初中数学人教版八年级上册14.2.2 完全平方公式导学案

这是一份初中数学人教版八年级上册14.2.2 完全平方公式导学案，共10页。学案主要包含了知识梳理，经典例题，变式训练1，变式训练2，变式训练3，变式训练4，变式训练5，变式训练7等内容，欢迎下载使用。

知识点1．平方差公式
（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便．
2．平方差公式的几何背景
（1）常见验证平方差公式的几何图形（利用图形的面积和作为相等关系列出等式即可验证平方差公式）．
3．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．

4．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2=a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
5．完全平方式
完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式．
a2±2ab+b2=（a±b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
【经典例题】
【例题1】已知（a+b）2=7，（a-b）2=7，求ab的值。
【变式训练1】(1)已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2=（ ）
A．4B．3C．12D．1
(2)若a+b=5，ab=-6，求a2+b2，a2-ab+b2.
【例题2】．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2
【变式训练2】．能说明图中阴影部分面积的式子是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab
【例题3】．已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【例题4】．已知a+1a=4，则a2+1a2的值是（ ）
A．4B．16C．14D．15
【例题5】．如图，根据计算正方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（ ）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2 B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 D．a（a﹣b）=a2﹣ab
【变式训练3】．在多项式x2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是（ ）
A．xB．3xC．6xD．9x
【变式训练4】．整式A与m2+2mn+n2的和是（m﹣n）2，则A= ．
【变式训练5】．图1可以用来解释：（2a）2=4a2，则图2可以用来解释： ．
【例题6】．如果x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（ ）
A．﹣1B．1C．1或﹣1D．1或﹣3
【例题7】．已知a+b=3，a﹣b=﹣1，则a2﹣b2的值为 ．
【变式训练7】．已知（x﹣1）2=ax2+bx+c，则a+b+c的值为 ．
【例题8】．用乘法公式计算
（1）998×1002； （2）（3a+2b﹣1）（3a﹣2b+1）
【变式训练8】用乘法公式计算：
（1）（2﹣3x）2﹣（3x+2）2 （2）（2x+y+z）（2x﹣y﹣z）
【例题9】．阅读下面的计算过程：
（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）
=（24﹣1）（24+1）=（28﹣1）．
根据上式的计算方法，请计算
（1）(1+12) (1+122) (1+124) (1+128)…(1+1232)
（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣3642．
【变式训练9】计算：1.(1)（m-2n+4）2 (2)99.82
2、已知a-b=5，ab=3，求（a+b）2与3（a2+b2）的值。
【课堂训练】
1．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（ ）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab﹣b2D．a2﹣ab=a（a﹣b）
2．下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3=a6B．2（a+1）=2a+1C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．a6÷a3=a3
3．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图（1）可以用来解释（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab．那么通过图（2）面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．（a﹣b）（a+2b）=a2+ab﹣b2
4．已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式，则k的值是（ ）
A．8B．±8C．16D．±16
5．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 （填写序号）．
①（a+b）2=a2+2ab+b2 ②（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
③a2﹣b2=（a+b）（a﹣b） ④（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2．
6．填空：x2+10x+ =（x+ ）2．
7．化简：（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣1）2．
8．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 ，长是 ，面积是 ．（写成多项式乘法的形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 ．（用式子表达）
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.3×9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
10．化简：（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）．
11．已知：x+y=3，xy=﹣8，求：
（1）x2+y2 （2）（x2﹣1）（y2﹣1）．
12．一个单项式加上多项式x2﹣6x+4后等于一个整式的平方，试求这样的单项式并写出相应的等式（请写3个）
【课后训练】
一、选择题
1．下列各式中计算正确的是（ ）
A．（a-b）2=a2-b2 B．（a+2b）2=a2+2ab+4b2
C．（a2+1）2=a4+2a+1 D．（-m-n）2=m2+2mn+n2
2．如图（1），是一个长为2a宽为2b（a＞b）的矩形，用剪刀沿矩形的两条对角轴剪开，把它分成四个全等的小矩形，然后按图（2）拼成一个新的正方形，则中间空白部分的面积是（ ）
A．abB．（a+b）2C．（a-b）2D．a2-b2
3．对于任意有理数a，b，现用“☆”定义一种运算：a☆b=a2-b2，根据这个定义，代数式（x+y）☆y可以化简为（ ）
A．xy+y2B．xy-y2 C．x2+2xyD．x2
4．有若干张面积分别为a2、b2、ab的正方形和长方形纸片，小明从中抽取了1张面积为b2的正方形纸片，6张面积为ab的长方形纸片．若他想拼成一个大正方形，则还需要抽取面积为a2的正方形纸片（ ）
A．4张 B．8张 C．9张 D．10张
5．设（5a+3b）2=（5a-3b）2+A，则A=（ ）
A．30ab B．15ab C．60ab D．12ab
二、解答题
6．化简：（3b-a-2c）（2c-3b-a）
7．（1）因为（x+ ）2= ，所有x2+ = ，
因为（x- ）2= ，所有x2+ = ；
（2）已知x+ =5，求下列各式的值：①x2+ ；②（x-）2。
8．已知a+b+c=0，a2+b2+c2=1。
（1）求ab+bc+ca的值；（2）求a4+b4+c4的值。
9．有一套二室一厅的住房，其中两个卧室的地面都是正方形，厅的面积比大卧室大9平方米，小卧室的面积比厅小16平方米，而大卧室的宽度比小卧室大1米．求厅的面积是多少平方米。
10．【阅读理解】“若x满足（80-x）（x-60）=30，求（80-x）2+（x-60）2的值”
解：设（80-x）=a，（x-60）=b，则（80-x）（x-60）=ab=30，
a+b=（80-x）+（x-60）=20，
∴（80-x）2+（x-60）2=a2+b2=（a+b）2-2ab=202-2×30=340
【解决问题】
（1）若x满足（30-x）（x-20）=-10，求（30-x）2+（x-20）2的值。
（2）若x满足（2015-x）2+（2013-x）2=4032，求（2015-x）（2013-x）的值。