【学考复习】2024年高中数学学业水平（新教材专用） 04第四章 指数函数与对数函数-讲义

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TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc18570" \l "_Tc147996536" 知识梳理 PAGEREF _Tc147996536 \h 错误！未定义书签。
\l "_Tc6915" 考点精讲精练 PAGEREF _Tc6915 \h 5
\l "_Tc25961" 考点一：指数 PAGEREF _Tc25961 \h 5
\l "_Tc5558" 考点二：指数函数的概念 PAGEREF _Tc5558 \h 5
\l "_Tc6019" 考点三：指数函数的图象和性质 PAGEREF _Tc6019 \h 6
\l "_Tc22126" 考点四：对数 PAGEREF _Tc22126 \h 8
\l "_Tc5988" 考点五：对数函数的概念 PAGEREF _Tc5988 \h 9
\l "_Tc15181" 考点六：对数函数的图象和性质 PAGEREF _Tc15181 \h 10
\l "_Tc15203" 考点七：不同函数增长差异 PAGEREF _Tc15203 \h 12
\l "_Tc22303" 考点八：函数的零点与方程的解 PAGEREF _Tc22303 \h 13
\l "_Tc20901" 考点九：用二分法求方程的近似解 PAGEREF _Tc20901 \h 14
\l "_Tc21460" 考点十：函数模型的应用 PAGEREF _Tc21460 \h 15
\l "_Tc20936" 指数函数与对数函数实战训练 PAGEREF _Tc20936 \h 19
1、根式的概念及性质
（1）概念：式子叫做根式，其中叫做根指数，叫做被开方数．
（2）性质：
①(且)；
②当为奇数时，；当为偶数时，
2、分数指数幂
①正数的正分数指数幂的意义是(，，且)；
②正数的负分数指数幂的意义是(，，且)；
③0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．
3、指数幂的运算性质
①；
②；
③.
4、指数函数及其性质
（1）指数函数的概念
函数(，且)叫做指数函数，其中指数是自变量，函数的定义域是．
（2）指数函数的图象和性质
5、对数的概念
（1）对数：一般地，如果，那么数 叫做以为底的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数.
（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数；自然对数，以无理数e=2.71828…为底数的对数.
（3）对数式与指数式的互化：.
6、对数的性质、运算性质与换底公式
（1）对数的性质
根据对数的概念，知对数具有以下性质：
①负数和零没有对数，即；
②1的对数等于0，即；
③底数的对数等于1，即；
④对数恒等式.
（2）对数的运算性质
如果，那么：
①；
②；
③.
（3）对数的换底公式
对数的换底公式：.
换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以为底的自然对数.
换底公式的变形及推广：
①；
②；
7、对数函数及其性质
（1）对数函数的定义
形如(，且)的函数叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是．
（2）对数函数的图象与性质
8、函数的零点
对于一般函数，我们把使成立的实数叫做函数的零点．注
意函数的零点不是点，是一个数.
9、函数的零点与方程的根之间的联系
函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与轴的交点的横坐标
即方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
10、零点存在性定理
如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是方程的根.
注：上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.
11、常见函数模型
（1）指数函数模型（且，）
（2）对数函数模型（且，）
12、指数、对数、幂函数模型性质比较
考点一：指数
真题讲解
例题1．（2023春·福建·高二统考学业考试）已知，，则的值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
例题2．（2023秋·广东·高三统考学业考试）已知，则（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·山西·高二统考学业考试） ．
真题演练
1．（2023秋·广东·高三统考学业考试）下列运算错误的是（ ）
A．a3+a3=2a6B．a6÷a-3=a9
C．a3·a3=a6D．（-2a2）3=-8a6
2．（2023春·浙江绍兴·高二绍兴一中校考学业考试）计算的结果为（ ）
A．B．C．D．
3．（2023·全国·高一学业考试）计算： .
考点二：指数函数的概念
真题讲解
例题1．（2023春·河北·高三统考学业考试）若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或B．
C．D．
例题2．（2023·河北·高三学业考试）已知函数 的定义域和值域都是 ，则 .
例题3（2023·全国·高一专题练习）函数①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是指数函数的是 ．
真题演练
1．（2023·全国·高一专题练习）下列函数：①；②；③；④．其中为指数函数的个数是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·全国·高一专题练习）若函数是指数函数，则等于（ ）
A．或B．C．D．
3．（2023春·湖南·高二统考学业考试）已知函数（，且）的图象过点，则 .
