浙江省杭州市西湖区杭州外国语学校2023-2024学年九年级上册10月月考数学试题（含解析）

这是一份浙江省杭州市西湖区杭州外国语学校2023-2024学年九年级上册10月月考数学试题（含解析），共29页。试卷主要包含了本次考试不得使用计算器，已知，，则代数式值是，对于一元二次方程，下列说法等内容，欢迎下载使用。

考生须知：
1．本试卷满分120分，考试时间120分钟．
2．本试卷分试题卷和答题卷两部分，其中试题卷6页，答题卷2页．
3．请在答题卷对应区域内写明姓名、班级、座位号．
4．本次考试不得使用计算器．
一、选择题（本大题共10小题;每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请将正确答案填在答题卷的相应位置上）
1．华为Mate60 Pr搭载了麒麟9000s芯片，该芯片采用7纳米工艺制造，拥有出色的性能和能效比0.7纳米等于0.000 000 007米．数据0.000 000 007用科学记数法为（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则的值是（ ）
A．B．C．3D．
3．将一个长方形纸片按如图所示折叠，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
4．如图，在的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的个数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
5．甲、乙、丙、丁四人10次随堂测验的成绩如图所示，从图中可以看出这10次测验平均成绩较高且较稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
6．如图，直线与抛物线和抛物线分别交于点、，直线轴，与抛物线交于、两点，与抛物线交于、两点，则（ ）

A．B．C．D．
7．有理数a、b、x、y同时满足以下关系式：，，，则a、b、x、y的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．已知，，则代数式值是（ ）
A．3B．6C．7D．8
9．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④存在实数，使得；
其中正确的（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
10．如图，矩形中，，对折矩形使得与重合，得到折痕，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点的对应点落在上，折痕是，连接，若，则点的长是（ ）

A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将正确答案填在答题卷的相应位置上）
11．函数中，自变量的取值范围是 ．
12．定义一种新运算：，若，则 ．
13．如图，AB是半径为2的的弦，点C是上的一个动点，若点M，N分别是AB，BC中点，则MN长的最大值是 ．

14．如图，点E，F，M在矩形的边上，四边形是正方形，B，M，N三点共线．若，，则的值为 ．

15．菱形在平面直角坐标系中如图1所示，已知，轴，点C的横坐标为．直线向左平移m个单位，在平移过程中，被菱形截得的线段长为n，n与m之间的函数关系如图2所示，则过点B的反比例函数表达式为 ．

16．已知表示a，b，c…几个数中最大的那个数，表示a，b，c…几个数中最小的那个数，例如，则：
（1） ；
（2）已知函数，则 ；
三、解答题（本题有8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
17．解下列各题：
(1)求不等式组的解．
(2)先化简，再求值，其中x的值是方程的根．
18．如图，已知中，，，，E是AB上的一点，，点D是线段BC上的一个动点，沿折叠，点C与重合，连接．

(1)求证：；
(2)若点F是BC上一点，求的最小值．
19．某中学举行“中国梦”校园好声音歌手比赛，初、高中部根据初赛成绩各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，根据这10人的决赛成绩（满分为100分），制作了如下统计图：
（1）根据上图提供的数据填空：
的值是 ，的值是 ；
（2）结合两队的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩好；
（3）根据题（1）中的数据，试通过计算说明，哪个代表队的成绩比较稳定？
20．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点，与轴交于点．

(1)求出a，k的值；
(2)若为x轴上的一动点，当的面积为时，求的值；
(3)在轴上是否存在点，使得，若存在请直接写出点坐标，若不存在请说明理．
21．某地区在2020年开展脱贫攻坚的工作中大力种植有机蔬菜．某种蔬菜的销售单价与销售月份之间的关系如图（1）所示，每千克成本与销售月份之间的关系如图（2）所示．（其中图（1）的图象是直线，图（2）的图象是抛物线，其最低点坐标是（6，1））．
（1）求每千克蔬菜销售单价y与销售月份x之间的关系式；
（2）判断哪个月份销售每千克蔬菜的收益最大？并求最大收益；
（3）求出一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有哪些？
22．综合与探究：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，则方程：是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
(2)已知关于的一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，求值．
(3)若关于的一元二次方程（、是常数，且）是“邻根方程”，令，求的最大值．
23．综合与实践

