浙江省丽水市龙泉市2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份浙江省丽水市龙泉市2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
卷Ⅰ
说明：本卷共有1大题，10小题，共30分．请用2B铅笔在答题纸上将你认为正确的选项对应的小方框涂黑、涂满．
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列事件中，随机事件是（ ）
A．B．打开电视机正在播报新闻
C．水中捞月D．太阳从西边升起
3．抛掷一枚均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率是 （ ）
A． B． C． D．1
4．抛物线的顶点坐标是( )．
A．B．C．D．
5．如图，已知，，均为上的点，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．二次函数的图象经过点，则a的值是（ ）
A．2B．4C．D．
7．如图，为的直径，C，D为上两点，若，则等于（ ）
A．35°B．55°C．65°D．70°
8．设是抛物线上的三点，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，的半径是，点是弦延长线上的一点，连结，若，，则弦的长为（ ）
A．B．C．D．
10．若时，二次函数的最小值为15，则的值为（ ）
A．或B．或
C．或D．或
卷Ⅱ
说明：本卷共有2大题，14小题，共90分．请用黑色字迹钢笔或签字笔将答案写在答题纸的相应位置上．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．20瓶饮料中有3瓶已过保质期．从20瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率为 ．
12．已知的半径为5，点在上，则的长为 ．
13．把抛物线向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式是 .
14．正五边形的一个外角的大小为 度．
15．在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为 ．
16．如图，是半圆的直径，点在半圆上，是弧上的一个动点，连结，过点点作于点，连结，在点移动的过程中．
（1） ；
（2）的最小值是 ．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分，各小题都必须写出解答过程）
17．已知二次函数经过点，点．
(1)求的值；
(2)求该二次函数的对称轴．
18．一个布袋里装有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．
(1)摸出一个球是红球的概率；
(2)从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．求两次都摸到红球的概率．
19．已知：如图，在中，，以边为直径作半圆，分别交于点．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
20．请按要求作图，并保留作图痕迹．
(1)如图1，是圆的一条弦，用直尺（无刻度）和圆规在图中作圆的一条直径；
(2)如图2，正五边形内接于圆，仅用直尺（无刻度）作出一条直径．
21．注：测量、计算时，都以“肘”为单位．
22．某书店销售儿童期刊，一天可售出20套，每套盈利30元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价元时，书店一天可获利润元．
(1)求关于的函数表达式；
(2)若书店每天要盈利750元，则需降价多少元？
(3)当每套书降价多少元时，书店可获最大利润？最大利润是多少？
23．已知关于的二次函数，经过点．
(1)若此函数图象过点，求这个二次函数的表达式；
(2)若时，时，求的值；
(3)若，当，且时，求证：．
24．如图，是的直径，，点为弧的中点，连接交于点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求的周长；
(3)若点为上一点，当为等腰三角形时，求的长．
参考答案与解析
1．C
【详解】根据二次函数的定义，形如（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，所给函数中是二次函数的是．
故选C．
2．B
【分析】本题主要考查了随机事件，同时考查了不可能事件与必然事件，熟练掌握随机事件的定义是解答本题的关键．“在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事件是随机事件”，再根据随机事件的定义解答即可．
【详解】解：A．，是必然事件，不符合题意；
B．打开电视机正在播报新闻，是随机事件，符合题意；
C．水中捞月，是不可能事件，不符合题意；
D．太阳从西边升起，是不可能事件，不符合题意．
故选：B．
3．A
【分析】列举出所有情况，看硬币正面朝上的情况数占总情况数的多少即可．
【详解】共抛掷一枚均匀的硬币一次，有正反两种情况，有一次硬币正面朝上，
所以概率为 ．
故选A．
【点睛】本题考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；解决本题的关键是得到至少有一次硬币正面朝上的情况数．
4．A
【分析】根据抛物线顶点式的顶点坐标为可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．
【详解】解：∵抛物线，
∴该抛物线的顶点坐标为，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5．D
【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得解．
【详解】解：∵，，均为上的点，，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查圆周角定理．熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，是解题的关键．
6．A
【分析】将（1，2）代入y=ax2即可得．
【详解】解：将（1，2）代入y=ax2得：a=2，
故选A．
【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标符合函数解析式．
7．B
【分析】根据圆周角的性质即可求解.
【详解】∵为的直径，
∴，
∵，∴，
∴.
故选B.
【点睛】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆周角的性质.
8．A
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质得到抛物线的开口向下，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，
，
∴．
故选：A．
9．D
【分析】此题考查了垂经定理，用到的知识点是垂经定理、含度角的直角三角形、勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．先过作，连结，根据，，求出的值，在中，根据勾股定理求出的值，即可求出的值．
【详解】如图，过作，连结，
，，
．
，
根据勾股定理得：．
由垂径定理得：．
故选：D．
10．B
【分析】本题考查二次函数的最值问题，讨论对称轴的位置，应用函数的增减性分类讨论是关键．由题意知，该抛物线开口向上，对称轴为，再分类讨论对称轴的位置，进行分析计算求解即可．
【详解】解：∵ 二次函数为：，
∴ 抛物线开口向上，对称轴为，
①，当时，取得最小值15，
即：，
，
解得：，（舍去）；
②，且时，即时，当时，取得最小值15，
即：，
∴，
解得：或（舍去）；
当时，，，
此时当时取得最小值15，
∴，
解得：，不符合题意舍去，
综上：或．
故选：B．
11．．
【分析】直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：∵在20瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，
∴从这20瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期饮料的概率为：，
故答案是：．
【点睛】本题考查了概率公式的应用，熟知概率的求法是解题的关键．
12．5
【分析】本题考查了半径的定义，根据“圆上的点到圆心的距离等于半径”，即可解答．
【详解】解：∵的半径为5，点在上，
∴，
故答案为：5．
13．
【分析】根据题意直接运用平移规律“左加右减，上加下减”，在原式上加2即可得新函数解析式即可．
【详解】解：∵向上平移2个单位长度，
∴所得的抛物线的解析式为．
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．
14．72
【分析】根据多边形的外角和是360°，依此即可求解．
【详解】解：正五边形的一个外角的度数为：，
故答案为：72．
【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和为360°是解题的关键．
15．8米
【分析】令求解即可．
【详解】解：当时，，
解得，（舍去）．
故答案为：8米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
16． 2 ##
【分析】（1）连接，因为是直径，则，所以，所以；
（2）以为直径作圆，连接、，在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动，当、、共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，连接，
是直径，
，
，
，
．
故答案为：2；
（2）如图，以为直径作圆，连接，
，
，
在点移动的过程中，点在以为直径的圆上运动，
在中，，，
，
，
，
在中，，
，
当、、共线时，的值最小，最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查圆周角定理，勾股定理、点与圆的位置关系，两点之间线段最短，解题的关键是确定点的运动路径是以为直径的圆上运动，属于中考填空题中的压轴题．
17．(1)
(2)对称轴为直线
【分析】本题考查了二次函数的对称轴、待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）将点，点代入计算即可得；
（2）将二次函数的解析式化成顶点式，由此即可得．
【详解】（1）解：由题意，将点，点代入得：，
解得．
（2）解：由（1）可知，二次函数的解析式为，
所以该二次函数的对称轴为直线．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查了简单事件的概率及用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）用红球数除以总球数即可得解；
（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出红球情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：

