【学考复习】2024年高中数学学业水平考试（江苏专用）01第一章 集合、常用逻辑用语-讲义

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1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
(4)常用数集及记法
2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A．
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A．
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A．
5.常用结论
（1）若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．
（2）空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集．
（3）A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB．
（4）∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
6．充分条件、必要条件与充要条件的概念
7．全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．
8．全称量词命题和存在量词命题
9．充要关系与集合的子集之间的关系
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
10．常用结论
（1）区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B eq \(⇒,/) A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A eq \(⇒,/) B)两者的不同．
（2）p是q的充分不必要条件，等价于綈q是p的充分不必要条件．
（3）全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题．
考点一 集合的基本概念
【例1】集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(n∈N|x＝\f(16,n)，x∈N))的元素个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】因为x∈N，n∈N，且x＝eq \f(16,n)，所以n是16的正因数，即n的值可以是1,2,4,8,16，则A＝{1,2,4,8,16}，所以集合A中有5个元素，故选C．
归纳点拨
(1)研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．
(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
对点训练
1．若集合A＝{x∈R|ax2＋ax＋1＝0}中只有一个元素，则a＝( )
A．4 B．2
C．0 D．0或4
【答案】A
【解析】①当a＝0时，1＝0显然不成立；②当a≠0时，由Δ＝a2－4a＝0，得a＝4.综上可知a＝4.故选A．
2．设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(b,a)，b))，则a2023＋b2024＝__________.
【答案】0
【解析】由题意知a≠0，因为{1，a＋b，a}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(b,a)，b)).所以a＋b＝0，则eq \f(b,a)＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2023＋b2024＝－1＋1＝0.
3．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．
【答案】－eq \f(3,2)
【解析】由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－eq \f(3,2)，当m＝1时，m＋2＝3,2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－eq \f(3,2)时，m＋2＝eq \f(1,2)，2m2＋m＝3，综上知，m＝－eq \f(3,2).
考点二 集合间的基本关系
【例2】 (1)已知集合A＝{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝k＋\f(1,6)，k∈N))，B＝{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝\f(m,2)－\f(1,3)，m∈N))，C＝{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝\f(n,2)＋\f(1,6)，n∈N))，则集合A、B、C的关系是( )
A．ACB B．CAB
C．AB＝C D．ABC
(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为__________．
【答案】(1)A (2)(－∞，3]
【解析】(1)∵集合C＝{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝\f(n,2)＋\f(1,6)，n∈N))，
∴当n＝2a(a∈N)时，x＝eq \f(2a,2)＋eq \f(1,6)＝a＋eq \f(1,6)，此时C＝A．∴AC．当n＝b－1(b∈N*)时，x＝eq \f(b－1,2)＋eq \f(1,6)＝eq \f(b,2)－eq \f(1,2)＋eq \f(1,6)＝eq \f(b,2)－eq \f(1,3)(b∈N*)．集合B＝{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝\f(m,2)－\f(1,3)，m∈N))，当m＝0时，－eq \f(1,3)∈B，但－eq \f(1,3)∉C，∴集合CB．综上，ACB，故选A．
(2)∵B⊆A，∴若B＝∅，则2m－1归纳点拨
集合关系问题的应用技巧
(1)判断两集合的关系有两种方法，一是化简集合，通过表达式寻求；二是列举元素，从元素关系中寻找．
(2)已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图帮助分析．同时，要注意空集是任何集合的子集，以防漏解．
对点训练
1．已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由题意，可得A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又∵A⊆C⊆B，∴C＝{1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}，共4个．故选C．
2．若集合A＝{1,2}，B＝{x|x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B⊆A，则实数m的取值范围为__________．
【答案】[－2,2)
【解析】若B＝∅，则Δ＝m2－4<0，解得－2考点三 集合的运算
【例3】 已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B＝( )
A．{－1,2} B．{1,2}
C．{1,4} D．{－1,4}
【答案】B
【解析】由|x－1|≤1得0≤x≤2，则B＝{x|0≤x≤2}，∴A∩B＝{1,2}，故选B．
