江苏省常州市金坛区2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份江苏省常州市金坛区2023-2024学年八年级上册期中数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题2分，共16分）
1．下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，OB平分∠AOC，D、E、F分别是射线OA、射线OB、射线OC上的点，D、E、F与O点都不重合，连接ED、EF若添加下列条件中的某一个．就能使DOEFOE，你认为要添加的那个条件是（ ）
A．OD=OEB．OE=OFC．∠ODE =∠OEDD．∠ODE=∠OFE
4．下列结论中，正确的是（ ）
A．所有的等边三角形是全等三角形
B．面积相等的两个等腰直角三角形是全等三角形
C．周长相等的两个直角三角形是全等三角形
D．顶角相等的等腰三角形是全等三角形
5．若等腰三角形的两边长分别是3cm和5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．8cmB．13cmC．8cm或13cmD．11cm或13cm
6．一个等腰三角形顶角的度数是底角度数的2倍，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点D，连接，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在四边形中，．设，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（每小题2分，共20分）
9．等腰三角形的底角等于，则它的顶角是 ．
10．若一直角三角形两直角边长分别为6和8，则斜边长为 ．
11．如图，在和中，，，，则 ．
12．如图，在中，，，与的平分线相交于点，过点作，分别交、与点、，则的周长 ．
13．如图，直线a，b过等边三角形的顶点A和C，且，，则 ．

14．如图，在中，，，垂直平分，交于点D，连接，则 ．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC的平分线AD交BC于点D，E为AB的中点，若BC=12，AD=8，则DE的长为 ．
16．如图，在中，，点D在线段上，且，，，则 ．

17．如图，在四边形中，，垂足为O，若，，则 ．
18．如图，正方形的边长是5，，，则 ．

三、解答题（第19题6分，第20、21、22题每小题8分，第23题10分，第24、25题每小题12分，共64分）
19．在如图的网格中按要求画图：
(1)把向右平移5格，再向下平移2格，画出所得；
(2)画，使得它与关于直线对称；
(3)画出与的对称直线．
20．如图，在中，，，点F是边上一点，．用直尺和圆规按要求作图（不写作法，保留作图痕迹），并回答问题：
(1)在边上作点D，使得点D到边的距离相等；
(2)在射线上作点E，使得点E到点A、点C的距离相等；
(3)若点P是射线上一个动点，当取最小值时，在图中作出符合要求的点P，的最小值是 ．
21．如图，点A、F、C、D在同一条直线上，，，．求证：．
22．如图，，，垂足分别是D，E，BE与CD相交于点O，且．求证：．
23．如图，折叠等腰三角形纸片，使点落在边上的处，折痕为．已知，．
(1)判断的形状，并说明你的结论；
(2)若，，求的长．
24．如图，在中，，，，垂足为C，交线段于F，D是边上一点，连接，且．
(1)求证：；
(2)与有怎样的位置关系？证明你的结论；
(3)当时，求证：BD平分．
25．如图，点E是长方形的边延长线上一点，连接．点F是边上一个动点，将沿翻折得到．已知，，．
(1)求的长；
(2)若点P落在的延长线上，求的面积；
(3)若点P落在射线上，求的长．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】A.不是轴对称图形，故A错误；
B.不是轴对称图形，故B错误；
C.是轴对称图形，故C正确；
D.不是轴对称图形，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2．B
【分析】根据，，正好是两边一夹角，即可得出答案．
【详解】解：∵在△ABO和△DCO中，，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边对应相等，且其夹角也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键．
3．D
【分析】根据OB平分∠AOC得∠AOB=∠BOC，又因为OE是公共边，根据全等三角形的判断即可得出结果．
【详解】解：∵OB平分∠AOC
∴∠AOB=∠BOC
当△DOE≌△FOE时，可得以下结论：
OD=OF，DE=EF，∠ODE=∠OFE，∠OED=∠OEF．
A答案中OD与OE不是△DOE≌△FOE的对应边，A不正确；
B答案中OE与OF不是△DOE≌△FOE的对应边，B不正确；
C答案中，∠ODE与∠OED不是△DOE≌△FOE的对应角，C不正确；
D答案中，若∠ODE=∠OFE，
在△DOE和△FOE中，