(1)【操作发现】如图1，诸葛小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为，请写出图中的一个角：______．
(2)【拓展探究】如图2，孔明小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，连接交于点P．
①______度；
②若，求线段的长．
(3)【迁移应用】如图3，在矩形，点E，F分别在边上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若点F为的三等分点，，，请直接写出线段的长．
24．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，过点作直线轴，过点作，交直线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点为第三象限内抛物线上的点，连接和交于点，当时．求点的坐标；
(3)在轴上是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．D
【分析】根据科学记数法的定义改写即可．
【详解】将一个数改写为，其中，为整数，
故0.000 000 007用科学记数法为，
故选D．
【点睛】本题主要考查科学记数法的定义，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．
2．D
【分析】根据，可得 ，然后代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴ ，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了比例的性质，能够用表示出是解题的关键．
3．B
【分析】依据平行线的性质，即可得到，，进而得出，再解方程进行计算即可．
【详解】解：如图所示，∵，

∴，，
由折叠可得，，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
4．A
【分析】先求出每边的平方，得出，，，根据勾股定理的逆定理得出直角三角形即可．
【详解】解： 理由是：连接、、、、、，
设小正方形的边长为1，
由勾股定理得：，，，，，，
∴，，，
∴、、是直角三角形，共3个直角三角形，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
5．C
【分析】利用平均数和方差的意义进行判断．
【详解】解：由折线统计图得：丙、丁的成绩在92附近波动，甲、乙的成绩在91附近波动，
∴丙、丁的平均成绩高于甲、乙，
由折线统计图得：丙成绩的波动幅度小于丁成绩的波动幅度，
∴这四人中丙的平均成绩好又发挥稳定，
故选：C．
【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，与平均值的离散程度越差，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了折线统计图．
6．D
【分析】根据待定系数法求出函数，的解析式；设直线为，直线经过函数，，可求出，的值，即可求出的值．
【详解】∵抛物线和抛物线分别交于点、，
∴，，
∴，，
设直线为，
∵直线经过函数，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，掌握数形结合的解题方法．
7．A
【分析】由x+y=a+b得出y=a+b-x，x=a+b-y，再根据y-x＜a-b，判断出a、y以及b、x的关系，即可将这四个有理数按从小到大的顺序用“＜”连接起来．
【详解】解：∵x+y=a+b，
∴y=a+b-x，x=a+b-y，
把y=a+b-x代入y-x＜a-b得：a+b-x-x＜a-b，
∴2b＜2x，
∴b＜x①，
把x=a+b-y代入y-x＜a-b得：y-（a+b-y）＜a-b，
∴2y＜2a，
∴y＜a②，
∵b＞a③，
∴由①②③得：y＜a＜b＜x．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了有理数的大小比较的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出a、y以及b、x的关系．
8．B
【分析】根据可以得到然后再根据即可得到结果．
【详解】解：
两式相减，可得
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法法则以及同底数幂的除法法则的运用、代数式求值，同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减．
9．B
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，一元二次方程解的含义，逐个判断即可．
【详解】解：∵
∴是一元二次方程的一个解，即方程有解，
∴，①正确；
方程有两个不相等的实根，则，即
方程的判别式为，
∴方程必有两个不相等的实根，②正确；
若c是方程的一个根，则，即
∴或，③错误；
由可得，
即
∵
∴
∴
所以只需要满足即可得到，④正确；
故选：B
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，方程解的含义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的有关性质．
10．A
【分析】由矩形性质和折叠性质可得，，，，可得，从而可得，可得，从而可得的长，，即可求解，进而求出的长．
【详解】解：四边形是矩形，
，
由折叠性质可得：，，，，
在中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
，
故选：．
【点睛】本题考查折叠性质，长方形的性质，角的直角三角形等知识点，解题的关键是利用边之间的关系推出．
11．且
【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0以及二次根式有意义的条件：被开方数不小于0进行解答即可．
【详解】解：由题意得且，即且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围问题，掌握分式有意义的条件以及二次根式有意义的条件是解题的关键．
12．
【分析】根据新运算可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴原方程的解为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了解分式方程，理解新定义是解题的关键．
13．2
【分析】如图，连接并延长，交圆于点D，连接，由中位线定理，得，点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长．于是的最大值为．
【详解】解：如图，连接并延长，交圆于点D，连接，
∵点M，N分别是AB，BC中点，
∴．
点A为定点，C为动点，的最大值为直径长，即长．
∵是直径，
∴．
∴的最大值为．
故答案为：2

