山东省聊城市东昌府区2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份山东省聊城市东昌府区2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟；满分：120分）
一、选择题（本题共12个小题，共36分．在每个小题列出的选项中，选出符合题目要求的一项）
1．已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于（ ）
A．70°B．60°C．50°D．30°
2．下列图形中不一定是相似图形的是( )
A．两个等边三角形B．两个等腰直角三角形
C．两个正方形D．两个长方形
3．如图，是某商店售卖的花架简图，其中，，，，则长为（ ）．
A．B．C．50D．30
4．如图，若△ABC内接于半径为R的⊙O，且∠A＝60°，连接OB、OC，则边BC的长为( )
A．B．C．D．
5．如图，把一根长的竹竿斜靠在石坝旁，量出竿长处离地面的高度为，则石坝的高度为（ ）

A．B．C．D．
6．如图，点D，E分别在的边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，使与一定相似的有（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
7．以原点O为位似中心，作的位似图形，与的相似比为，若点C的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．或
C．D．或
8．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为( )
A．100°B．110°C．115°D．120°
9．如图，△ABC是面积为27cm2的等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．9cm2B．8cm2C．6cm2D．12 cm2
10．如图，和都是等边三角形，点M是的外心，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足为C，，OC＝OD，则∠ABD的度数为（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
12．如图，正方形ABCD的边长是3，BP=CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2=OE•OP；③S△AOD=S四边形OECF；④当BP=1时，tan∠OAE= ，其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本题共5个小题，共15分）
13．如图，已知四边形四边形，若，，则的长为 ．
14．如图， 中，ACB=90°, AC=4, BC=3, 则 .
15．已知：在⊙O中，弦AB将圆周分为5：1两段弧，则弦AB所对的圆周角为 °．
16．正六边形的内切圆半径与外接圆半径之比为 ．
17．如图，是的切线，B为切点，与交于点C，以点A为圆心、以的长为半径作，分别交于点E，F．若，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（本题共8个小题，共计69分．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或推理步骤．）
18．计算：
(1)
(2)
19．如图，O为原点，两点坐标分别为，．
(1)以O为位似中心在y轴左侧将放大两倍，并画出图形；
(2)分别写出两点的对应点的坐标；
(3)已知为内部一点，写出的对应点的坐标．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．
(1)求证：△BDE∽△CAD．
(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．
21．如图，是一个地下排水管的横截面图，已知⊙O的半径OA等于50cm，水的深度等于25cm（水的深度指的中点到弦AB的距离）．
求：（1）水面的宽度AB．
（2）横截面浸没在水中的的长（结果保留π）．
22．如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物定点A的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为45°．已知BC＝60m，山坡的坡比为1：2．
（1）求该建筑物的高度（即AB的长，结果保留根号）；
（2）求此人所在位置点P的铅直高度（即PD的长，结果保留根号）．
23．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C
（1）求证：∠CBP=∠ADB
（2）若OA=2，AB=1，求线段BP的长.
24．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角为，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．
(1)真空管上端B到水平线AD的距离．
(2)求安装热水器的铁架水平横管BC的长度．（结果精确到0.1米）
参考数据：，，，，，
25．如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)求sin∠FHG的值；
(3)若GH＝，HB＝2，求⊙O的直径．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据特殊角的三角函数值可得α﹣10°＝60°，进而可得α的值．
【详解】解：∵sin（α﹣10°）＝，
∴α﹣10°＝60°，
∴α＝70°．
故选A．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．
2．D
【分析】根据相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似来分析解答本题.
【详解】等边三角形的三个内角都是，所以任意两个等边三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等边三角形一定相似，故A选项错误；等腰直角三角形的三个内角分别为，所以任意两个等腰直角三角形一定存在两对内角分别对应相等，再由相似三角形判定定理得两个等腰直角三角形一定相似，故B选项错误；正方形可以看作是两个全等的直角三角形拼接而成，故任意两个正方形也相似，故C选项错误；任意两个长方形的长和宽对应比例不确定，长之比和宽之比不一定相等，所以任意两个长方形不一定相似，故正确答案为D选项.
【点睛】本题主要考查相似三角形的定义和判定定理以及正方形相似和长方形相似的判定方法.
3．D
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”是解题的关键．由，利用平行线分线段成比例，可求出的长．
【详解】解：，
，
即，
，
的长是．
故选：D．
4．D
【分析】延长BO交圆于D，连接CD，则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°；又BD=2R，根据锐角三角函数的定义得BC=R.