归纳点拨
求解集合基本运算的方法步骤
对点训练
1．(多选)已知全集U＝R，集合M＝{x|－3≤x<4}，N＝{x|x2－2x－8≤0}，则( )
A．M∪N＝{x|－3≤x<4}
B．M∩N＝{x|－2≤x<4}
C．(∁UM)∪N＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)
D．M∩(∁UN)＝(－3，－2)
【答案】BC
【解析】由x2－2x－8≤0，得－2≤x≤4，所以N＝{x|－2≤x≤4}，则M∪N＝{x|－3≤x≤4}，A错误；M∩N＝{x|－2≤x<4}，B正确；由于∁UM＝(－∞，－3)∪[4，＋∞)，故(∁UM)∪N＝(－∞，－3)∪[－2，＋∞)，C正确；由于∁UN＝(－∞，－2)∪(4，＋∞)，故M∩(∁UN)＝[－3，－2)，D错误．故选BC．
考点四 利用集合的运算求参数的值(范围)
【例4】 (1)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1A．[－1,2) B．[－1,3]
C．[2，＋∞) D．[－1，＋∞)
(2)设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}，若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4))) B．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(4,3)))
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，＋∞)) D．(1，＋∞)
[思路引导] (1)A∩B＝B→B⊆A→分B＝∅和B≠∅两种情况→得出m的取值范围．
(2)求出集合A，令f(x)＝x2－2ax－1→利用数形结合确定A∩B中所含的唯一整数→求出a的范围．
【答案】(1)D (2)B
【解析】(1)由x2－x－12≤0，得(x＋3)(x－4)≤0，得－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}．又A∩B＝B，所以B⊆A．
①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2.
②当B≠∅时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3≤2m－1，,m＋1≤4，,2m－1(2)A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，设函数f(x)＝x2－2ax－1，因为函数f(x)＝x2－2ax－1图象的对称轴为直线x＝a(a>0)，f(0)＝－1<0，根据对称性可知若A∩B中恰有一个整数，则这个整数为2，所以有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f2≤0，,f3>0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－4a－1≤0，,9－6a－1>0，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≥\f(3,4)，,a<\f(4,3)，))即eq \f(3,4)≤a归纳点拨
利用集合的运算求参数的方法
(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合中的元素是用不等式(组)表示的，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．
(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．
(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．
对点训练
1．已知全集U＝R，集合A＝{y|y＝2x，x≥1}，B＝{x|y＝lg(9－x2)}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．[－3,2] B．(－3,2)
C．(－3,2] D．[－3,2)
【答案】B
【解析】由x≥1，得2x≥2，则A＝[2，＋∞)，所以∁UA＝(－∞，2)．由9－x2>0，得－32．集合M＝{x|2x2－x－1<0}，N＝{x|2x＋a>0}，U＝R.若M∩(∁UN)＝∅，则a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
【答案】B
【解析】M＝{x|2x2－x－1<0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)∵N＝{x|2x＋a>0}＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－\f(a,2)))))，
∴∁UN＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－\f(a,2))))).由M∩(∁UN)＝∅，
则－eq \f(a,2)≤－eq \f(1,2)，得a≥1.故选B．
考点五 充分、必要条件的判定
【例5】已知a∈R，若集合M＝{1，a}，N＝{－1,0,1}，则“M⊆N”是“a＝0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】若M⊆N，则a＝0或a＝－1，故由M⊆N推不出a＝0，反之，若a＝0，则M⊆N，故“M⊆N”是“a＝0”的必要不充分条件，故选B．
归纳点拨
充分条件、必要条件的3种判定方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理的判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于以否定形式给出的问题．
对点训练
1．(2022·江苏连云港二模)已知x∈R，则“－3≤x≤4”是“lg(x2－x－2)≤1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由题意得02．已知Sn为等比数列{an}的前n项和，且公比q>1，则“a5>a1”是“S4>0”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由S4>0，得eq \f(a1－a5,1－q)>0，因为q>1，所以a5－a1>0，即a5>a1，故必要性满足；S4＝eq \f(a1－a5,1－q)，因为q>1，a5>a1，所以S4>0，故充分性满足．所以“a5>a1”是“S4>0”的充要条件．故选C．
3．设x，y∈R，则“x≠1或y≠2”是“xy≠2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】“若x≠1或y≠2，则xy≠2”的逆否命题为“若xy＝2，则x＝1且y＝2”．由x＝1且y＝2可以得出xy＝2，反之不成立，例如取x＝eq \f(1,2)，y＝4.∴“xy＝2”是“x＝1且y＝2”的必要不充分条件．∴“x≠1或y≠2”是“xy≠2”的必要不充分条件，故选B．
考点六 充分、必要条件的应用
【例6】 已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围．
【解析】由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴A＝{x|－2≤x≤10}．
由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A．
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))∴0≤m≤3.