考点三：指数函数的图象和性质
真题讲解
例题1．（2023春·浙江金华·高二学业考试）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（ ）

A．B．
C．D．
例题2．（2023秋·福建·高二统考学业考试）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
例题3．（2023春·海南·高一统考学业考试）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
例题4．（2023·广东·高二统考学业考试）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数a满足，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题5．（2023春·福建·高二统考学业考试）函数，.
(1)求函数的定义域；
(2)若为奇函数，求m的值；
(3)当时，不等在恒成立，求k的取值范围.
真题演练
1．（2023·湖南衡阳·高二统考学业考试）函数在区间上的最大值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2023春·浙江·高二学业考试）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度可由公式求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有一物体放在的空气中冷却，物体的温度为， 再过后物体的温度为，则该物体的初始温度约为（ ）（结果精确到个位）
A．B．C．D．
3．（2023·河北·高三学业考试）如图是指数函数①y=；②y=；③y=cx；④y=dx的图象，则，b，c，d与1的大小关系是（ ）
A．a4．（2023·广东·高三学业考试）函数且（且）的图象必经过定点 ．
5．（2023春·宁夏银川·高二统考学业考试）已知函数的图象经过点．
(1)求的解析式；
(2)求函数在区间上的值域．
考点四：对数
真题讲解
例题1．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）下列算式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·天津·高二学业考试）已知，，则的值为（ ）
A．B．3C．4D．8
例题3．（2023·山西太原·高二太原师范学院附属中学校考学业考试）的值是（ ）
A．1B．C．D．2
例题4．（2023·河北·高三学业考试） ．
真题演练
1．（2023·浙江温州·高二统考学业考试）（ ）
A．B．3C．D．
2．（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）已知，那么（ ）
A．2B．C．D．
3．（2023·重庆·高二统考学业考试）（ ）
A．70B．C．3
4．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）已知，，那么用a，b表示应为（ ）
A．B．C．D．
考点五：对数函数的概念
真题讲解
例题1．（2023·全国·高一专题练习）下列函数是对数函数的是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高一专题练习）在中，实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例题3．（2023秋·高一课时练习）若函数是对数函数，求的值.
真题演练
1．（多选）（2023·全国·高一专题练习）下列函数中为对数函数的是（ ）
A．B．
C．D．（是常数）
2．（2023·全国·高一专题练习）对数函数的图象过点，则对数函数的解析式为 .
3．（2023·全国·高一专题练习）函数是对数函数，则实数a＝ .
考点六：对数函数的图象和性质
真题讲解
例题1．（2023·广东·高三学业考试）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023春·河北·高二统考学业考试）若函数对恒有意义，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例题4．（2023春·新疆·高二统考学业考试）已知函数.
(1)求的定义域；
(2)判断函数的奇偶性.
例题5．（2023·全国·高一学业考试）已知函数.
（1）若函数的值域为，求实数的取值范围；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.
真题演练
1．（2023春·天津河北·高二学业考试）设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023秋·广东·高三统考学业考试）函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·河北·高三学业考试）函数的单调递减区间是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·广东·高三统考学业考试）已知函数为偶函数．
(1)求的值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
（2023·全国·高一学业考试）设函数 ．若函数有最小值，且无最大值，则实数的取值范围是 ．
考点七：不同函数增长差异
真题讲解
例题1．（2023秋·全国·高一随堂练习）下列函数增长速度最快的是（ ）
A．B．
C．D．
例题2．（2023秋·浙江·高一校联考期末）有一组实验数据如下表所示：
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2022·全国·高一专题练习）某国2013年至2016年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：
（1）画出函数图象，猜想y与x之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
（2）利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
（3）利用关系式预测2030年该国的国内生产总值．
真题演练
1．（2022秋·安徽六安·高一校考阶段练习）某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为 ．
2．（2023秋·广东·高三统考学业考试）在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系表达式为.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到12？
3．（2022秋·海南省直辖县级单位·高一海南中学校考阶段练习）声强级(单位:dB)由公式给出,其中I为声强(单位:).
(1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为.求人听觉的声强级范围.
(2)平时常人交谈时的声强约为,求其声强级.
考点八：函数的零点与方程的解
真题讲解
例题1．（2023·湖南衡阳·高二统考学业考试）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例题3．（2023·天津·高二学业考试）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
例题4．（2023·湖南衡阳·高二校联考学业考试）若函数在区间上至少有一个零点，则实数a的取值范围为 ．
例题5．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知 .
(1)判断的奇偶性；
(2)判断在[1,+∞）上的单调性，并说明理由；
(3)若方程有四个不同的实数根，求实数m的取值范围.
