山东省菏泽市单县2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份山东省菏泽市单县2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项涂在答题卡的相应位置）
1．在△ABC中，∠C=90°，如果tanA=，那么sinB的值的等于（ ）
A．B．C．D．
2．直线a上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线a与⊙O的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．相切或相交
3．如图，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则△ADE的面积与四边形BCED的面积的比为（ ）
A．1：2B．1：3C．1：4D．1：1
4．河堤横断面如图所示，堤高米，迎水坡AB的坡比是，则的长是（ ）
A．米B．米C．米D．12米
5．如图，在ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，，则DE：EC=【 】
A．2：5B．2：3C．3：5D．3：2
6．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（ ）
A．10米B．10米C．20米D． 米
7．如图是某公园的一角，∠AOB=90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（）

A．米2B．米2C．米2D．米2
8．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，⊙的半径为2(为坐标原点)，点是直线上的一动点，过点作⊙的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6个小题每小题3分，共18分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．）
9．的算术平方根等于 ．
10．已知两边长分别是和，则它的外接圆的半径是 ．
11．如图，点E在矩形的边上，将沿翻折，点A恰好落在边上的点F处，若，则 ．
12．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB= m．
13．如图，点D是的边上一点，，，如果的面积为4，那么的面积为 ．
14．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线与△ABC的外接圆相交于点D，与BC交于点E，连接BI、CI、BD、DC．下列说法中正确的有 ．
①∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合；
②I到△ABC三个顶点的距离相等；
③∠BIC=90°+∠BAC；
④点D是△BIC的外心．
三、解答题（本题共78分，把解答和证明过程写在答题卡的相应区域或内）
15．计算：．
16．如图所示，在菱形中，于E，，，求此菱形的边长．
17．在锐角△ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC上，另两个顶点G、H分别在AC、AB上，BC=15cm，BC边上的高是10cm，求正方形的面积．
18．禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A、B两处距离为海里，可疑船只正沿南偏东方向航行，我渔政船迅速沿北偏东方向前去拦截，刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的路程（结果保留根号）．
19．如图，的半径弦于点C，连接并延长交于点E，连接．若求的长．
20．如图，是等边三角形，P是延长线上一点，Q是延长线上一点，且满足．求证：．

21．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求的值．
22．如图，在中，，平分交于点E，点D在边上且．
(1)判断直线与外接圆的位置关系，并说明理由；
(2)若，，求的值．
23．如图，在△ABC中，D为AC上一点，且CD=CB,以BC为直径作☉O,交BD于点E，连接CE,过D作DFAB于点F,∠BCD=2∠ABD.
（1）求证：AB是☉O的切线；
（2）若∠A=60°，DF=,求☉O的直径BC的长．
24．（1）问题
如图1，在四边形中，点为上一点，．求证：．
（2）探究
如图，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．
（3）应用
请利用（1）（2）获得的经验解决问题
如图3，在中，，，点以每秒个单位长度的速度，由点出发，沿边向点运动，且满足．设点的运动时间为（秒），当以为圆心，为半径的圆与相切时，请直接写出所满足的等量关系式．
参考答案与解析
1．B
【详解】试题分析：已知在△ABC中，∠C=90°，tanA=，设BC=5x，可得AC=12x，根据勾股定理可求得AB=13x，所以sinB==．故答案选B．
考点：勾股定理；锐角三角函数的定义．
2．D
【详解】∵直线a上一点到圆心O的距离等于半径，
∴圆心O到直线a的距离小于或等于半径，
∴直线a与⊙O的位置关系是相切或相交.
