河南省周口市太康县2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份河南省周口市太康县2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题．，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。

一、选择题．（每题3分，共30分）
1．使二次根式有意义的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知m是方程的一个根，那么代数式的值等于（ ）
A．1B．0C．D．2
4．用配方法解方程，变形后的结果正确的是( )
A．B．C．D．
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，则sinB的值是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，是的边上一点，要使，则它们必须具备的条件是（ ）
A．B．C．D．
8．关于的方程的根的情况是（ ）
A．方程有两个相等的实数根B．方程没有实数根
C．方程总有两个不相等的实数根D．只有一个实数根
9．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（ ）
A．2B．0C．1D．2或0
10．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP＝1，D为AC上一点，若∠APD＝60°，则CD的长为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题．（每题3分，共15分）
11．计算﹣9的结果是 ．
12．已知为锐角，，则 度．
13．已知、是方程的两根，则 ．
14．如图，在中，，，，点D、E分别是AB、AC的中点，CF是的平分线，交ED的延长线于点F，则DF的长是 ．
15．如图．是矩形的边上的点．交于点，已知与的面积分别为2和8，则四边形的面积为 ．
三、解答题．（共75分）
16．计算．
(1)
(2)
17．解方程．
(1)
(2)
18．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=3，AB=5，求的值．
19．已知关于的方程．
（1）若是此方程的一根，求的值及方程的另一根；
（2）试说明无论取什么实数值，此方程总有实数根．
20．某数学兴趣小组去测量一座小山的高度，在小山顶上有一高度为米的发射塔，如图所示，在山脚平地上的处测得塔底的仰角为，向小山前进米到达点处，测得塔顶的仰角为，求小山的高度．
21．某商店以每件40元的价格进了一批商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．
（1）求该商品平均每月的价格增长率；
（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时销售此商品每月的利润可达到4000元．
22．如图，在矩形中，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动．点以的速度向点移动．当点运动到点停止时，点也随之停止运动．问几秒后，点和点的距离是
23．在矩形中，是射线上的点，连接，将沿直线翻折得．
（1）如图1，点恰好在上，求证：；
（1）若以点为顶点的三角形是直角三角形，则的长为
参考答案与解析
1．C
【分析】根据二次根式的定义直接列不等式求解即可．
【详解】解：由二次根式的定义可得：，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题考查二次根式的定义，理解并掌握二次根式的基本定义与性质是解题关键．
2．C
【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断．
【详解】解：A．与不能合并，所以A选项错误；
B．原式，所以B选项错误；
C．原式，所以C选项准确；
D．原式，所以D选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3．A
【分析】把x=m代入方程得：，进而问题可求解．
【详解】解：把x=m代入方程得：，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
4．D
【分析】先将常数项移到右侧，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，配方后进行判断即可.
【详解】，
，
，
所以，
故选D.
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的一般步骤以及注意事项是解题的关键.
5．D
【分析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．
【详解】解：如图所示：
∵∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，
∴，
∴．
故选：D．

【点睛】本题考查勾股定理的应用和锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，解题的关键是理解三角函数的定义．
6．A
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式即可解答．
【详解】解：∵DE//AB，
∴
∴的值为．
故答案为A．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理确定对应比例关系是解答本题的关键．
7．D
【分析】根据相似三角形的判定条件逐一判断即可．本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．
【详解】解：由题意得，
当时，不能证明，故A选项不符合题意；
当时，不能证明，故B选项不符合题意；
当时，不能证明，故C选项不符合题意；
当，即时，能证明，故D选项符合题意；
故选D．
8．C
【分析】本题考查了一元二次方程的根，掌握方程的判别式：，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数根是解题的关键．计算，然后判断与0的大小即可．
【详解】解：∵
，
∴方程总有两个不相等的实数根，
故选：C．
9．B
【详解】设方程的两根为x1，x2，
根据题意得x1+x2=0，
所以a2-2a=0，解得a=0或a=2，
当a=2时，方程化为x2+1=0，△=-4＜0，故a=2舍去，
所以a的值为0．
故选B．
10．B
【分析】由题意知，求得CD的长只需证的△ABP∽△PCD即可．
【详解】∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°,AB=BC=3
又BP=1，
∴ PC=2，
又∠APD=60°，∠BAP=∠CPD,
∴△ABP∽△PCD
∴AB:CP=BP:CD
即，3:2=1：CD,
∴CD=
∴选项A,C,D错误，
只有B正确．
【点睛】本题难度小，在解题过程中注意找准对应边，由已知可得到相似比，从而求出．
11．-
【分析】直接化简二次根式，进而合并求出答案．
【详解】解：原式
,
．
故答案为．
【点睛】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
12．
【分析】根据特殊角的三角形函数值得到，即可得到答案，此题考查了特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值得到方程是解题的关键．
【详解】解：∵为锐角，，，
∴，
∴，
故答案为：
13．6
【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2，x1x2=-1，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算出值即可．
【详解】解：∵、是方程的两根，
∴x1+x2=2，x1x2=-1，
所以，=．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．
14．4
【分析】勾股定理求AC的长,中位线证明EF=EC,DE=2.5即可解题.
【详解】解：在中，,,
∴AC=13（勾股定理）,
∵点、分别是、的中点，
∴DE=2.5（中位线）,DE∥BC,
∵是的平分线，
∴∠ECF=∠BCF=∠EFC,
∴EF=EC=6.5,
∴DF=6.5-2.5=4.
【点睛】本题考查了三角形的中位线,等角对等边,勾股定理,中等难度,证明EF=EC是解题关键.