∴当0≤m≤3时，x∈A是x∈B的必要条件，
既所求m的取值范围是[0,3]．
归纳点拨
应用充分条件、必要条件求解参数范围的方法
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．
对点训练
1．已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若“x∈A是x∈B的充分不必要条件”，求m的取值范围．
【解析】∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，
∴AB，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤－2，,1＋m>10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m<－2，,1＋m≥10，))解得m≥9，故m的取值范围是[9，＋∞)．
2．“|x－1|<1”成立的必要不充分条件是( )
A．－eq \f(1,2)C．－3【答案】B
【解析】|x－1|<1⇔－13．设p：ln(2x－1)≤0，q：(x－a)[x－(a＋1)]≤0，若q是p的必要不充分条件，则实数a的取值范围是__________．
【答案】eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))
【解析】p对应的集合A＝{x|y＝ln(2x－1)≤0}＝{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)考点七 含有量词的命题的否定及真假判断
【例7】(1)已知f(x)＝sinx－tanx，命题p：∃x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)<0，则( )
A．p是假命题，綈p：∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0
B．p是假命题，綈p：∃x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0
C．p是真命题，綈p：∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0
D．p是真命题，綈p：∃x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0
(2)(多选)下列命题中，是存在量词命题且是真命题的是( )
A．至少有一个实数x，使得x3＝1
B．菱形的对角线互相垂直
C．∀x∈R，x2＋x＋eq \f(1,4)>0的否定
D．∃x∈R，－x2＋x－2≥0的否定
【答案】(1)C (2)AC
【解析】(1)当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，sinx－tanx<0，可知命题p是真命题．綈p：∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0.故选C．
(2)对于选项A，命题是存在量词命题，当x＝1时，x3＝1，所以是真命题；对于选项B，命题是全称量词命题，不满足题意；对于选项C，∀x∈R，x2＋x＋eq \f(1,4)>0的否定为：∃x∈R，x2＋x＋eq \f(1,4)≤0，是存在量词命题，x2＋x＋eq \f(1,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2≥0，当x＝－eq \f(1,2)时，x2＋x＋eq \f(1,4)＝0，所以是真命题；对于选项D，∃x∈R，－x2＋x－2≥0的否定是：∀x∈R，－x2＋x－2<0，是全称量词命题，不符合题意．故选AC．
归纳点拨
(1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论．
(2)判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可．
对点训练
考点八 含有量词命题的应用
【例8】已知命题p：∃x∈(－1,3)，x2－a－2≤0.若p为假命题，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1)
C．(－∞，7) D．(－∞，0)
【答案】A
【解析】已知命题p：∃x∈(－1,3)，x2－a－2≤0为假命题，则綈p：∀x∈(－1,3)，x2－a－2>0为真命题，所以a归纳点拨
(1)全称量词命题多与“恒成立”问题有关，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入求解，也可以根据函数或不等式中恒成立问题的求解方法求解．
(2)存在量词命题多以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论做出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致了矛盾，则否定了假设．
对点训练
1 (多选)下列命题中，是真命题的是( )
A．∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0
B．“若x＋y≥6，则x，y中至少有一个数大于3”的否定
