2023湖南师大附中初中部九年级第三次月考数学试卷及参考答案

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一．选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，点P（2，﹣6）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（2，6）B．（﹣6，2）C．（﹣2，﹣6）D．（﹣2，6）
3．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
4．下列说法正确的是（ ）
A．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
B．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨
C．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
D．“a是实数，|a|≥0”是不可能事件
5．若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y=kx的图象交于（1，﹣2），则另一个交点坐标为（ ）
A．（2，1）B．（﹣1，2）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）
6．下列各组图形，一定相似的是（ ）
A．两个等腰梯形B．两个菱形
C．两个正方形D．两个矩形
7．二次函数y＝﹣3x2+12x﹣5的最大值是（ ）
A．7B．﹣7C．17D．﹣17
8．如图，两个反比例函数y1=4x和y2=2x在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（ ）
A．4B．2C．1D．6

第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似中心为O，OA：AD＝1：2，下列结论正确的有（ ）
①△ABC与△DEF的相似比为13；②ACDF=12；③△OBC的周长△OEF的周长=13；④S△ABCS△DEF=14．
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，点A、B、C在⊙O上，若∠BAC＝45°，OB＝2，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣4B．23π−1C．π﹣2D．2π3−2
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．已知a2=b5，那么代数式a+ba−b的值是 ．
12．已知y与x成反比例，且当x＝﹣3时，y＝4，则当x＝6时，y的值为 ．
13．△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，则△ABC的外接圆半径为 ．
14．如图，AD∥BE∥CF，ABBC=12，DE＝5，则DF的长为 ．

第14题图 第15题图
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（1，0），以点B为中心，把线段BA顺时针旋转90°得到线段BC，则点C的坐标为 ．
16．在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．若抛物线y＝ax2+5x+c有且只有一个完美点（2，2），且当0≤x≤m时，二次函数y=ax2+5x+c−54的最小值为−214，最大值为1，则m的取值范围是
三．解答题（共9小题，其中17、18、19每小题6分，20、21每小题8分，22、23每小题9分，24、25每小题10分，共72分）
17．解方程：3x2﹣4x﹣1＝0．
如图所示，一次函数y1＝﹣x+m图象与反比例函数y2=kx图象相交于点A和
点B（3，﹣1）．
（1）求m的值和反比例函数解析式；
（2）请根据图像，直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．
19．如图是两个圆形转盘，第一个转盘被平均分成“1”“2”两个区域，第二个转盘被平均分成．“1”“2”“3”“4”四个区域．
（1）旋转第一个转盘一次，指针落在“2”区域的概率是 ．
（2）同时旋转两个转盘，用画树状图或列表的方法求两个转盘的指针都不落在“1”区域的概率．
20．某地有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为24m，拱顶高出水面8m（即CD＝8m），OC⊥AB，
（1）求出该圆弧形拱桥所在圆的半径；
（2）现有一艘宽10m，船舱高出水面7.5m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座桥吗？
21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是△ABC的中线，作AE⊥CD于点E，EF∥CB交BD于点F．
（1）求证：△ACE∽△BAC；
（2）若AC=5，CE＝1，求BD及EF的长．
23．某商店为了推销一种新产品，在某地先后举行40场产品发布会，已知该产品每台成本为10万元，设第x场
产品的销售量为y（台），y与x之间满足的函数关系式y＝50﹣x；产品的每场销售单价p（万元）由基本价和浮动价两部分相加组成，其中基本价保持不变．经过统计，发现第1场一第20场浮动价与发布场次x成正比，第21场一一第40场浮动价与发布场次x成反比，得到如下数据：
（1）求p与x之间满足的函数关系式
（2）当产品销售单价为13万元时，求销售场次是第几场？
（3）在这40场产品发布会中，求哪一场获得的利润最大，最大利润是多少？
24．如图，已知AB为半圆O的直径，C为半圆O上一点，连接AC，BC，过点O作OD⊥AC于点D，过点A作半圆O的切线交OD的延长线于点E，连接EC．
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）求证：AB2＝2BC•OE；
（2）连接BD并延长交AE于F，若半圆O的直径为10，BCAB=35，求AF的长．
25．【初识模型】
（1）如图①，在△ABC中，D是BC上一点，∠B＝∠ACE，ABAC=BDCE，连接DE．
求证：（Ⅰ）ABAC=ADAE； （Ⅱ）∠B＝∠ADE．
【再研模型】
（2）如图②，在△ABC中，D是BC上一点，∠B＝∠ADE＝∠ACE．求证：ABAC=BDCE．
【应用模型】
（3）如图③，直线AM与BN交于点O，∠AOB＝60°，一辆快车和一辆慢车分别从A，B两处沿AM，BN方向同时匀速行驶，快车速度是慢车速度的2倍，在行驶过程中两车与某一定点P所组成的三角形的形状始终不变．当两车距离为700m时，求慢车到定点P的距离．
26．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=mx（m为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q（1，m），直线PQ与x轴，y轴分别交于C，D两点，点M（x，y）是该函数图象上的一个动点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足分别为A，B．
（1）求∠OCD的度数；
（2）当m＝3，1＜x＜3时，存在点M使得△OPM∽△OCP，求此时点M的坐标；
（3）当m＝5时，矩形OAMB与△OPQ的重叠部分的面积能否等于4.1？请说明你的理由．
x（场）
3
10
25
P（万元）
10.6
12
14.2