【详解】解：延长BO交⊙O于D，连接CD，
则∠BCD=90°，∠D=∠A=60°，
∴∠CBD=30°，
∵BD=2R，
∴DC=R，
∴BC=R，
故选D.
【点睛】此题综合运用了圆周角定理、直角三角形30°角的性质、勾股定理，注意：作直径构造直角三角形是解决本题的关键.
5．A
【分析】证明，可得，即，即可求出结果．
【详解】解：过点B作，交的延长线于点，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得，即石坝的高度为2.7m，
故选A．

【点睛】本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
6．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．根据相似三角形的判定定理“两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似”即可判断．
【详解】解：①添加，又，
∴，成立；
②添加，且，
∴，成立；
③添加，但不一定与相等，故与不一定相似；
④添加且，
∴，成立．
综上，使与一定相似的有①②④，
故选：B．
7．D
【分析】此题考查了位似图形的性质，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，据此即可求得答案．
【详解】解：在同一象限内，∵与是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是，点的坐标为，
∴则点的坐标为：；
不在同一象限内，∵与是以原点O为位似中心的位似图形，其中相似比是，点的坐标为，
∴则点的坐标为：，
故选：D．
8．B
【分析】连接AD，BD，由圆周角定理可得∠ABD＝20°，∠ADB＝90°，从而可求得∠BAD＝70°，再由圆的内接四边形对角互补得到∠BCD=110°.
【详解】如下图，连接AD，BD，
∵同弧所对的圆周角相等，∴∠ABD=∠AED＝20°，
∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°-20°=70°，
∴∠BCD=180°-70°=110°.
故选B
【点睛】本题考查圆中的角度计算，熟练运用圆周角定理和内接四边形的性质是关键.
9．A
【分析】先证明△AEH∽△AFG∽△ABC，再根据相似三角形的面积比是相似比的平方，即可得出结果．
【详解】解：∵是面积为的等边三角形
∴
∵矩形平行于
∴
∴
∵被截成三等分
∴，
∴
∴
∴图中阴影部分的面积
故选：A
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正确理解题意并能灵活运用相关判定方法和性质是解题的关键．
10．B
【分析】延长交于点D，连接，根据是等边三角形可知，设，则，利用锐角三角函数的定义用表示出的长，再根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，延长交于点D，连接，
∵是等边三角形，点M是的外心，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的外心，等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
11．D
【分析】连接OB，即得出OB＝OD，从而得出∠OBD＝∠ODB．根据含30度角的直角三角形的性质结合题意可判断∠OBC＝30°，再利用平行线的性质可得出∠BOD＝∠OBC＝30°，从而根据三角形内角和求出∠OBD＝∠ODB＝75°，最后由∠ABD＝∠OBC+∠OBD求解即可．
【详解】如图：连接OB，
∴OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB．
∵OC＝OD，
∴OC＝OB．
∵OC⊥AB，
∴,
∴∠OBC＝30°．
∵，
∴∠BOD＝∠OBC＝30°，
∴∠OBD＝∠ODB＝75°，
∴∠ABD＝∠OBC+∠OBD=30°+75°＝105°．
故选D．
【点睛】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理的应用．连接常用的辅助线是解题关键．
12．C
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，
∵BP=CQ，
∴AP=BQ，
在△DAP与△ABQ中， ，
∴△DAP≌△ABQ，
∴∠P=∠Q，
∵∠Q+∠QAB=90°，
∴∠P+∠QAB=90°，
∴∠AOP=90°，
∴AQ⊥DP；
故①正确；
∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴ ，
∴AO2=OD•OP，
∵AE＞AB，
∴AE＞AD，
∴OD≠OE，
∴OA2≠OE•OP；故②错误；
在△CQF与△BPE中 ，
∴△CQF≌△BPE，
∴CF=BE，
∴DF=CE，
在△ADF与△DCE中， ，
∴△ADF≌△DCE，
∴S△ADF﹣S△DFO=S△DCE﹣S△DOF，
即S△AOD=S四边形OECF；故③正确；
∵BP=1，AB=3，
∴AP=4，
∵△AOP∽△DAP，
∴ ，
∴BE=，∴QE=，
∵△QOE∽△PAD，
∴ ，
∴QO=，OE=，
∴AO=5﹣QO=，
∴tan∠OAE==，故④正确，
故选C．
点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
13．##
【分析】本题考查了相似多边形的性质．根据相似多边形的性质得出，代入数据即可得出答案．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