故选D．
3．B
【分析】根据中位线定理得到DE∥BC，DE=BC，从而判定△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形的性质求解．
【详解】解：∵D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE=BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的面积：△ABC的面积==1：4，
∴△ADE的面积：四边形BCED的面积=1：3；
故选B．
【点睛】本题考查三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是合理的运用相关性质定理和判定定理．
4．D
【分析】本题考查了解直角三角形的应用—坡度坡角问题，根据题意可以求得米，再根据勾股定理即可求得的长，本题得以解决．
【详解】解：∵米，迎水坡的坡比为，
∴，
∴米，
∴米，
故选：D．
5．B
【分析】先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF∶S△ABF=4∶25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE∶AB的值，由AB=CD即可得出结论．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD
∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE
∴△DEF∽△BAF
∴
∵，
∴DE：AB=2：5
∵AB=CD，
∴DE：EC=2：3
故选B．
【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．
6．A
【分析】首先根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=DC-BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．
【详解】∵在直角三角形ADB中，∠D=30°，
∴=tan30°．
∴．
∵在直角三角形ABC中，∠ACB=60°，
∴BC=．
∵CD=20，
∴CD=BD﹣BC=．
解得：AB=．
故选A．
7．C
【详解】连接OD，
∵弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，∴OC=OA=×6=3．
∵∠AOB=90°，CD∥OB，∴CD⊥OA．
在Rt△OCD中，∵OD=6，OC=3，∴．
又∵，∴∠DOC=60°．
∴（米2）．
故选C．
8．D
【分析】连接，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短.
【详解】连接、，
是的切线，
，
根据勾股定理知，
当时，线段最短，
又、，
，
，
，
，
.
故选：.
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、坐标与图形性质以及矩形的性质等知识点.运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角来解决有关问题.
9．
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值及求算术平方根，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
【详解】解：根据特殊角的三角函数值可知，
，
的算术平方根为，
故答案为．
10．或##4cm或5cm
【分析】分为直角边和为斜边两种情况，结合直角三角形的外接圆半径为斜边长的一半和勾股定理求解即可．
【详解】解：若为直角边时，则斜边长为，则的外接圆的半径是，
若为斜边长时，的外接圆的半径是，
综上，的外接圆的半径是或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查直角三角形的外接圆、勾股定理，熟知直角三角形的外接圆半径为斜边长的一半，本题容易忽视对边的讨论而导致错误，故需分类讨论进行求解．
11．
【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形的折叠问题．根据矩形的性质，图形折叠的性质可证明，可得，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
由折叠的性质得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：
12．5.5
【详解】在△DEF和△DBC中，，
∴△DEF∽△DBC，
∴，
40cm=0.4m，20cm=0.2m，
即，
解得BC=4，
∵AC=1.5m，
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5m
故答案为：5.5m
【点睛】考点：相似三角形
13．12
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，首先证明出两个三角形相似，由相似三角形的性质可以得到两个三角形的面积比，进而得到答案，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的面积为4，
∴的面积是16，
∴，
故答案为：12．
14．①③④
【分析】利用圆周角定理即可判断①；依据三角形内心的定义判断②；利用角平分线的性质、三角形的内角和定理判断③；利用三角形的外角性质及等角对等边判定得出DB=DI=DC，由此判断④.
【详解】∵I是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
即∠BAD=∠CAD，
∴∠CAD绕点A顺时针旋转一定的角度一定能与∠DAB重合，所以①正确；
∵I是△ABC的内心，
∴点I到三角形三边的距离相等，所以②错误；
连接IC，
∵BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，
∴∠1=∠ABC，∠ICB=∠ACB．
∵∠BIC=180°﹣∠1﹣∠ICB，
∴∠BIC=180°﹣（∠ABC+∠ACB）
=180°﹣（180°﹣∠BAC）
=90°+∠BAC，所以③正确；
∵∠1=∠2，∠3=∠CAD=∠4，
∴∠2+∠3=∠1+∠4，
而∠5=∠2+∠3，
∴∠5=∠1+∠4，即∠5=∠DBI，
∴DB=DI．
∵∠3=∠CAD，
∴，
∴BD=CD，
∴DB=DI=DC，
∴点B、I、C在以点D为圆心，DB为半径的圆上，
即点D是△BIC的外心，所以④正确.
故答案为：①③④.
【点睛】此题考查三角形的内心、外心的定义，圆周角定理，三角形的外角性质定理，三角形的内角和定理、角平分线的性质定理，利用等角对等边进行证明.