C．∃x∈R,2xD．命题“∃x<0，x2－x－2<0”的否定是“∀x≥0，x2－x－2≥0”
【答案】AC
【解析】对于A，当x≥0时，x3≥0，所以x3＋x≥0，故是真命题．对于B，“若x＋y≥6，则x，y中至少有一个数大于3”的否定为“若x＋y≥6，则x，y都不大于3”．取x＝4，y＝2，显然为假命题，故是假命题．对于C，取x＝－1可知是真命题．对于D，命题“∃x<0，x2－x－2<0”的否定是“∀x<0，x2－x－2≥0”，故是假命题．故选AC．
2．若命题“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是真命题，则实数a的取值范围是__________．
【答案】(－∞，－2]∪[1，＋∞)
【解析】命题“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是真命题，则Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1，所以实数a的取值范围是(－∞，－2]∪[1，＋∞)．
一、选择题
1．(2022·南京六校调研)记集合A＝{x|lg2(x－1)<2}，A∩N＝B，则集合B的元素个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由lg2(x－1)<2，得02．设全集U＝{－2，－1,0,1,2,3}，集合A＝{－1,2}，B＝{x|x2－4x＋3＝0}，则∁U(A∪B)＝( )
A．{1,3} B．{0,3}
C．{－2,1} D．{－2,0}
【答案】D
【解析】因为B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}，所以A∪B＝{－1,1,2,3}，所以∁U(A∪B)＝{－2,0}，故选D．
3．已知集合A＝{x|(2a－x)(x－a)<0}，若2∉A，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，1)∪(2，＋∞) B．[1,2)
C．(1,2) D．[1,2]
【答案】D
【解析】因为2∉A，所以(2a－2)(2－a)≥0，解得1≤a≤2.故选D．
4．已知集合A＝{x|x(x－1)≤0}，B＝{x|y＝ln(x－a)}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0) B．(－∞，0]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
【答案】A
【解析】由题意知A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|x>a}，因为A∩B＝A，所以A⊆B，所以a<0，故选A．
5．(多选)若集合A＝{x|sin2x＝1}，B＝{yeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(y＝\f(π,4)＋\f(kπ,2)，k∈Z))，则下列结论正确的是( )
A．A∪B＝B B．∁RB⊆∁RA
C．A∩B＝∅ D．∁RA⊆∁RB
【答案】AB
【解析】A＝{x|sin2x＝1}＝{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝kπ＋\f(π,4)，k∈Z))＝{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝\f(4kπ＋π,4)，k∈Z))，B＝{yeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(y＝\f(π,4)＋\f(kπ,2)，k∈Z))＝{yeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(y＝\f(2kπ＋π,4)，k∈Z))，显然集合{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝\f(4kπ＋π,4)，k∈Z))⊆{xeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2kπ＋π,4)，k∈Z))，所以A⊆B，则A∪B＝B成立，所以A正确．∁RB⊆∁RA成立，所以B正确，D错误．A∩B＝A，所以C错误．
6．(2022·江苏三校适应性考试)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1}，B＝{(x，y)||x|＋|y|≤a}，A⊆B，则a的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，＋∞)) B．[1，＋∞)
C．[eq \r(2)，＋∞) D．[2，＋∞)
【答案】C
【解析】集合A为圆x2＋y2＝1内部和圆周上的点集，集合B为直线x＋y＝a，x－y＝a，－x＋y＝a，x＋y＝－a围成的正方形内部和边上的点集，画出图象，如图所示．当直线EF与圆O相切时，设切点为C，连接OC．
∵△EOF为等腰直角三角形，OE＝OF，∠EOF＝90°，OC⊥EF，∴OC为Rt△EOF斜边上的中线，∴OC＝eq \f(1,2)EF，即EF＝2OC＝2，∴OE＝OF＝eq \f(\r(2),2)EF＝eq \r(2)，此时a＝eq \r(2).∵A⊆B，即圆O在正方形内，∴a≥eq \r(2).
