辽宁省名校联考（东北三省联考）2024届高三上学期12月联考数学试卷含解析

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1．已知集合，，则( )
A．B．C．D．
2．若复数为纯虚数，则( )
A．5B．C．3D．
3．已知函数，则“在区间上单调递增”的一个充分不必要条件为( )
A．B．C．D．
4．老张为锻炼身体，增强体质，计划从下个月1号开始慢跑，第一天跑步3公里，以后每天跑步比前一天增加的距离相同．若老张打算用20天跑完98公里，则预计这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为( )
A．8B．9C．13D．14
5．如图1所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图2所示的圆锥模型，已知，直线与圆锥底面所成角的余弦值为，则该圆锥的侧面积为( )
A．B．C．D．
6．将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像，若函数在区间上单调递增，则的最大值为( )
A．B．C．1D．3
7．已知直线：与圆：，过直线上的任意一点作圆的切线，，切点分别为，，则的最大值为( )
A．B．C．D．1
8．已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则( )
A．的长度为B．的长度为C．的长度为D．的长度为
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知正项等比数列的公比为，前项和为，，，则( )
A．B．
C．数列是递减数列D．
10．已知函数，则( )
A．为奇函数B．的单调递增区间为
C．的极小值为-3
D．若关于的方程恰有3个不等的实根，则的取值范围为
11．已知正数，满足，则( )
A．B．C．D．
12．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，离心率为，点在上，则( )
A．若的面积为，则
B．若直线，的斜率之积为，则
C．若，则以为直径的圆与无交点
D．若，则的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，，，若，则_______．
14．已知函数的定义域为，且的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列三个条件的一个的解析式为_______．
①，；②为奇函数；③在上单调递减．
15．已知在直三棱柱中，，，若直三棱柱存在内切球(与各面均相切)且该球的表面积为，则该直三棱柱的体积为_______．
16．已知抛物线：的焦点为，直线过点且与交于，两点，且，与的面积之比为，其中为坐标原点，则_______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．(10分)已知数列满足，．
(1)求证：为等比数列；(2)求数列的前项和．
18．(12分)已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求；(2)若，求的最大值．
19．(12分)如图，相距的，之间是一条马路(，可近似看作两条平行直线)，为了测量河对岸一点到马路一侧的距离，小明在这一侧东边选择了一点，作为测量的初始位置，其中与交于点，现从点出发沿着向西走到达点，测得，继续向西走到达点，其中与交于点，继续向西走到达点，测得．根据上述测量数据，完成下列问题．
(1)求的值；(2)求的值．
20．(12分)如图，在四棱锥中，已知，底面是正方形，为棱的中点，，．
(1)求点到平面的距离；(2)求平面与平面夹角的余弦值．
21．(12分)已知双曲线：的左、右顶点分别为，，点在上，且．
(1)求的方程；
(2)直线：与交于，两点，记直线，的斜率分别为，，若0，求的值．
22．(12分)已知函数．
(1)当时，求的极值；
(2)若，求的值；
(3)求证：．