人教版13.3.1 等腰三角形学案

这是一份人教版13.3.1 等腰三角形学案，共8页。学案主要包含了知识梳理，经典例题，变式训练1，变式训练2，变式训练3，变式训练4，变式训练5，课堂训练等内容，欢迎下载使用。

知识点1：等腰三角形的判定定理
判定1：有两边相等的三角形是等腰三角形；
判定2：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”），如图所示．

证明：在△ABC中，∠B=∠C，作AD⊥BC于D．则

所以△ABD≌△ACD（AAS）．
所以，AB=AC．
2、 注意：
①本定理的符号表示为：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC．
②本定理可以判定一个三角形是等腰三角形，同时也是今后证明两条线段相等的重要依据．
另外，等腰三角形的性质和判定条件和结论正好相反，要注意区分，不要混淆．
【经典例题】
【例题1】如图，若AD平分∠BAC，AD⊥BC，则△ABC是否是等腰三角形？
【变式训练1】如图，若AD⊥BC，且D是BC中点，则△ABC是否是等腰三角形？
【例题2】 下列条件中,不能判定△ABC是等腰三角形的是( )
A.a=3,b=3,c=4
B.a∶b∶c=2∶3∶4
C.∠B=50°,∠C=80°
D.∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2
【变式训练2】（1）．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3 cm，则CD＝___.
（2）.如图，AB＝AC，FD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝___.
【例题3】如图,正方形网格中的每个小正方形边长都是1.已知A,B是两格点,若△ABC为等腰三角形,且S△ABC=1.5,则满足条件的格点C有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【变式训练3】如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.
求证：△BDE是等腰三角形．
【例题4】如图,AD平分∠BAC,AD⊥BD,垂足为D,DE∥AC.求证:△BDE是等腰三角形.
【变式训练4】如图，DB＝DC，∠ABD＝∠ACD，求证：AB＝AC.
【变式训练5】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．
【课堂训练】
选择题
1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（ ）
2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：
①AE=BD②CN=CM③MN∥AB其中正确结论的个数是（ ）
二．填空题（共1小题）
3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于 ．
三．解答题（共15小题）
4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．
5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．
6．已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．
7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．
（1）∠E等于多少度？（2）△DBE是什么三角形？为什么？
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．
9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．
10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，求证：BD=2CE．
【课后训练】
1．下列三角形：①有两个角等于60°；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形。其中是等边三角形的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④
2．下列推理错误的是（ ）
A．因为∠A=∠B=∠C，所以△ABC是等边三角形
B．因为AB=AC，且∠B=∠C，所以△ABC是等边三角形
C．因为∠A=60°，∠B=60°，所以△ABC是等边三角形
D．因为AB=AC，且∠B=60°，所以△ABC是等边三角形
3．已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2=ab+ac+bc，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形B．直角三角形 C．等边三角形D．等腰直角三角形
4．如图，已知∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1=1，则△A4B4A5的边长为（ ）
A．8B．16C．32D．64
5．如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（ ）
A．△ABD≌△EBCB．△NBC≌△MBDC．DM=DCD．∠ABD=∠EBC
6．如图，在等边△ABC中，∠BAD=20°，AE=AD，则∠CDE的度数是（ ）
A．10°B．12.5°C．15°D．20°
7．如图中左边图形，连接等边三角形的各边中点将得到一个小等边三角形，右边的图形就是这样得到的，请问右边图形中的阴影部分面积大还是空白部分面积大（ ）
A．阴影部分面积大B．空白部分面积大
C．一样大D．不确定
8．如图，在△ABC中，AB=BC=AC，DE⊥AB，DF⊥AC，请比较△AEF和四边形EBCF的周长的大小。
9．如图，点D、E、F分别在等边三角形ABC的边AB、BC、CA的延长线上，且BD=CE=AF，说明△DEF为等边三角形。
。
10．如图，设O为△ABC内一点，且∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，P为任意一点（不是O）。求证：PA+PB+PC＞OA+OB+OC。


A．
5cm
B．
3cm
C．
2cm
D．
不能确定

A．
0
B．
1
C．
2
D．
3