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【学考复习】2024年高中数学学业水平考试（江苏专用）04第四章 幂函数与二次函数、指数与指数函数、对数与对数函数-讲义
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(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象，如图．
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义．
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增．
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
考点一 幂函数的图象和性质
【例1】已知幂函数f(x)的图象过点(9,3)，则函数f(x)的图象大致是( )
归纳点拨
(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．
(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．
(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
对点训练
1．已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－2是幂函数，且为偶函数，则实数m＝( )
A．2或－1 B．－1 C．4 D．2
2．已知a＝2 eq \s\up15(eq \f(3,4)) ，b＝3 eq \s\up15( eq \f (1,2)) ，c＝4 eq \s\up15( eq \f (1,3)) ，则a，b，c的大小关系为( )
A．a
考点二 二次函数的解析式
【例2】 (1)函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0．请写出函数f(x)的一个解析式__________．(只要写出一个即可)
(2)(2023·郑州外国语学校月考)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1, f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则该二次函数的解析式为__________．
归纳点拨
求二次函数解析式的三个策略
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式．
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式．
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
对点训练
1．已知二次函数f(x)与x轴的两个交点坐标分别为(0,0)和(－2,0)，且有最小值－1，则f(x)＝__________．
2．已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝__________．
考点三 二次函数的图象与性质
【例3】 (多选)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1．给出下面四个结论正确的为( )
A．b2>4ac B．2a－b＝1
C．a－b＋c＝0 D．5a
(1)研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向．
(2)求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件．
对点训练
1．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )
考点四 二次函数的单调性与最大(小)值
【例4】已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值．
归纳点拨
闭区间上二次函数最值问题的解法
抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解．
对点训练
1．函数f(x)＝x2＋2x在区间[t，t＋1]上的最小值为8，求实数t的值，如何求解？
2．已知函数y＝x2－2x＋3在[0，m]上的最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为( )
A．[0,1] B．[1,2] C．(1,2] D．(1,2)
考点五 二次函数的恒成立问题
【例5】(1)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围是__________．
(2)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是__________．
归纳点拨
不等式恒成立求参数范围，一是分离参数；二是不分离参数，直接借助于函数图象求最值．这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题．
1．已知a∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，则x的取值范围是________．
2．已知函数f(x)＝x2－x＋1，在区间[－1,1]上f(x)>2x＋m恒成立，则实数m的取值范围是__________．
考点六 指数幂的运算
【例6】1．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3\f(3,8))) eq \s\up15(－eq \f(2,3)) ＋(0．002) eq \s\up15(－eq \f(1,2)) －10×(eq \r(5)－2)－1＋(eq \r(2)－eq \r(3))0＝__________．
[解析] 原式＝(－1) eq \s\up15(－eq \f(2,3)) ×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3\f(3,8))) eq \s\up15(－eq \f(2,3)) ＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,500))) eq \s\up15(－eq \f(1,2)) －eq \f(10,\r(5)－2)＋1
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(27,8))) eq \s\up15(－eq \f(2,3)) ＋50 eq \s\up15( eq \f (1,2)) －10×(eq \r(5)＋2)＋1＝eq \f(4,9)＋10eq \r(5)－10eq \r(5)－20＋1＝－eq \f(167,9)．
[答案] －eq \f(167,9)
归纳点拨
(1)指数幂的运算首先将根式、分式统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序．
(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．
(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．
对点训练
1． (a>0，b>0)＝________．
2．若x eq \s\up15( eq \f (1,2)) ＋x eq \s\up15(－eq \f(1,2)) ＝3，则eq \f(x eq \s\up15(eq \f(3,2)) ＋x eq \s\up15(－eq \f(3,2)) －3,x2＋x－2－2)的值为______．
考点七 指数函数的图象及应用
【例7】 (1)(2022·洛阳市高三统考)已知f(x)＝(x－a)(x－b)(a>b)的大致图象如图所示，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是( )
(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
归纳点拨
与指数函数有关的图象问题的求解方法
(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．
对点训练
1．(1)若曲线y＝|2x－1|与直线y＝b有两个公共点，求b的取值范围．
(2)函数y＝|2x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围是什么？
(3)直线y＝2a与函数y＝|ax－1|(a>0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是什么？
2．函数f(x)＝2|x－1|的大致图象是( )
3．若存在负实数使得方程2x－a＝eq \f(1,x－1)成立，则实数a的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,2) D．(0,1)
考点八 比较指数式的大小
【例8】(1)已知a＝2 eq \s\up15( eq \f (4,3)) ，b＝4 eq \s\up15(eq \f(2,5)) ，c＝25 eq \s\up15( eq \f (1,3)) ，则( )
A．b
A．a＋b≤0 B．a－b≥0
C．a－b≤0 D．a＋b≥0
归纳点拨
比较指数式的大小的方法
(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小．
(2)不能化成同底数的，一般引入“0”或“1”等中间量比较大小．
对点训练
1．若a＝0．30．7，b＝0．70．3，c＝1．20．3，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>b>a
C．b>c>a D．a>c>b
考点九 解指数方程或不等式
【例9】(1)已知实数a≠1，函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x，x≥0，,2a－x，x<0，))若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为__________；
(2)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，则实数a的取值范围是__________．
归纳点拨
指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．
对点训练
1．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x2＋2x－1的值域是( )
A．(－∞，4) B．(0，＋∞)
C．(0,4] D．[4，＋∞)
考点十 指数函数性质的综合应用
【例10】已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))ax2－4x＋3．
(1)若a＝－1，求f(x)的单调区间；
(2)若f(x)有最大值3，求a的值；