14．
【分析】先求得∠A=∠BCD，然后根据锐角三角函数的概念求解即可．
【详解】在Rt△ABC与Rt△BCD中，∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°．
∴∠A=∠BCD．
∴tan∠BCD=tan∠A=．
故答案为．
【点睛】本题考查了解直角三角形，三角函数值只与角的大小有关，因而求一个角的函数值，可以转化为求与它相等的其它角的三角函数值．
15．30°或150 °
【分析】求出，再利用圆周角定理，圆内接四边形的性质解决问题即可；
【详解】如图，∵弦AB将圆周分为5：1两段弧，
∴，
在优弧AB上取一点C，连接AC，BC，在劣弧AB上取一点D，连接AD，BD，
∵，，
∴，；
故答案是30°或150 °．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，准确计算是解题的关键．
16．
【分析】先根据正六边形的性质确认其内切圆和外接圆的圆心位置，再利用正六边形的性质求解即可得．
【详解】如图，六边形ABCDEF是正六边形
连接AD、CF，交于点O，过点O作于点G
由正六边形的性质可知，点O是正六边形的内切圆和外接圆的圆心，OC为其外接圆的半径，OG是其内切圆的半径，且是等边三角形
设
则在中，，
因此，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正六边形的性质、直角三角形的性质等知识点，根据正六边形的性质确定圆心的位置是解题关键．
17．
【分析】先证明再利用阴影部分的面积等于三角形面积减去扇形面积即可得到答案．
【详解】解：如图，连接OB，是的切线，

设





故答案为：
【点睛】本题考查的是圆的切线的性质，扇形面积的计算，掌握“整体求解扇形的面积”是解本题的关键．
18．(1)；
(2)
【分析】（1）先根据绝对值、负整数指数幂、零指数幂和特殊角的三角函数值计算，然后根据二次根式的乘法法则运算；
（2）先根据特殊角的三角函数值计算，再行二次根式的混合运算．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂是解决问题的关键．
19．(1)见解析
(2)点
(3)点的坐标为
【分析】（1）根据位似的性质作图即可．
（2）由图可直接得出答案．
（3）观察点的变化规律，可得答案．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：由图可得，点．
（3）解：由题意得，点的坐标为．
【点睛】本题考查了位似图形的作图及性质，根据题意正确地作出已知图形的位似图形是解题的关键．
20．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由等腰三角形的性质可知∠B=∠C，再证∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题；
（2）先求出AD的长，由•AD•BD＝•AB•DE ，即可求解DE的长．
【详解】（1）∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠ADC，
∴△BDE∽△CAD．
（2）∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
在Rt△ADB中，AD＝ = ＝12，
∵•AD•BD＝•AB•DE，
∴DE＝ ．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
21．（1）50cm；（2）cm
【分析】（1）过O作OH⊥AB于H，并延长交⊙O于D，根据圆的性质，计算得OH，再根据勾股定理计算，即可得到答案；
（2）连接OB，结合题意，根据含角的直角三角形性质，得∠OAH＝30°，从而计算得∠AOB；再根据弧长公式计算，即可完成求解．
【详解】（1）过O作OH⊥AB于H，并延长交⊙O于D，
∴∠OHA＝90°，AH＝AB，，
∵水的深度等于25cm，即HD＝25cm
又∵OA＝OD＝50cm
∴OH＝OD-HD＝25cm
∴AH＝cm
∴AB＝50cm；
（2）连接OB，
∵OA＝50cm，OH＝25cm，
∴OH＝OA
∵∠OHA＝90°
∴∠OAH＝30°
∴∠AOH＝60°
∵OA＝OB，OH⊥AB
∴∠BOH＝∠AOH＝60°
∴∠AOB＝120°
∴的长是：cm．
【点睛】本题考查了圆、勾股定理、含角的直角三角形、弧长的知识；解题的关键是熟练掌握圆、垂径定理、勾股定理、弧长计算的性质，从而完成求解．
22．(1) 建筑物的高度为60米； (2)点P的铅直高度为（20﹣20）米．
【分析】（1）过点P作PE⊥BD于E，PF⊥AB于F，在Rt△ABC中，求出AB的长度即可；
（2）设PE＝x米，则BF＝PE＝x米，根据山坡坡度为1：2，用x表示CE的长度，然后根据AF＝PF列出等量关系式，求出x的值即可．
【详解】解：（1）过点P作PE⊥BD于E，PF⊥AB于F，
又∵AB⊥BC于B，
∴四边形BEPF是矩形，
∴PE＝BF，PF＝BE
∵在Rt△ABC中，BC＝90米，∠ACB＝60°，
∴AB＝BC•tan60°＝60（米），
故建筑物的高度为60米；
（2）设PE＝x米，则BF＝PE＝x米，
∵在Rt△PCE中，tan∠PCD＝，
∴CE＝2x，
∵在Rt△PAF中，∠APF＝45°，
∴AF＝AB﹣BF＝60 ﹣x，
PF＝BE＝BC+CE＝60+2x，
又∵AF＝PF，
∴60﹣x＝60+2x，
解得：x＝20﹣20，
答：人所在的位置点P的铅直高度为（20﹣20）米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形，难度适中．
23．（1）证明见解析；（2）BP=7.
