河南省开封市2024届高三第一次模拟考试数学试卷及参考答案

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1．复平面内，对应的点位于( )
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知向量，，若，则( )
A．B．1C．D．
3．记为等比数列的前项和，若，，则( )
A．6B．8C．9D．12
4．若，则的最小值为( )
A．B．C．D．
5．现要从6名学生中选4名代表班级参加学校的接力赛，已知甲确定参加比赛且跑第1棒或第4棒，乙不能跑第1棒，则合适的选择方法种数为( )
A．84B．108C．132D．144
6．，为实数，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知为坐标原点，过抛物线：焦点的直线与交于，两点，若，则( )
A．5B．9C．10D．18
8．记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“点”．若函数与存在“点”，则( )
A．B．C．D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设集合，，则( )
A．B．C．D．
10．气象意义上从春季进人夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于，现有甲、乙、丙、丁四地连续5天的日平均温度的记录数据的部分信息(记录数据都是正整数)．
依据以下信息，能确定进人夏季地区的选项有( )
A．甲地5个数据的中位数为24，众数为22
B．乙地5个数据的中位数为25，平均数为24
C．丙地5个数据的平均数为22，众数为22
D．丁地5个数据中有一个数据是28，平均数为24，方差为
11．已知圆：，直线：，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，则切线长取最小值时，下列结论正确的是( )
A．B．
C．的方程可以是D．的方程可以是
12．函数的图象向左平移个单位长度后与原图象关于轴对称，则下列结论一定正确的是( )
A．B．的一个周期是
C．是偶函数D．在上单调递减
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数是奇函数，且，则_______．
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，，垂直于轴的直线经过且与双曲线交于，两点，若，则_______．
15．记的内角，，的对边分别为，，，若，，则_______．
16．已知点，，，均在半径为2的球面上，是等边三角形，平面，则四面体体积的最大值为_______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(10分)记的内角，，的对边分别为，，，已知，且．
(1)求；(2)若的面积为，求的周长．
18．(12分)已知数列为等差数列，，且．
(1)求；(2)记为数列的前项和，求．
19．(12分)如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点．
(1)求四面体的体积；(2)求平面与平面夹角的余弦值．
20．(12分)已知直线：与椭圆：在第一象限交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，直线，的斜率之积为．
(1)求椭圆的离心率；
(2)若直线与轴，轴分别相交于，两点，且，，求椭圆的方程．
21．(12分)已知函数且．
(1)求的值；(2)证明：当时，．
22．(12分)某市每年上半年都会举办“清明文化节”，下半年都会举办“菊花文化节”，吸引着众多海内外游客．为了更好地配置“文化节”旅游相关资源，2023年该市旅游管理部门对初次参加“菊花文化节”的游客进行了问卷调查，据统计，有的人计划只参加“菊花文化节”，其他人还想参加2024年的“清明文化节”，只参加“菊花文化节”的游客记1分，两个文化节都参加的游客记2分．假设每位初次参加“菊花文化节”的游客计划是否来年参加“清明文化节”相互独立，将频率视为概率．
(1)从2023年初次参加“菊花文化节”的游客中随机抽取三人，求三人合计得分的数学期望；
(2)2024年的“清明文化节”拟定于4月4日至4月19日举行，为了吸引游客再次到访，该市计划免费向到访的游客提供“单车自由行”和“观光电车行”两种出行服务．已知游客甲每天的出行将会在该市提供的这两种出行服务中选择，甲第一天选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“单车自由行”，后一天继续选择“单车自由行”的概率为，若前一天选择“观光电车行”，后一天继续选择“观光电车行”的概率为，如此往复．
①求甲第二天选择“单车自由行”的概率；
②求甲第天选择“单车自由行”的概率，并帮甲确定在2024年“清明文化节”的16天中选择“单车自由行”的概率大于“观光电车行”的概率的天数．