(3)若f(x)的值域是(0，＋∞)，求a的值．
归纳点拨
涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．
对点训练
1．若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)>0的解集为________．
考点十一 对数的运算
【例11】已知2a＝5，lg83＝b，则4a－3b＝( )
A．25B．5
C．eq \f(25,9)D．eq \f(5,3)
归纳点拨
(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并．
(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后利用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算．
(3)ab＝N⇔b＝lgaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．
对点训练
1．计算：eq \f(1－lg632＋lg62·lg618,lg64)＝__________．
2．计算：lg5[4 eq \s\up15(eq \f(1,2)lg210) －(3eq \r(3)) eq \s\up15( eq \f (2,3)) －7lg72]＝___________________________________________________．
考点十二 对数函数的图象及应用
【例12】 (1)函数y＝lneq \f(1,|2x－3|)的图象为( )
(2)当0
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
对点训练
1．函数y＝eq \f(1,lg3x)的图象大致是( )
2．已知正实数a，b，c满足：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a＝lg2a，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))b＝lg2b，c＝lg eq \s\d8(\f(1,2)) c，则( )
A．a
【例13】 (1)设a＝lg52，b＝lg83，c＝eq \f(1,2)，则( )
A．c
C．lgbc>lgab>lgcaD．lgba>lgcb>lgac
归纳点拨
对数函数值大小比较的方法
(1)单调性法：在同底的情况下直接得到大小关系，若不同底，先化为同底．
(2)中间量过渡法：寻找中间数联系要比较的两个数，一般用“0”或“1”或其他特殊值进行“比较传递”．
(3)图象法：根据图象观察得出大小关系．
对点训练
1．设a＝lg412，b＝lg515，c＝lg618，则( )
A．a>b>cB．b>c>a
C．a>c>bD．c>b>a
考点十四 解对数不等式
【例14】 (1)设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x，x>0，,lg eq \s\d8(\f(1,2)) －x，x<0.))
若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(0,1)
(2)已知不等式lgx(2x2＋1)
(1)在解决与对数函数相关的不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．
(2)对数函数的单调性和底数a的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按0
对点训练
1．函数y＝lg0．4(－x2＋3x＋4)的值域是( )
A．[－2,0)B．[－2，＋∞)
C．(－∞，－2]D．[2，＋∞)
2．已知函数f(x)＝lga(8－ax)(a>0，且a≠1)，若f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是__________．
一、选择题
1．若a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,5))) eq \s\up15( eq \f (2,3)) ，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up15( eq \f (1,3)) ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a
A．(－1,2) B．[－1,2]
C．(1,2) D．[1,2]
3．(2023·南京秦淮中学开学考)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c．若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
4．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值恒大于零，则x的取值范围是( )
A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C．(1,2) D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
5．(2022·江苏南通期中)(多选)已知点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，\f(1,2)))在幂函数f(x)＝(a－1)xb的图象上，则函数f(x)( )
A．是奇函数
B．是偶函数
C．在(0，＋∞)上单调递增
D．在(0，＋∞)上单调递减
6．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象与x轴的交点中至少有一个在原点右侧，则实数m的取值范围是( )
A．[0,1] B．(0,1)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
7．(多选)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，则下列选项正确的是( )
A．函数f(x)的值域为[－4，＋∞)
B．f(x)的零点有4个
C．不等式f(x＋2)<5的解集为(－7,3)
D．方程|f(x)|＝4的根有4个
8．已知函数f(x)＝x2－2ax＋a在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g(x)＝eq \f(fx,x)在区间(1，＋∞)上一定( )
A．有最小值 B．有最大值
C．单调递减 D．单调递增
9．化简4a eq \s\up15( eq \f (2,3)) ·b eq \s\up15(－eq \f(1,3)) ÷eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)a eq \s\up15(－eq \f(1,3)) b eq \s\up15( eq \f (2,3)) ))的结果为( )
A．－eq \f(2a,3b) B．－eq \f(8a,b)
C．－eq \f(6a,b)D．－6ab
10．已知函数f(x)＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是( )
A．(1,6)B．(1,5)
C．(0,5)D．(5,0)
11．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2))) eq \s\up15(eq \r(－x2＋x＋2)) 的单调增区间是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,2)))B．(－∞，－1]
C．[2，＋∞)D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，2))
12．设m，n∈R，则“m
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
13． (多选)已知实数a，b满足等式2022a＝2023b，则下列关系式成立的是( )
A．0
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
15．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x2＋1，x≤2，,fx－3，x>2，))则f[f(4)]＝( )
A．1B．2
C．3D．4
16．已知函数f(x)＝1＋lg2x－lg2(4－x)，则( )
A．y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称
B．y＝f(x)的图象关于点(2,1)对称
C．f(x)在(0,4)上单调递减
D．f(x)在(0,4)上不单调
二、解答题
17．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3．
(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．
18．已知函数g(x)＝ax2－2ax＋b＋1(a≠0，b<1)在区间[2,3]上有最大值4，最小值1．
(1)求a，b的值；
(2)设f(x)＝eq \f(gx,x)，不等式f(2x)－k·2x≥0对x∈[－1，1]恒成立，求实数k的取值范围．
19．已知函数f(x)＝ax2＋2x＋b(a，b是常数且a>0，a≠1)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，0))上有最大值3和最小值eq \f(5,2)，试求a、b的值．
20．已知函数f(x)＝(lg2x－2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(lg4x－\f(1,2)))．
(1)当x∈[1,4]时，求该函数的值域；
(2)若f(x)≤mlg2x对x∈[4,16]恒成立，求m的取值范围．
函数
y＝ax2＋bx＋c
(a>0)
y＝ax2＋bx＋c
(a<0)
图象
(抛物线)
定义域
R
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
对称轴
x＝－eq \f(b,2a)
顶点坐标
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
奇偶性
当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))
上是减函数；
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))
上是增函数
在eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上是增函数；
在eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上是减函数
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