浙江省湖州市安吉县2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份浙江省湖州市安吉县2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

参考公式：抛物线的顶点坐标是
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确的选项．
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知的半径是6cm，点P到圆心O的距离为4，，则点P与的位置关系是（ ）
A．点在圆外B．点在圆上C．点在圆内D．无法判断
3．二次函数的图象顶点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．下列事件中，为不可能事件的是（ ）
A．掷一枚均匀的硬币，正面朝上B．旭日东升
C．当为某一实数时可使D．明天要下雨
5．关于二次函数的最值，下列叙述正确的是（ ）
A．当时，y有最小值0B．当时，y有最大值0
C．当时，y有最小值1D．当时，y有最大值1
6．CD是圆O的直径，弦AB⊥CD于点E，若OE=3，AE=4，则下列说法正确的是（ ）
A．AC的长为B．CE的长为3
C．CD的长为12D．AD的长为10
7．如图，在中，弦与半径交于点，连接，若，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
8．已知二次函数，其函数值与自变量之间的部分对应值如表所示：点在函数的图象上，当时，与的大小关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，已知△ABC，O为AC上一点，以OB为半径的圆经过点A，且与BC，OC交于点D，E．设∠A=α，∠C=β（ ）
A．若α+β=70°，则的度数为20°B．若α+β=70°，则的度数为40°
C．若α﹣β=70°，则的度数为20°D．若α﹣β=70°，则的度数为40°
10．设，分别是函数，图象上的点，当时，总有恒成立，则称函数，在上是“逼近函数”，为“逼近区间”．则下列结论：
①函数，在上是“逼近函数”；
②函数，在上是“逼近函数”；
③是函数，的“逼近区间”；
④是函数，的“逼近区间”．
其中，正确的有（ ）
A．②③B．①④C．①③D．②④
二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．
11．二次函数的图象与轴交点坐标是 ．
12．若四边形内接于，，则 ．
13．一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球(只有颜色不同)， 其中3个是红球，1个是黑球，从中任意摸出一个球，是黑球的概率是 ．
14．如图，BD、CE是⊙O的直径，弦AE∥BD，AD交CE于点F，∠A＝25°，则∠AFC＝ ．
15．抛物线的图象与轴交点的横坐标为和1，则方程的解为 ．
16．对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的不动点．已知二次函数．
（1）若3是此函数的不动点，则的值为 ．
（2）若此函数有两个相异的不动点，，且，则的取值范围为 ．
三、解答题：本大题有8个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．
17．已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)判断点是否在抛物线上，请说明理由．
18．现有三张正面分别标有一个正数，一个负数和一个0的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀．
（1）从中随机抽取一张卡片，卡片上的数是0的概率为多少？
（2）从中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取-张记下数字，求前后两次抽取的数字之积为0的概率．（用列表法或画树状图求解）
19．的顶点都在正方形网格格点上，如图所示．
(1)将绕点A顺时针方向旋转得到(点对应点)， 画出．
(2)请找出过三点的圆的圆心， 标明圆心的位置．
20．如图，抛物线y＝x2﹣2x+c的顶点A在直线l：y＝x﹣a上，点D（3，0）为抛物线上一点．
（1）求a的值；
（2）抛物线与y轴交于点B，试判断△ABD的形状．
21．如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F．

(1)求证：点D为弧的中点；
(2)若，，求的直径．
22．掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据兰州市高中阶段学校招生体有考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
23．已知二次函数．
(1)若图象过点，求抛物线顶点坐标．
(2)若图象与坐标轴有两个交点，求的值．
(3)若函数图象上有两个不同的点，且，求的取值范围．
24．已知为的外接圆，．
(1)如图1，连接交于点，过作的垂线交延长线于点．
①求证：平分；
②设，请用含的代数式表示；
(2)如图2，若，为上的一点，且点位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想三者之间的数量关系并给予证明．
参考答案与解析
1．C
【分析】本题考查了二次函数的定义，形如的函数叫做二次函数．牢记“二次项系数不为0，未知数最高次为2”是解题关键．
【详解】A、因为未知数最高次为1，是一次函数，故A不符合题意；
B、因为未知数最高次为1，是一次函数，故B不符合题意；
C、因为未知数最高次为2，二次项系数不为0，是二次函数，故C符合题意；
D、因为是分式，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：C．
2．C
【分析】直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解：∵的半径为6cm,点P到圆心O的距离为4，
∴点P到圆心O的距离小于圆的半径，
∴点P在内．
故选：C．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内 ．