两次摸到红球的概率为．
19．(1)见解析
(2)40°
【分析】本题考查的是圆周角定理、等腰三角形的性质及圆心角、弧、弦的关系，熟知半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．
（1）连接，根据圆周角定理可知，故，由等腰三角形的性质即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质求出的度数，进而可得出结论．
【详解】（1）证明：连接，
是直径，
，
，
，
；
（2）解：，，，
，
．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了尺规作图—作垂直平分线，垂径定理，熟练掌握尺规作图方法，以及各个性质定理是解题的关键．
（1）作的垂直平分线，交圆于点M和点N，即为所求；
（2）连接，相交于点Q，连接并延长，交圆与点E，即为所求．
【详解】（1）解：如图所示：即为所求；
∵，
∴经过圆心，
∴为直径，
即为所求；
（2）解：连接，相交于点Q，连接并延长，交圆与点E，即为所求；
∵正五边形内接于圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点Q在的垂直平分线上，
同理可得：，
∴，
∴点D在的垂直平分线上，
∴垂直平分，
∴为直径，
即为所求．
21．（1）水平距离肘，铅锤距离肘；（2）半径肘
【分析】本题考查了圆、勾股定理等知识，熟练使用勾股定理和牢记圆的性质是解题的关键．
任务1：由图数出水平花岗岩的块数和铅垂距离的块数，用数量乘以对应单位即可；
任务2：作出适当辅助线，确定圆心，根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：任务1：根据素材1，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘、宽为1肘，
根据素材2、素材3，观察图形可知
两点之间的水平距离有块花岗岩的长，则长为(肘)
两点之间的铅垂距离 (高度差) 有块花岗岩的宽，则宽为(肘)
答：两点之间的水平距离为肘，铅垂距离(高度差) 为时；
任务2：如图，作过点的水平线，过点作该水平线的垂线，垂足为，作于，则圆心在所在的直线上，记圆心为，连接
由图可知：、、、
设，则
在中，
即：
在中，
即：
解得：
故半径肘．
22．(1)
(2)降价15元
(3)当降价10元时，所获利润最大为800元
【分析】此题考查了二次函数及一元二次方程在现实生活中的应用问题；解题的关键是准确列出二次函数解析式，灵活运用函数的性质解题．
（1）根据书店一天的利润=每本书的利润×销售量，列出y关于x的函数关系式；
（2）根据题意列出关于x的一元二次方程，通过解方程即可解决问题；
（3）运用函数的性质即可解决．
【详解】（1）解：
（2）解：
化简得：
为了尽快减少库存