【详解】分析：（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，再根据切线的性质得到∠OBC=90°，然后利用等量代换进行证明；
（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．
详（1）证明：连接OB，如图，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠A+∠ADB=90°，
∵BC为切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
而OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠CBP=∠ADB；
（2）解：∵OP⊥AD，
∴∠POA=90°，
∴∠P+∠A=90°，
∴∠P=∠D，
∴△AOP∽△ABD，
∴，即，
∴BP=7．
点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
24．(1)1.8米
(2)0.9米
【分析】（1）过B作BF⊥AD于F．构建Rt△ABF中，根据三角函数的定义与三角函数值即可求出答案．
（2）根据BF的长可求出AF的长，再判定出四边形BFDC是矩形，可求出AD，根据BC＝DF＝AD−AF计算即可．
【详解】（1）如图，过B作BF⊥AD于F．
在Rt△ABF中，
∵sin∠BAF＝，
∴BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈1.8．
∴真空管上端B到AD的距离约为1.8米．
（2）在Rt△ABF中，
∵cs∠BAF＝，
∴AF＝ABcs∠BAF＝3cs37°≈2.4，
∵BF⊥AD，CD⊥AD，又BC∥FD，
∴四边形BFDC是矩形．
∴BF＝CD，BC＝FD，
∵EC＝0.5米，
∴DE＝CD−CE＝1.3米，
在Rt△EAD中，
∵tan∠EAD＝，
∴，
∴AD＝3.25米，
∴BC＝DF＝AD−AF＝3.25−2.4＝0.85≈0.9
∴安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，培养学生运用三角函数知识解决实际问题的能力，掌握三角函数是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)
(3)⊙O的直径为
【分析】（1）连接OF，先证明OFAC，则∠OFD＝∠C＝，根据切线的判定定理可得出结论．
（2）先证∠DFB＝∠OAF，∠ADG＝∠FDG，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和得出∠FGH＝∠FHG＝，从而可求出sin∠FHG的值．
（3）先在△GFH中求出FH的值为4，根据等积法可得，再证△DFB∽△DAF，根据对应边成比例可得，又由角平分线的性质可得，从而可求出AG、AF．在Rt△AFＢ中根据勾股定理可求出AB的长，即⊙O的直径．
【详解】（1）证明：连接OF．
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA，
∵
∴∠CAF＝∠FAB，
∴∠CAF＝∠AFO，
∴OFAC，
∵AC⊥CD，
∴OF⊥CD，
∵OF是半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∵OF⊥CD，
∴∠OFD＝∠AFB＝90°，
∴∠AFO＝∠DFB，
∵∠OAF＝∠OFA，
∴∠DFB＝∠OAF，
∵GD平分∠ADF，
∴∠ADG＝∠FDG，
∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，
∴∠FGH＝∠FHG＝45°，
∴sin∠FHG=
（3）解：过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．
∵HD平分∠ADF，
∴HM＝HN，
S△DHF∶S△DHB= FH∶HB=DF ∶DB
∵△FGH是等腰直角三角形，GH＝
∴FH＝FG＝4，
∴
设DB＝k，DF＝2k，
∵∠FDB＝∠ADF，∠DFB＝∠DAF，
∴△DFB∽△DAF，
∴DF2＝DB•DA，
∴AD＝4k，
∵GD平分∠ADF
∴
∴AG＝8，
∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，
∴⊙O的直径为
【点睛】本题是一道综合性题目，考查了圆的相关性质、切线的判定、相似三角形的判定和性质、角平分线性、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．