题，每题5分，满分20分）
13. 函数的定义域为___________.
14. ，，且，则，夹角为______．
15. 在三棱锥中，，则直线与平面所成角的正弦值为_______.
16. 若是公差不为0的等差数列，，，成等比数列，，为的前n（）项和，则的值为______．
四、解答题（共6题，第17题10分，第18至第22题每题12分，共70分）
17. 在中a，b，c分别为内角A，B，C的对边，．
（1）求A的大小；
（2）若是锐角三角形，求的取值范围．
18. 已知数列中，，
（1）求证：数列是等差数列，并求出的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
19. ，是正项等比数列．且，且，
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和
20. 如图，四棱锥的底面是矩形，，，M为的中点，，.
（1）证明：底面
（2）若，求二面角的正弦值．
21. 已知双曲线C：过点，右焦点F，左顶点为A
（1）求双曲线C的方程
（2）动直线交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上．
22. 已知，函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程：
（2）证明存在唯一极值点
（3）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围．