15．38
【分析】本题考查相似三角形的性质判定，其关键是运用“同高的两个三角形面积之比等于对应底之比”得到相似三角形的相似比．根据同高的两个三角形面积之比等于对应底之比求得的值，再证明，可求得的面积，从而得到的面积，再得到面积 ，最后用的面积减去的面积即得四边形的面积．
【详解】解：∵与的面积分别为2和8，与中、边上的高相同，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
故答案为：38．
16．(1)
(2)
【分析】（1）先把二次根式化简成最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式进行计算，再进行加减运算即可；
此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和乘法公式是解题的关键．
【详解】（1）解：
（2）
17．(1)
(2)
【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可；
（2）整理后利用因式分解法解一元二次方程即可；
此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法和因式分解法是解题的关键．
【详解】（1）解：
∴，
∵，
∴，
∴
（2）
∴，
则
，
∴或，
解得．
18．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）由于AG⊥BC，AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°，从而可证明∠AED=∠ACB，进而可证明△ADE∽△ABC；
（2）△ADE∽△ABC，，又易证△EAF∽△CAG，所以，从而可求解．
【详解】（1）证明：∵AG⊥BC，AF⊥DE，
∴∠AFE=∠AGC=90°，
∵∠EAF=∠GAC，
∴∠AED=∠ACB，
∵∠EAD=∠BAC，
∴△ADE∽△ABC，
（2）由（1）可知：△ADE∽△ABC，
∴
由（1）可知：∠AFE=∠AGC=90°，
∴∠EAF=∠GAC，
∴△EAF∽△CAG，
∴，
∴=
19．（1），方程的另一根为；（2）见解析．
【分析】（1）把已知的根代入方程中，得关于k的方程，解方程即可求得k的值，再由根与系数的关系即可求得另一个根；
（2）求出关于x的方程的判别式，根据判别式的符号即可判断．
【详解】（1）把代入方程有：，
解得．
故方程为，
设方程的另一个根是，则：，
解得．
故，方程的另一根为；
（2）关于的方程中，a=1，b=2(2－k)，c=3－6k，
，
无论取什么实数值，此方程总有实数根．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，一元二次方程根的判别式等知识，掌握这些知识是解答本题的前提．
20．小山的高度为米
【分析】设塔高BC为x米，根据正切的定义列出关于x的关系式，求出x,进而得出小山的高．
【详解】解：设为米，则米，∵ ∴，而米，
在中，，
则米，米，
在中，，
解得．
答：小山的高度为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、正确理解仰角和俯角的概念是解题的关键．
21．（1）20%;（2）60元
【分析】（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，根据该商品的原价及经过两次涨价后的价格，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据总利润＝单价利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】解：（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，
依题意，得：50（1+m）2＝72，
解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该商品平均每月的价格增长率为20%．
（2）依题意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，
整理，得：x2﹣300x+14400＝0，
解得：x1＝60，x2＝240（不合题意，舍去）．
答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．或
【分析】作交于E，设运动时间为t秒，用t表示线段长，用勾股定理列方程求解．此题考查了一元二次方程的运用．利用作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理列方程是解题关键．
【详解】解：过点P做交于E．则，
设运动时间为t秒，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴四边形和是矩形，
∴，，，
在中，，
可得：，
解得．
答：P、Q两点从出发开始或后，点P和点Q的距离是．
23．（1）见解析；（2）或或5或15
【分析】（1）先利用同角的余角相等，判断出∠CEF=∠AFB，即可得出结论；
（2）分点E在线段CD上和DC的延长线上，再分别分两种情况，利用勾股定理直接计算或建立方程求解即可得出结论．
【详解】（1）解：在矩形ABCD中，∠B=∠C=∠D=90°，
由折叠可得：∠D=∠EFA=90°，
∵∠EFA=∠C=90°，
∴∠CEF+∠CFE=∠CFE+∠AFB=90°，
∴∠CEF=∠AFB，
在△ABF和△FCE中
∵∠AFB=∠CEF，∠B=∠C=90°，
∴△ABF∽△FCE；
（2）设DE=x，
∵以点E、F、C为顶点的三角形是直角三角形，
∴①当点E在线段CD上时，∠DAE＜45°，
∴∠AED＞45°，由折叠知，∠AEF=∠AED＞45°，
∴∠DEF=∠AED+∠AEF＞90°，
∴∠CEF＜90°，
∴只有∠EFC=90°或∠ECF=90°，
Ⅰ、当∠EFC=90°时，如图2，
由折叠知，∠AFE=∠D=90°，
∴∠AFE+∠EFC=90°，
∴点A，F，C在同一条线上，
即：点F在矩形的对角线AC上，
在Rt△ACD中，AD=5，CD=AB=3，
根据勾股定理得
由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，
在Rt△ECF中，EF2+CF2=CE2，
∴
∴
∴
Ⅱ、当∠ECF=90°时，如图3，点F在BC上，由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，
∴CF=BC-BF=1，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，
∴（3-x）2+12=x2，
∴
∴
②当点E在DC延长线上时，CF在∠AFE内部，而∠AFE=90°，
∴∠CFE＜90°，
∴只有∠CEF=90°或∠ECF=90°，
Ⅰ、当∠CEF=90°时，如图4，
由折叠知，AD=AF=5，∠AFE=90°=∠D=∠CEF，
∴四边形AFED是正方形，
∴DE=AF=5；
Ⅱ、当∠DCF=90°时，如图5，
∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴点F在CB的延长线上，
∴∠ABF=90°，
由折叠知，EF=DE=x，AF=AD=5，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得，
∴CF=BC+BF=9，
在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CE2+CF2=EF2，
∴（x-3）2+92=x2，
∴x=15，
即：DE=15，
综上所述，DE的长为或或5或15
故答案为：或或5或15
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积，用分类讨论的思想，根据题意画出图形是解本题的关键，