7. (多选)设全集为U，则如图所示的阴影部分用集合可表示为( )
A．A∩B
B．(∁UA)∩B
C．[∁U(A∩B)]∩B
D．(∁UA)∪B
【答案】BC
【解析】由题图可知，A∩B为集合A与集合B的公共部分，排除A选项；(∁UA)∪B为全集U中去除集合A后剩余的部分再加上A∩B的部分，排除D选项．经验证，B，C正确．故选BC．
8．已知命题p的否定綈p：∀a，b∈(0，＋∞)，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(1,\r(ab))，则命题p为( )
A．∃a，b∈(0，＋∞)，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)≥eq \f(1,\r(ab))
B．∀a，b∈(0，＋∞)，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)C．∃a，b∈(0，＋∞)，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)D．∃a，b∉(0，＋∞)，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)【答案】C
【解析】全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题p为∃a，b∈(0，＋∞)，eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)9．已知M，N为全集U的两个不相等的非空子集，若(∁UN)⊆(∁UM)，则下列结论正确的是( )
A．∀x∈N，x∈M B．∃x∈M，x∉N
C．∃x∉N，x∈M D．∀x∈M，x∉∁UN
【答案】D
【解析】∵(∁UN)⊆(∁UM)，∴M⊆N.∴∀x∈M，必有x∈N，∴∀x∈M，x∉∁UN，故选D．
10．已知向量a＝(－8,4m)，b＝(m，－2)，则“m＝－2”是“eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)知a与b共线且方向相同，由a∥b得(－8)×(－2)＝4m2，解得m＝±2，但当m＝2时，a＝(－8,8)，b＝(2，－2)，a与b方向相反，舍去，故m＝－2.因此“m＝－2”是“eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)”的充要条件．
11．若“∃x∈R，ln(x2＋1)－a＝0”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．[0，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[e，＋∞) D．(－∞，0]
【答案】A
【解析】因为“∃x∈R，ln(x2＋1)－a＝0”是真命题，所以a＝ln(x2＋1)≥ln1＝0.
12．(2022·扬州市适应性考试)(多选)下列说法正确的是( )
A．“a>b”是“a2>b2”的既不充分又不必要条件
B．“x＝2”是“1，x,4成等比数列”的充分不必要条件
C．“m>0，n<0”是“方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示双曲线”的必要不充分条件
D．对于函数f(x)，“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的充要条件
【答案】AB
【解析】对于A，当a＝0，b＝－1时，a>b成立，但a2>b2不成立；当a＝－1，b＝0时，a2>b2成立，但a>b不成立，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分又不必要条件，故正确．对于B，由1，x,4成等比数列，得x2＝1×4，解得x＝±2，所以“x＝2”是“1，x,4成等比数列”的充分不必要条件，故正确．对于C，当m>0，n<0时，方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示焦点在x轴上的双曲线，当m<0，n>0时，方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示焦点在y轴上的双曲线，所以“m>0，n<0”是“方程eq \f(x2,m)＋eq \f(y2,n)＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故不正确．对于D，只有当奇函数在x＝0处有意义时才有f(0)＝0，如函数y＝eq \f(1,x)是奇函数，但其图象不经过原点，所以“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的既不充分又不必要条件，故不正确．综上所述，选AB．
13．设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0时，an>0”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由题意知数列{an}的公差d≠0.充分性：若{an}为递增数列，则d>0，故{an}从某项开始均为正数；必要性：存在正整数N0，当n>N0时，an>0，若d<0，则从某项开始an<0，矛盾，故d>0，{an}为递增数列．故选C．
14． (多选)下列四个命题中为真命题的是( )
A．∃x∈(0，＋∞)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))xB．∃x∈(0,1)，lg eq \s\d8(\f(1,2)) x>lg eq \s\d8(\f(1,3)) x