真题演练
1．（2023春·新疆·高二统考学业考试）函数的零点是（ ）
A．B．
C．0D．1
2．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）函数有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023·辽宁沈阳·高二学业考试）已知函数有两个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．（2023秋·广东·高三统考学业考试）函数的零点所在的区间为（ ）
A．B．C．D．
考点九：用二分法求方程的近似解
真题讲解
例题1．（2022春·浙江·高二统考学业考试）利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ）
A．B．C．D．
例题2．（2023·全国·高一专题练习）用二分法求函数在区间上的零点，要求误差不超过0.01时，计算中点函数值的次数最少为（ ）
A．6B．7C．8D．9
例题3．（多选）（2023·全国·高一假期作业）下列函数零点能用二分法求解的是（ ）
A．B．
C．D．
真题演练
1．（2022秋·广西钦州·高二校考学业考试）用二分法求的近似解时，列出下表，则方程的解所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
2．（多选）（2023秋·浙江丽水·高一统考期末）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高一假期作业）在用二分法求方程在上的近似解时，经计算，，，，即可得出方程的一个近似解为 （精确度为0.2）.
考点十：函数模型的应用
真题讲解
例题1．（2023春·福建·高二统考学业考试）厦门市实行“阶梯水价”，具体收费标准如表所示
若小曾同学用水量为16，则应交水费（ ）（单位：元）
A．48B．60C．72D．80
例题2．（2023春·湖南·高二统考学业考试）为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（ ）

A．，B．，
C．，D．，
例题3．（2023·全国·高一学业考试）珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，每吨的销售价格为()万元，另外生产吨珍珠棉还需要投入其他成本万元.
(1)写出该公司本季度增加的利润万元与x之间的函数关系：
(2)当x为多少万元时？公司在本季度增加的利润最大，最大为多少万元？
例题4．（2023·安徽·高二马鞍山二中校考学业考试）2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，经过市场分析，全年投入固定成本2500万元，每生产百辆新能源汽车需另投入成本万元，且，由市场调研知，每一百辆车的售价为500万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.（注：利润＝销售额－成本）
(1)求2023年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式.
(2)当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
真题演练
1．（2023·江苏·高三统考学业考试）在一次实验中，某小组测得一组数据，并由实验数据得到下面的散点图.由此散点图，在区间上，下列四个函数模型为待定系数）中，最能反映函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·广东·高三学业考试）某市出租车的票价按以下规则制定：起步公里为2.6公里，收费10元；若超过2.6公里的，每公里按2.4元收费.
(1)设A地到B地的路程为4.1公里，若搭乘出租车从A地到B地，需要付费多少？
(2)若某乘客搭乘出租车共付费16元，则该出租车共行驶了多少公里？
3．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）某企业拟生产甲、乙两种产品，根据市场调研预测，甲产品的利润与投资额的算术平方根成正比，其关系如图1，乙产品的利润与投资额成正比，其关系如图2.
(1)分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资额的函数关系式；
(2)如果企业将筹集到的160万元资金全部投入到甲、乙两种产品的生产中，试问：怎样分配这160万元的投资才能使该企业获得最大利润，最大利润是多少？
4．（2023春·海南·高一统考学业考试）某地大力推广新能源汽车，购买传统汽车的人越来越少.已知今年该地传统汽车销量为万辆，预计从明年开始，每年传统汽车的销量占上一年销量的比例均为，5年后传统汽车年销量恰好减少为万辆.
(1)求的值；
(2)已知今年该地新能源汽车销量为万辆，从明年开始，每年新能源汽车销量比上一年增加万辆，请你预计10年后该地新能源汽车的年销量能否超过传统汽车的年销量.
指数函数与对数函数实战训练
一、单选题
1．（2023·广东·高三学业考试）函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2023·浙江温州·高二统考学业考试）已知函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（ ）

A． B．
C． D．
3．（2023·广东·高三学业考试）下列函数中，在区间上是减函数的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023春·浙江·高二学业考试）函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·天津河北·高二学业考试）设，，，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
6．（2023春·福建·高二统考学业考试）厦门市实行“阶梯水价”，具体收费标准如表所示
若小曾同学用水量为16，则应交水费（ ）（单位：元）
A．48B．60C．72D．80
7．（2023秋·广东·高三统考学业考试）函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023春·湖南·高二统考学业考试）为了预防流感，某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒.已知在药熏过程中，室内每立方米空气中的含药量y（单位：mg）与时间t（单位：h）的关系如图所示，函数关系式为（a为常数）.据测定，当室内每立方米空气中的含药量降到0.25mg以下时，学生方可进教室.从药熏开始，至少经过小时后，学生才能回到教室，则（ ）

A．，B．，
C．，D．，
9．（2023春·福建·高二统考学业考试）图象中，最有可能是的图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．（2023春·浙江·高二学业考试）以下函数中，图象经过第二象限的函数是（ ）
A．B．C．D．
12．（2023春·福建福州·高二福建省福州延安中学校考学业考试）已知函数，则使的x是（ ）
A．4B．1C．D．
三、填空题
13．（2023春·新疆·高二统考学业考试）已知函数，则 ．
14．（2023秋·福建·高二统考学业考试）已知定义在上的函数同时满足下列两个条件：
①，，；②，，．
试给出函数的一个解析式： ．
15．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）计算： .