【点睛】本题考查中位线定理，圆的基本概念弦与直径；掌握中位线定理是解题的关键．
14．2
【分析】先证得，再证得，接着证得，可得，结合已知求得的值，进而得到答案．
【详解】解：解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，解得，
∴．
故答案为：2
【点睛】本题考查矩形和正方形的性质，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质；熟练掌握相关知识是解题的关键．
15．
【分析】观察所给图象可知，当时，平移后图象经过点C，由此求出点C的坐标；当平移后图象在点B和点D之间时，被菱形截得的线段长，由此求出菱形边长，由此可解．
【详解】解：直线向左平移m个单位后的解析式为，当平移后图象经过点B时如下图所示，直线与交于点E，过点B作于点F，

由图2知，当时，平移后图象经过点C，即直线经过点C，
点C的横坐标为，，
点C的坐标为．
由图2知，当平移后图象在点B和点D之间时，被菱形截得的线段长，即，
轴，
直线与的夹角，
又菱形中，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
点B的坐标为，即
设过点B的反比例函数表达式为，
将代入，得：，
点B的反比例函数表达式为，
故答案为：．
【点睛】本题考查菱形的性质，坐标与图象，一次函数图象的平移，求反比例函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质等，解题的关键是求出菱形边长和点C的坐标．
16． 4 2
【分析】（1）根据定义找到、4和1中最大的那个数即可；
（2）画出函数，和的图象，根据图象求解即可．
【详解】（1）∵，
∴，
故答案为：4；
（2）函数，和的图象如下：
则虚线部分即为函数的图象，
设和的交点为点A，
则点A的纵坐标即为，
联立可得：，
解得：，
∴点A的坐标为，
，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一次函数的交点问题以及新定义的实数运算，利用数形结合的思想是解题的关键．
17．(1)
(2)，4
【分析】（1）先分别解不等式组中的两个不等式， 再确定两个不等式的解集的公共部分即可；
（2）先计算括号内的分式的加减运算，再计算除法运算得到化简的结果，再解一元二次方程结合分式有意义的条件确定x的值，再代入计算即可．
【详解】（1）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：
（2）解：

解方程，解得或，
，
，
，
∴原式；
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的解法，分式的化简求值,属于基础题，掌握相关运算法则是关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）可求证，又，于是；
（2）由，可导出，于是．
如图，，当三点共线时，，当时，最短，取最小值，即垂线段长．求证，可求，于是最小值为．
【详解】（1）解：∵，，
∴.
由折叠知，.
∵，
∴．
又，
∴．

（2）解：∵，
∴．
∴．
∴．
如图，，当三点共线时，，
当时，最短，
∴时，取最小值，最小值为垂线段长．
如图，时，，
∴．
∴．
∴．
∴最小值为．
，
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，垂线段最短；在两个动点的情况下，结合两点之间线段最短及垂线段最短求线段最值是解题的关键．
19．（1）80，85；（2）因为初中代表队和高中代表队的平均数相同，但是初中代表队的中位数高于高中代表队，所以初中代表队的决赛成绩更好；（3）初中部的成绩比较稳定
【分析】（1）根据中位数、众数的定义求解；
（2）通过比较中位数来确定；
（3）通过比较方差确定．
【详解】解：（1）将高中代表队的成绩由低到高排列70，75，80，100，100，
∴中位数为80，
∵初中代表队85分的有2个选手，出现次数最多，所以众数是85．
(2)（分）
因为初中代表队和高中代表队的平均数相同，但是初中代表队的中位数高于高中代表队，所以初中代表队的决赛成绩更好．
(3)高中部方差为：
∴初中部的成绩比较稳定．
【点睛】本题考查了方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，也考查了平均数、中位数和众数．
20．(1)，
(2)或
(3)存在，点的坐标为或
【分析】将点代入，即可求出的值，从而得到，再将代入，即可求出的值；
根据一次函数解析式可求出，，结合为轴上的一动点，可求出最后根据，结合三角形面积公式，即可列出关于的等式，解出的值即可．
过作轴于，作的垂直平分线交轴于，交于，连接，并延长交轴于，分两种情况，利用一次函数的解析式解答即可．
【详解】（1）由题意可知点在一次函数的图象上，
，
，
一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，
，
；
（2）对于，令，则，
解得：，
，
令，则，
，
为轴上的一动点，
，
，
，
，，
，
解得：．
（3）过作轴于，
轴，
，
由（1）得，
，
把，代入，
，
作的垂直平分线交轴于，交于，连接，并延长交轴于，
是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，
把，代入解析式可得：，
解得：，
直线的解析式为：，
把代入，
解得：，
，
综上所述，的坐标为或．

