河南省南阳华龙高级中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

这是一份河南省南阳华龙高级中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题，共13页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知全集，，，则，下列各组函数是同一函数的是，设，，，则，函数是指数函数，则有，函数的定义域为，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
2.请将答案正确填写在答题卡上。
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A.上课迟到的学生B.2023年高考数学难题
C.所有有理数D.小于的正整数
2.命题“，”的否定是（ ）
A.，B.，
C.，D.，
3.已知全集，，，则（ ）
A.B.C.D.
4.下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与；②与；
③与；④与.
A.①②B.①③C.③④D.①④
5.已知下列表格表示的是函数，则的值为（ ）
A.B.C.0D.1
6.设，，，则（ ）
A.B.C.D.
7.函数是指数函数，则有（ ）
A.或B.
C.D.，且
8.函数的定义域为（ ）
A.B.C.D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.下列说法正确的是（ ）
A.普查是要对所有的对象进行调查
B.我国的人口普查是为了了解我国人口的分布情况
C.当普查的对象很少时，普查是很好的调查方式，但当普查的对象很多时，则要耗费大量的人力、物力和财力
D.普查不是在任何情况下都能实现的
10.已知实数，，，，则下列说法正确的有（ ）
A.若，则
B.若，，则
C.若，，则
D.若，则
11.下列计算中，不正确的是（ ）
A.B.C.D.
12.已知函数的图象经过点，则（ ）
A.的图象经过点
B.为奇函数
C.在定义域上单调递减
D.在内的值域为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知正实数，满足，则的最小值是________.
14.函数的定义域是________.
15.函数（，且）的图像恒过的定点的坐标为________.
16.已知函数，则的值是________.
四、解答题（本题共6小题，共70分.17题10分，18-22题每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.已知全集为，集合，集合.
（1）求；
（2）若，且，求实数的取值范围.
18.定义在上的奇函数在上的图象如图所示.
（1）请在坐标系中补全函数的图象；
（2）结合图象求不等式的解集.
19.比较下列各组中两个数的大小：
（1），；
（2），；
（3），.
20.计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
21.某公司有1000名员工，其中：高层管理人员为50名，属于高收入者；中层管理人员为150名，属于中等收入者；一般员工为800名，属于低收入者.要对这个公司员工的收入情况进行调查，欲抽取100名员工，应当怎样进行抽样？
22.已知函数，.
（1）已知，求实数的值；
（2）当时，求在区间上的值域.
2023-2024学年度高中数学12月月考答案
1．D
【分析】根据集合的并运算法则进行运算即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：D.
2．D
【分析】根据复数代数形式的除法法则计算可得.
【详解】.
故选：D
3．A
【分析】根据集合关系即可判断.
【详解】因为，
所以，是的充分而不必要条件.
故选：A.
4．D
【分析】根据二倍角余弦公式求解.
【详解】，
.
故选：D.
5．B
【分析】根据向量的坐标运算即可求解.
【详解】由可得，即，故，
故选：B
6．C
【分析】设经过n年之后，每年度平均每户收入增加y元，且，解不等式可得答案．
【详解】设经过n年之后，每年度平均每户收入增加y元，
由题得，即，
则，，
又，则．所以所求年份大约是2035年．
故选：C.
7．C
【分析】利用零点存在定理计算出满足条件的区间即可.
【详解】易知函数在上单调递增，
又，，
由函数的零点存在定理可知，函数的零点所在的一个区间是．
故选：C
8．D
【分析】根据题意，求出函数的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得在上为增函数，再证明函数为奇函数，最后由，分析可得答案．
【详解】根据题意，函数，其导数函数，
因为，所以在上恒成立，
则在上为增函数；，
所以为奇函数，所以，
又由，则；
故选：D．
9．BD
【分析】A项，通过相关系数的定义即可得出结论；B项，通过求出即可求出的值；C项，通过比较相关指数即可得出哪个模型拟合更好；D项，通过计算即可求出.
【详解】由题意，
A项，
两个变量的相关系数为，越小, 与 之间的相关性越弱,
故A 错误,
对于 B,
随机变量 服从正态分布 , 由正态分布概念知若 , 则 ,
故 B 正确,
对于 ,
在回归分析中, 越接近于 1 , 模型的拟合效果越好,
∴ 为 0.98 的模型比 为 0.89 的模型拟合的更好
故 C 错误,
对于 ,
某人在 10 次答题中, 答对题数为 , 则数学期望 ,
故 D 正确.
故选：BD.
10．BD
【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.
【详解】解：对A：若，，则或与相交或与异面，故选项A错误；
对B：若，，则，故选项B正确；
对C：若，，则或与相交，故选项C正确；
对D：若，，，则，故选项D正确.