16．（2023·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考学业考试）已知函数，当函数有且仅有三个零点时，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题
17．（2023春·海南·高一统考学业考试）（1）计算：；
（2）已知，，且，求的值
18．（2023·广东·高三学业考试）某市出租车的票价按以下规则制定：起步公里为2.6公里，收费10元；若超过2.6公里的，每公里按2.4元收费.
(1)设A地到B地的路程为4.1公里，若搭乘出租车从A地到B地，需要付费多少？
(2)若某乘客搭乘出租车共付费16元，则该出租车共行驶了多少公里？
19．（2023春·新疆·高二统考学业考试）已知函数.
(1)求的定义域；
(2)判断函数的奇偶性.
20．（2023春·浙江·高二统考学业考试）已知函数，.
(1)若是奇函数，求a的值并判断的单调性（单调性不需证明）；
(2)对任意，总存在唯一的，使得成立，求正实数a的取值范围.
21．（2023春·湖南邵阳·高三统考学业考试）已知 .
(1)判断的奇偶性；
(2)判断在[1,+∞）上的单调性，并说明理由；
(3)若方程有四个不同的实数根，求实数m的取值范围.
22．（2023·全国·高一学业考试）珍珠棉是聚乙烯塑料颗粒经过加热、发泡等工艺制成的一种新型的包装材料，疫情期间珍珠棉的需求量大幅增加，某加工珍珠棉的公司经市场调研发现，若本季度在原材料上多投入万元，珍珠棉的销售量可增加吨，每吨的销售价格为()万元，另外生产吨珍珠棉还需要投入其他成本万元.
(1)写出该公司本季度增加的利润万元与x之间的函数关系：
(2)当x为多少万元时？公司在本季度增加的利润最大，最大为多少万元？
23．（2023春·安徽马鞍山·高二安徽省马鞍山市第二十二中学校考学业考试）某企业拟生产甲、乙两种产品，根据市场调研预测，甲产品的利润与投资额的算术平方根成正比，其关系如图1，乙产品的利润与投资额成正比，其关系如图2.
(1)分别将甲、乙两种产品的利润表示为投资额的函数关系式；
(2)如果企业将筹集到的160万元资金全部投入到甲、乙两种产品的生产中，试问：怎样分配这160万元的投资才能使该企业获得最大利润，最大利润是多少？
24．（2023·河北·高三学业考试）已知二次函数满足且．
(1)求的解析式；
(2)若方程，时有唯一一个零点，且不是重根，求的取值范围；
(3)当时，不等式恒成立，求实数的范围．底数
图象
性质
定义域为，值域为
图象过定点
当时，恒有；
当时，恒有
当时，恒有；
当时，恒有
在定义域上为增函数
在定义域上为减函数
注意
指数函数(，且)的图象和性质与的取值有关，应分与来研究
图象
性质
定义域：
值域：
过点，即当时，
在上是单调增函数
在上是单调减函数
函数
性质
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
先慢后快，指数爆炸
先快后慢，增长平缓
介于指数函数与对数函数之间,相对平稳
图象的变化
随x的增大，图象与轴接近平行
随x的增大，图象与轴接近平行
随n值变化而各有不同
值的比较
存在一个，当时，有
t
3.0
6.0
9.0
12.0
15.0
v
1.5
2.5
2.9
3.6
4.0
年份
2013
2014
2015
2016
x(年份代码)
0
1
2
3
生产总值y
(万亿元)
8.206 7
8.944 2
9.593 3
10.239 8
…
0
1
2
3
4
…
…
3
10
21
…
不超过12的部分
3元/
超过12不超过18的部分
6元/
超过18的部分
9元/
不超过12的部分
3元/
超过12不超过18的部分
6元/
超过18的部分
9元/