【点睛】本题是反比例函数综合题，考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，一次函数与坐标轴的交点问题等知识．利用数形结合的思想是解题关键．
21．（1）每千克蔬菜销售单价y与销售月份x之间的关系式为y＝﹣x+7；（2）5月销售每千克蔬菜的收益最大，最大为元；（3）一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三个月．
【分析】（1）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出每千克蔬菜销售单价y与销售月份x之间的关系式；
（2）利用待定系数法求出每千克成本与销售月份之间的关系式，由收益w＝每千克售价﹣成本列出w与x的函数关系式，利用配方求出二次函数的最大值；
（3）列出一年中销售每千克蔬菜的收益与销售月份x之间的关系式，根据二次函数的性质可得答案．
【详解】解：（1）设每千克蔬菜销售单价与销售月份之间的关系式为，
将和代入得，
，
解得：．
每千克蔬菜销售单价与销售月份之间的关系式为；
（2）设每千克成本与销售月份之间的关系式为：，
把代入得：，
解得．
，
即．
∴收益
，
，
当时，有最大值，．
月销售每千克蔬菜的收益最大，最大为元；
（3）一年中销售每千克蔬菜的收益：，
当时，，
解得：，，
，
∴抛物线的开口向下，
∴当时，，
又∵为正整数，
一年中销售每千克蔬菜的收益大于1元的月份有4，5，6三个月．
【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
22．(1)是“邻根方程”；
(2)或；
(3)
【分析】（1）利用公式法求出一元二次方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义进行判断，即可得到答案；
（2）利用因式分解法求出一元二次方程的根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的方程，求解即可得到答案；
（3）利用公式法求出一元二次方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义，求得，进而得到，再利用非负数的性质，求出，然后利用得到关于的一元二次函数，最后利用一元二次函数的性质，即可求出最大值．
【详解】（1）解：，
，
，
，，
，
是“邻根方程”；
（2）解：，
整理得：
，，
一元二次方程（是常数）是“邻根方程”，
或
或
或；
（3）解：，
，
，，
一元二次方程（、是常数，且）是“邻根方程”，
，
，
，
，
或，
，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，一元二次函数的性质，熟练掌握一元二次方程的解法，正确理解“邻根方程”的定义是解决关键．
23．(1)，见解析
(2)①，见解析；，见解析；
(3)线段的长为或2；
【分析】（1）根据折叠性质和正方形的性质可得；
（2）①由折叠性质可得，，，结合可得，即可求解；②根据是等腰直角三角形，可证，设，
根据，即可求解；
（3）在上取一点J，使得，过点J作，交于点K，连接，可得，设，则，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：；
∵四边形是正方形，
，
由折叠性质可得：，，
，
即；
（2）解：①∵四边形是正方形，
，
由折叠性质可得：，，，
，
由操作一得：，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
；
②∵ 是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
设，
，
，，
，
，解得：，
，
；
（3）解：如图，在上取一点J，使得，过点J作，交于点K，连接，

当时，，
，
，
，
，
，
由（1）可知，，
设，则，
，
，
，
当时，同理可得，
综上所述，线段的长为或2；
【点睛】此题考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形等知识， 熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出是解题的关键．
24．(1)
(2)
(3)的坐标为或
【分析】（1）根据抛物线过点，对称轴为直线，求出点坐标，点坐标，用待定系数法求解析式即可求解；
（2）先证明，根据求出的长，从而确定点坐标，待定系数法求出的解析式，作轴，交直线于点，设，则，根据平行可得，表示出再利用，求出的值，从而得到最后结果；
（3）先证明是等腰直角三角形，根据题意可得，以为对角线作正方形，则，进而求得，的坐标，待定系数法求得，的解析式，分别求出当时的值，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴交轴于点，
抛物线对称轴为直线，
抛物线与轴交于点和点，
点与点关于直线对称，
，
抛物线，
当时，，
，
设抛物线的解析式为：，过点，
，
，
；
（2）直线轴，，
，
，，
，
，
，
，，，
，
，
轴，
，
，
设的解析式为：，
，解得：，
，
如图：作轴，交直线于点，

设，
，
，
，
，
，
，
，（舍去），
当时，
，
；
（3），，
，
是等腰直角三角形，
，
由（2）可知，
，
，
如图，以为对角线作正方形，则，

，，
，
，
，
设，则，
解得：或，
是，两点的坐标，
，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
当，，
，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
当时，，
综上所述的坐标为或
【点睛】本题是函数的综合题，考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解决问题的关键是转化为解直角三角形问题．
平均数
中位数
众数
方差
初中部
*
85
70
高中部
85
100
*