答：需要降价15元
（3）
当时，
答：每套书降价10元时，书店获最大利润为800元
23．(1)；
(2)；
(3)见解析．
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的特征，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）直接将点代入求解即可；
（2）根据题意知关于对称轴对称，利用对称轴和求解即可；
（3）由，再根据，即可判断．
【详解】（1）解：把带入解析式得：，
解得：，
．
（2）解：由题意得：，即，
∴对称轴为直线，
∵，
∴与关于对称，
又∵，
∴，即，
∴．
（3）解：由题意得：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．(1)见解析
(2)
(3)或或或
【分析】（1）连接，易得，，则，，根据点为弧得中点，得出，进而得出，即可求证；
（2）根据勾股定理得出，用等面积法求出，再根据勾股定理可得出，，则，即可求解；
（3）根据等腰三角形的性质，进行分类讨论：①当时，②当时，③当时．
【详解】（1）证明：连接
是直径，
，
∴，
，
，
∴，
点为弧得中点，
，
，
．

（2）解：，，
∴在中，，
∵，
∴，
解得：，
在中，根据勾股定理可得：，
∵，
∴在中，，
，
的周长．

（3）解：①当时，
，

②当时，
与重合，过点F作于点H，连接,
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，则，
解得：，
根据勾股定理可得：，
∴；

③当时，连接，连接交于点G，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
根据勾股定理可得：，
∴，，
根据勾股定理可得：，，

综上所述：或或或．
【点睛】本题考查了勾股定理，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线，构造直角三角形和求解．
测算石拱桥拱圈的半径
素材1
在日常生活中，如果没有带测量工具，那么我们可以用身体的“尺子”来测量，比如前臂长（包括手掌、手指）称为1肘（如图1），现利用该方法测得一块矩形花岗岩的长和高（如图2）．

图1 图2
素材2
某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图3）,石拱桥由以上矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连结（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗各边的中点，如图3所示）．

素材3
通过观察发现两个点都在拱圈上．是拱圈的最高点，且在两块花岗岩连结顶点处，是花岗岩的顶点（如图4）．

问题解决
任务1
获取数据
通过观察、计算两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）．
任务2
分析计算
通过观察、计算石拱桥拱圈的半径．