【学考复习】2024年高中数学学业水平考试（江苏专用）05第五章 三角函数-讲义

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1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角,和轴线角.))
(3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
3．任意角的三角函数
(1)设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y)，则sinα＝y，csα＝x，tanα＝eq \f (y,x)(x≠0)．
(2)任意角的三角函数的定义(推广)
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝eq \f (y,r)，csα＝eq \f (x,r)，tanα＝eq \f (y,x)(x≠0)．
(3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
4．常用结论
（1）角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．
（2）象限角
（3）轴线角
5．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系：eq \f (sinα,csα)＝tanαeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠\f (π,2)＋kπ，k∈Z)).
6．三角函数的诱导公式
7．常用结论
（1）同角三角函数的基本关系的常见变形
sin2α＝1－cs2α＝(1＋csα)(1－csα)；cs2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα.
（2）诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq \f (π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
（3）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
8．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sinαcsβ±csαsinβ.
cs(α∓β)＝csαcsβ±sinαsinβ.
tan(α±β)＝eq \f (tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).
9．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin2α＝2sinαcsα.
cs2α＝cs2α－sin2α＝2cs2α－1＝1－2sin2α.
tan2α＝eq \f (2tanα,1－tan2α).
10．辅助角公式
asinα＋bcsα＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sinφ＝eq \f (b,\r(a2＋b2))，csφ＝eq \f (a,\r(a2＋b2)).
11．两角和与差的正切公式的变形
(1)tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)．
(2)tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)．
12．倍角公式的变形
(1)降幂公式：sinαcsα＝eq \f (1,2)sin2α；sin2α＝eq \f (1－cs2α,2)；cs2α＝eq \f (1＋cs2α,2).
(2)升幂公式：1±sin2α＝(sinα±csα)2；1＋cs2α＝2cs2α；1－cs2α＝2sin2α.
13．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，1))，(π，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (3π,2)，－1))，(2π，0)．
余弦函数y＝csx，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (π,2)，0))，(π，－1)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (3π,2)，0))，(2π，1)．
14．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质(下表中k∈Z)
考点一 象限角与终边相同的角
【例1】若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－eq \r(3)x上，则角α的取值集合是( )
A．{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝2kπ－\f (π,3)，k∈Z))
B．{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝2kπ＋\f (2π,3)，k∈Z))
C．{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f (2π,3)，k∈Z))
D．{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f (π,3)，k∈Z))
【答案】D
【解析】因为直线y＝－eq \r(3)x的倾斜角是eq \f (2π,3)，tanα＝－eq \r(3)，
所以终边落在直线y＝－eq \r(3)x上的角的取值集合为{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝2kπ－\f (π,3)，k∈Z))或{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝2kπ＋\f (2π,3)，k∈Z))，
即{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(α＝kπ－\f (π,3)，k∈Z)).故选D．
归纳点拨
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角．
(2)确定kα，eq \f (α,k)(k∈N*)的终边位置的方法先写出kα或eq \f (α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq \f (α,k)的终边所在的位置．
对点训练
1．集合{αeq \b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f (π,4)≤α≤kπ＋\f (π,2)，k∈Z))中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
【答案】C
【解析】当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq \f (π,4)≤α≤2nπ＋eq \f (π,2)，此时α表示角的终边的范围与eq \f (π,4)≤α≤eq \f (π,2)表示角的终边的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋eq \f (π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq \f (π,2)，此时α表示角的终边的范围与π＋eq \f (π,4)≤α≤π＋eq \f (π,2)表示角的终边的范围一样，故选C．
2．若角α是第二象限角，则eq \f (α,2)是第________象限角．
【答案】一或三
【解析】∵α是第二象限角，∴eq \f (π,2)＋2kπ