C．∀x∈(0，＋∞)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x>lg eq \s\d8(\f(1,2)) x
D．∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x【答案】BD
【解析】对于A，当x∈(0，＋∞)时，总有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x成立，故为假命题；对于B，当x＝eq \f(1,2)时，有1＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) eq \f(1,2)＝lg eq \s\d8(\f(1,3)) eq \f(1,3)>lg eq \s\d8(\f(1,3)) eq \f(1,2)成立，故为真命题；对于C，当01>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，故为假命题；对于D，∀x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x<115．命题“∀x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，3))，x2－a－2≤0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A．a≥9 B．a≤8
C．a≥6 D．a≤11
【答案】A
【解析】若当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，3))时，x2－a－2≤0恒成立，则a≥x2－2，由于g(x)＝x2－2在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，3))上的最大值为g(3)＝7，故a≥7，即命题为真命题的充要条件是a≥7，因此其一个充分不必要条件是a≥9.
16．a≥5是命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】∀x∈[1，2]，有x2∈[1，4]，则由a≥5，可得∀x∈[1，2]，x2－a≤0成立；反之，∀x∈[1，2]，x2－a≤0成立，可得a≥4.∴a≥5是命题“∀x∈[1，2]，x2－a≤0”为真命题的充分不必要条件．故选A.
二、解答题
17．已知集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－5,x＋1)≤0))))，B＝{x|x2－2x－m<0}．
(1)当m＝3时，求A∩(∁RB)；
(2)若A∩B＝{x|－1【解析】由eq \f(x－5,x＋1)≤0，解得－1所以A＝{x|－1(1)当m＝3时，B＝{x|－1则∁RB＝{x|x≤－1或x≥3}，
所以A∩(∁RB)＝{x|3≤x≤5}．
(2)因为A＝{x|－1此时B＝{x|－218．已知集合A＝{y|y＝2x－1，0(1)A∩B＝A；
(2)A∩B≠∅.
【解析】因为集合A是函数y＝2x－1(0(1)A∩B＝A⇔A⊆B⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤－1，,a＋3>1，))
即－2a的取值范围是(－2，－1]．
(2)当A∩B＝∅时，结合数轴知，a≥1或a＋3≤－1.
即a≥1或a≤－4.故当A∩B≠∅时，a的取值范围是(－4,1)．
19．已知p：eq \f(x－2m,x＋m)<0(m>0)，q：x(x－4)<0，若p是q的既不充分也不必要条件，求实数m的取值范围．
【解析】由eq \f(x－2m,x＋m)<0(m>0)解得－m0，))m无解；若p是q的必要不充分条件，则有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－m≤0，,2m≥4，,m>0，))解得m≥2.因此当p是q的既不充分也不必要条件时，实数m的取值范围是(0,2)．
20．已知p：∃x∈R，mx2＋1≤0，q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，如果命题p，q均为假命题，求实数m的取值范围．
【解析】由p：∃x∈R，mx2＋1≤0，可得m<0，由q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0，可得Δ＝m2－4<0，解得－2名称
自然
数集
正整数集
整数集
有理
数集
实数集
记法
N
N*或N＋
Z
Q
R
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号
表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形
表示
集合
表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，
且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q eq \(⇒,/) p
p是q的必要不充分条件
p eq \(⇒,/) q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p eq \(⇒,/) q且q eq \(⇒,/) p
名称
全称量词命题
存在量词命题
结构
对M中的任意一个x，有p(x)成立
存在M中的元素x，p(x)成立
简记
∀x∈M，p(x)
∃x∈M，p(x)
否定
∃x∈M，p(x)
∀x∈M，p(x)