故选：BD.
11．AB
【分析】先由函数的最小正周期，求出；根据余弦函数的性质可判断B,C选项，再由三角函数图像平移后可判断D选项.
【详解】由，得，故选项A正确；
令，，解得，，当时，，所以是图象的一条对称轴，故选项B正确；
当时，，余弦函数在此区间不单调，故选项C错误；
依题意平移后的解析式为，故选项D错误．
故选：AB．
12．CD
【分析】先求出导函数，再逐项分析.
【详解】是奇函数，是偶函数，因此是奇函数，A错误；
因为，又，所以在处的切线是 ，即，B错误；
令，得，当时，，当时，，因此在和单调递增，当时，，在单调递减，故当时，在区间不单调，C正确；
因为，故对任意实数，，D正确；
故选：CD.
13．
【分析】因为，展开利用基本不等式求解即可.
【详解】因为正实数满足,
所以,
当且仅当即时等号成立,
所以的最小值为.
故答案为:.
14．
【分析】根据独立事件的乘法公式直接求解.
【详解】人中至少有人命中环即人命中环或人命中环，
故所求概率，
故答案为：.
15．
【分析】对求导，求出切线的斜率，然后利用点斜式求解即可.
【详解】因为，
所以，
的图象在处的切线斜率为，
又，所以切点为，
所以的图象在处的切线方程为：
，即．
故答案为：.
16．
【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．
【详解】因为，则，所以，即为偶函数，
当时，单调递增，
根据偶函数的对称性可知在上单调递减，距离对称轴越远，函数值越大，
由可得，
两边同时平方可得，，
解得，所以的取值范围是．
故答案为：．
17．(1)中位数为，平均数为
(2)
【分析】（1）根据中位数和平均数的计算公式即可求解；
（2）列举法求解即可.
【详解】（1）甲成绩从小到大排列如下:
，
甲成绩的中位数为，
平均数为；
（2）乙的5次成绩有3次“破十”，记为，有2次没“破十”，记为，
记恰有2次成绩“破十”为事件，
则从乙的5次成绩中任选3次的结果有：
共10种，
其中满足事件的结果有共6种，
，即恰有2次成绩“破十”的概率为.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角函数的两角和的正弦公式，可求得答案;
（2）由余弦定理结合基本不等式可求得，再利用三角形面积公式求得答案.
【详解】（1）根据正弦定理及，
得.
∵，
∴.
∵，
∴.
（2）由（1）知，又，
由余弦定理得，
即，
∵，
∴，即，
当且仅当时取等号.
∴.
∴的最大值为.
19．(1)见解析
(2)
【分析】(1)利用线面垂直的性质定理和判定定理可证明;(2)建系,利用空间向量的坐标运算可求解.
【详解】（1）在直三棱柱中，平面,平面,
所以 ，
又由题可知，，
,平面
且,
所以平面,
又因为平面,所以.
（2）以为坐标原点，分别为轴建系如图，
由，，可得，
则有
设平面的一个方向量为 ,
所以 即 令则，
所以
因为平面,所以为平面的一个法向量，
所以,,
即二面角的余弦值等于.
20．(1)
(2)
【分析】（1）将点代入求解即可；
（2）由指数函数的单调性求解即可.
【详解】（1）∵指数函数（，且）过点，
∴，∴解得，
∴函数的解析式为.
（2）若，则，
∴，
由指数函数的单调性知，在上单调递减，
∴，解得，
∴实数的取值范围是.
21．(1)；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）应用独立乘法公式、互斥事件加法求甲、乙两人兑换同一种商品的概率；
（2）根据题设确定的可能取值并确定对应概率，即可写出分布列，进而求期望.
【详解】（1）由题可知，甲、乙两人兑换同一种商品的概率为；
（2）由题意，兑换，，三种商品所需的积分分别为800，900，1000，
则的取值可能为0，100，200，300，400，
，，
，，
，
则的分布列为
.
22．(1)减区间为，增区间为，极小值为，无极大值
(2)
【分析】（1）先求导，从而得到单调区间，根据单调性可得极值；
（2）由条件可知恒成立，再分离变量求最值即可求解.
【详解】（1）函数的定义域为，
当时，
求导得，整理得：.
由得；由得
从而，函数减区间为，增区间为
所以函数极小值为，无极大值.
（2）由已知时，恒成立，即恒成立，
即恒成立，则.
令函数，由知在单调递增，
从而.
经检验知，当时，函数不是常函数，所以a的取值范围是.0
1
2
3
0
2
1
4
0
100
200
300
400