∴△DOE≌△FOE（AAS）
∴D答案正确．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形全等的判断，理解全等图形中边和角的对应关系是解题的关键．
4．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定方法依次判定即可．
全等三角形的判定方法有、、、．注意没有和．
两个三角全等，至少要有一组边对应相等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】A、所有的等边三角形不一定是全等三角形，因为边长不一定相等，故A选项错误，不符合题意；
B、面积相等的两个等腰直角三角形的直角边长也相等，可根据得到两个三角形全等，故B选项正确，符合题意；
C、周长相等的两个直角三角形，边长不一定对应相等，不能得到两个三角形全等，故C选项错误，不符合题意；
D、顶角相等的等腰三角形，腰长不一定相等，不能得到两个三角形全等，故D选项错误，不符合题意．
故选：B
5．D
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：当3是腰时，
∵3＋3＞5，
∴3，3，5能组成三角形，
此时等腰三角形的周长为3＋3＋5＝11（cm），
当5是腰时，
∵3＋5＞5，
5，5，3能够组成三角形，
此时等腰三角形的周长为5＋5＋3＝13（cm），
则三角形的周长为11cm或13cm．
故选：D
【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．设这个等腰三角形的底角是，则等腰三角形顶角的度数是，然后利用三角形内角和定理可得：，从而进行计算即可解答．
【详解】解：设这个等腰三角形的底角是，则等腰三角形顶角的度数是，
由题意得：，
解得：，
这个等腰三角形的底角是，
故选：C
7．B
【分析】本题考查等腰三角形的性质，由题意可知，利用等腰三角形的等边对等角，即可得的度数，进而由即可求解，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．
【详解】解： 以为圆心，长为半径画弧，交于点，则，
∵中，，，
∴是等腰三角形，即，
∴，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了等边对等角，四边形内角和．熟练掌握等边对等角，明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由等边对等角可得，，由四边形内角和为可得，根据，计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
故选：A．
9．100
【分析】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质；已知给出了等腰三角形的底角等于，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接可求得答案．
【详解】解：等腰三角形的底角等于，
又等腰三角形的底角相等，
顶角等于．
故答案为：100．
10．10
【分析】已知两直角边求斜边可以根据勾股定理求解．
【详解】解：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方和，
故斜边长，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了根据勾股定理计算直角三角形的斜边，正确的运用勾股定理是解题的关键．
11．45
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理．先证即可得，再根据三角形内角和定理求出的度数即可．
熟练掌握全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理是解题的关键．
【详解】∵和中
，
，
，
，
故答案为：45．
12．11
【分析】根据角平分线的性质，可得，，根据平行线的性质，可得，，根据等腰三角形的判定，可得，，根据三角形的周长公式，可得答案．
【详解】解：∵与的平分线相交于点O，
∴，，
∵，
∴，，
∴， ，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质是解题关键，又利用了角平分线的定义，平行线的性质．
13．99
【分析】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质．根据等边三角形的性质可求出，再根据两直线平行内错角相等即可得出答案．
【详解】解： ∵是等边三角形，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：99．
14．50
【分析】此题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，首先根据垂直平分线的性质得到，然后根据等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理．
【详解】∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：50．
15．5
【分析】利用勾股定理求出AB，再利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
【详解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD=6，
∴∠ADB=90°，
∴AB=，
∵E为AB的中点，
∴DE=AB=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
16．6
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定，根据三角形外角的性质可得，从而得到，再求出，然后根据直角三角形的性质可得，
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：6
17．3
【分析】本题主要考查了勾股定理．由可得，根据勾股定理即可求解．
【详解】，
，
，，，，
．
，
，
，
故答案为：3．
18．98
【分析】延长，交于，再根据全等三角形的判定得出与全等，得出，由，得出，同理得出，再根据勾股定理得出答案．
【详解】解：如图，延长，交于，

，，，
，
是直角三角形，
同理可得，是直角三角形，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，即是直角三角形，
在和中，
，
，
，，
，
同理可得：，
在中，，
故答案为：98．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
19．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查作图轴对称变换、平移变换，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质是解答本题的关键．
（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据轴对称的性质作图即可．
（3）连接，，作线段，的垂直平分线即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求．
（3）解：如图，直线即为所求．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)作图见解析，13
【分析】（1）根据角平分线上的点到角的两边距离相等，即作的平分线交于一点，即为点D，即可作答．
（2）根据垂直平分线上的点到线段的端点距离相等，即作线段的垂直平分线与相交于一点，即为点，即可作答．
（3）作点F关于射线的对称点，连接，交射线于一点P，此时，根据勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：点D如图所示：
（2）解：点E如图所示：
（3）解：点P如图所示：
∵，
∴，
即在中，，
即，
即．
【点睛】本题考查了作角平分线，作垂直平分线，轴对称性质，勾股定理等知识内容：难度适中，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
21．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质：先得到，通过证明，即可作答．
【详解】证明：∵，
∴．
即．
在和中，
∵
∴．
∴．
22．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的性质；先由角平分线的性质得，再证，即可得出结论．
【详解】证明：，，且，
，，
在和中，
，
．
23．(1)是直角三角形，理由见解析；
(2)．
【分析】()是直角三角形．由易得，再根据等腰三角形的性质以及折叠的性质可得，得到，即可求证；
()设，则，由折叠的性质可得，，结合()，在中，利用勾股定理求解即可获得答案；
本题考查了等腰三角形的性质、折叠的性质、勾股定理、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】（1）是直角三角形．
证明：∵，
∴，
由折叠可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形；
（2）∵，，
∴
设，则，
在中，∵，
∴，
∴，
解得，
即．
24．(1)见解析
(2)与互相垂直，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，直角三角形两锐角互余．
（1）由题意可知，再利用证明，即可证得结论；
（2）设与交于点O，由，可得，再结合，利用互余关系可得，可知，证得；
（3）结合（2）知，利用互余关系可证得，由，得，又由，得，可证得，再利用等腰三角形三线合一可得平分．
熟练掌握全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质是解决问题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，，
∴．
∴．
（2）与互相垂直．理由如下：
设与交于点O．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）∵，则，
又∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴平分．
25．(1)
(2)的面积是
(3)的长是1或
【分析】（1）根据矩形的性质及勾股定理求解即可；
（2）根据翻折的性质推出，，根据勾股定理及线段的和差求出，根据三角形面积公式求解即可；
（3）分两种情况：点P落在线段上，点P落在线段的延长线上，根据矩形的性质及勾股定理求解即可．
【详解】（1）∵，∴．
∵，，∴．
∴．
（2）如图，由题意可知，则．
设，则，．
在中，．∴．
∴．∴．
即的面积是．
（3）过点F作，垂足为H．如图，点P在边上．
在中，．
∵，，∴．∴．
设，则，．
在中，．∴．
∴．即．
如图3，点P在边的延长线上．
在中，．
∵，，∴．∴．
设，则，．
在中，．∴．
∴．即．
∴的长是1或．
【点睛】此题是四边形综合题，考查了矩形的判定与性质、翻折的性质、勾股定理、三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质、翻折的性质、勾股定理并作出合理的辅助线构建直角三角形是解题的关键．