15．
【分析】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，先求绝对值，零指数幂，负整数指数幂，再进行加减，即可解答，熟记特殊角的三角函数的值是解题的关键。
【详解】解：原式．
16．菱形的边长为
【分析】本题考查菱形的性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，先得出，再设，，根据勾股定理得出，进而得出，得出，，即可得出答案．解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
【详解】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
设，，
则，
∴，
∴，，
∴菱形的边长为．
17．
【分析】过A作AD⊥BC，交BC于点D，交HG于点M，则可证明△AHG∽△ABC，进而求出HG的长，即可解决问题．
【详解】作AD⊥BC，交BC于点D，交HG于点M，
∵四边形EFGH是正方形，
∴EH=MD=HG，设正方形的边长HG=x，则AM=10﹣x，且AM⊥GH．
∵HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴=，即=，
解得：x=6，
∴S正方形HEFG=36（cm2）．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题，作辅助线，构造三角形相似是解题的关键．
18．该可疑船只的航行路程约为海里
【分析】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是方向角含义、三角函数的定义，过点C作，垂足为点D，设海里，得出，，根据，得出，即可得出答案，解题关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．
【详解】解：过点C作，垂足为点D，设海里，
∵，
∴，
在中，
∵，
∴，
∴，
∵，
即，
解得，
∴海里，则该可疑船只的航行路程约为海里．
19．
【分析】本题考查了垂径定理、中位线的性质以及勾股定理：先根据得，再根据勾股定理进行列式，得，解出，再结合中位线的性质，即可作答．正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：连接，如图，
∵，
∴，
设，
则，
在中，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∵是直径，
∴，
∵是的中位线，
∴，
在中，．
20．见解析
【分析】本题考查的是等边三角形的性质，三角形的外角的性质，相似三角形的判定与性质，本题先证明与，可得，再利用相似三角形的性质可得结论．
【详解】证明：∵是等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
21．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；
（2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可求解．
【详解】（1）证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，
∴
由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，
∴∠EAF=∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴，
∴=
22．(1)直线与外接圆相切
(2)
【分析】本题考查了切线的判定以及勾股定理的有关知识．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
（1）连接OE，结合两半径构成的等腰三角形性质和角平分线定义，易证为垂直关系；
（2）由（1）的结论，根据勾股定理构造方程，可求出半径长，再求出的值．
【详解】（1）解：直线AC与外接圆相切．
理由如下：设外接圆的圆心为O，连接OE，如图，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴AC为的切线．
（2）解：设的半径为r，则，，
在中，，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．（1）证明过程见解析；（2）6+4
【分析】（1）根据CB=CD得出∠CBD=∠CDB，然后结合∠BCD=2∠ABD得出∠ABD=∠BCE，从而得出∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°，然后得出切线；
（2）根据Rt△AFD和Rt△BFD的性质得出AF和DF的长度，然后根据△ADF和△ACB相似得出相似比，从而得出BC的长度.
【详解】（1）∵CB=CD
∴∠CBD=∠CDB
又∵∠CEB=90°
∴∠CBD+∠BCE=∠CDE+∠DCE
∴∠BCE=∠DCE且∠BCD=2∠ABD
∴∠ABD=∠BCE
∴∠CBD+∠ABD=∠CBD+∠BCE=90°
∴CB⊥AB垂足为B
又∵CB为直径
∴AB是⊙O的切线.
（2）∵∠A=60°，DF=
在Rt△AFD中得出AF=1
在Rt△BDF中，
∵∠ABD=∠BCE，
∴
∴BD2=2BC，
∵BC=AB，
∴AB=BF+AF=BF+1，
∴BD2=2×（BF+1）=6（BF+1），
在Rt△BDF中，BD2-BF2=DF2=3，
∴6（BF+1）-BF2=3，
∴BF=3+2或BF=3-2（舍），
∴BC=AB=（BF+1）=（3+2+1）=6+4．
考点：（1）圆的切线的判定；（2）三角函数；（3）三角形相似的判定
24．（1）证明见解析；（2）结论仍然成立；理由见解析；（3）或
【分析】（1）由，得到，可证，利用三角形相似的性质，得到答案．
（2）由，得到，可证，利用三角形相似的性质，得到答案．
（3）过点作于点，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，由题得到，则有，得到，根据，得到答案．
【详解】（1）证明：如图，
，
，，
，
，
．
（2）结论仍然成立．
理由：如图，
，，
．
，
，
，
．
（3）如图，过点作于点，
，，
，
由勾股定理得：，
以点为圆心，为半径的圆与相切，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
即所满足的等量关系式为：或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解答本题的关键．