3．D
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式的顶点坐标为，即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件．熟练掌握在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件，是解题的关键．
根据随机事件、必然事件、不可能事件的定义进行判断即可．
【详解】解：由题意知，A中掷一枚均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，故不符合要求；
B中旭日东升，是必然事件，故不符合要求；
C中当x为某一实数，，是不可能事件，故符合要求；
D中明天要下雨，是随机事件，故不符合要求；
故选：C．
5．D
【分析】先把二次函数解析式换成顶点式，即可得出最值．
【详解】∵，
∴抛物线开口向下，对称轴为 ，顶点坐标为 ，
∴当时，y有最大值1；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的最值问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．
6．A
【分析】连接AO，分别在Rt△AOE中，Rt△ACE中，Rt△ADE中，根据勾股定理即可求得相应线段的长度，依此判断即可．
【详解】解：连接AO，
∵AB⊥CD于点E，OE=3，AE=4，
∴在Rt△AOE中，根据勾股定理
,
∵CD为圆O的直径，
∴OC=OD=OA=5，
∴CD=10，CE=OC-OE=2，故B选项和C选项错误；
在Rt△ACE中，根据勾股定理
，故A选项正确；
在Rt△ADE中，根据勾股定理
，故D选项错误；
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理，同圆半径相等．正确作出辅助线，构造直角三角形是解题关键．注意圆中半径相等这一隐含条件．
7．C
【分析】本题考查了三角形外角的性质，圆周角定理；先利用三角形外角的性质求出，再根据圆周角定理得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象增减性是解题的关键．先由表格中的点坐标，运用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数开口方向和对称轴，即可得出结论．
【详解】解：从表中可知，二次函数过点，，，
则有，，
解得，，
即二次函数为：，
该二次函数开口向下，对称轴为直线，
∵，
∴距离对称轴近，距离对称轴远，
∴，
故选：A．
9．B
【分析】连接BE，根据圆周角定理求出∠ABE=90°，∠AEB=90﹣α，再根据三角形外角性质得出90°﹣α=β+，得到的度数为180°﹣2（α+β），再逐个判断即可．
【详解】解：连接BE，设的度数为θ，
则∠EBD= ，
∵AE为直径，
∴∠ABE=90°，
∵∠A=α，
∴∠AEB=90﹣α，
∵∠C=β，∠AEB=∠C+∠EBC=β+，
∴90°﹣α=β+，
解得：θ=180°﹣2（α+β），
即的度数为180°﹣2（α+β），
A、当α+β=70°时，的度数是180°-140°=40°，故本选项错误；
B、当α+β=70°时，的度数是180°-140°=40°，故本选项正确；
C、当α-β=70°时，即α=70°+β，的度数是180°-2（70°+β+β）=40°-4β，故本选项错误；
D、当α-β=70°时，即α=70°+β，的度数是40°-4β，故本选项错误；
故选：B．
．
【点睛】本题考查了圆周角定理和三角形的外角性质，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
10．A
【分析】分别求出的函数表达式，再在各个x所在的范围内，求出的范围，逐一判断各个选项，即可求解．
【详解】解：①∵，，
∴，当时，，
∴函数，在上不是“逼近函数”；
②∵，，
∴，当时，，
函数，在上是“逼近函数”；
③∵，，
∴，当时，，
∴是函数，的“逼近区间”；
④∵，，
∴，当时，，
∴不是函数，的“逼近区间”．
故选A
【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的性质，掌握一次函数与二次函数的增减性，是解题的关键．
11．
【分析】题考查了二次函数与坐标轴交点坐标的求法，理解坐标轴上点的坐标的特点是解题关键．
【详解】解：当时，，
∴二次函数的图象与轴交点坐标是，
故答案为：．
12．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补可得答案．
【详解】解：如图，
∵四边形内接于，，
∴．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形的对角互补．
13．
【分析】首先列举出所有的可能结果，再根据概率的计算公式进行计算即可．
【详解】任意摸出一个球，有4种结果，其中1个是黑球，
∴从中任意摸出一个球，是黑球的概率为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列举法求概率，熟练掌握运用概率公式是解答本题的关键．
14．75°##75度
【分析】先由平行线的性质求出∠ADB的度数，再由圆周角定理求出∠EOD，即可利用三角形外角的性质求解．
【详解】解：∵弦AE∥BD，∠A＝25°，
∴∠ADB＝∠A＝25°，
∵对的圆周角是∠A，圆心角是∠EOD，
∴∠A＝EOD，
∵∠A＝25°，
∴∠EOD＝50°，
∴∠AFC＝∠D+∠EOD＝25°+50°＝75°，
故答案为：75°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，圆周角定理，三角形外角的性质，熟知圆周角定理是解题的关键．
15．5或##或5
【分析】本题考查了一元二次函数与一元二次方程的联系，熟记“当函数值为0时即抛物线与轴有交点则可将二次函数看作一元二次方程，交点横坐标为一元二次方程的根”是解题关键．
【详解】解：的图象与轴交点的横坐标为和1，
又∵的对称轴为，的对称轴为，
∴两抛物线形状和开口方向相同，对称轴关于轴对称，
∴两抛物线与轴的交点也关于轴对称，
的图象与轴交点的横坐标为和5，
的两个根为和5，
故答案为：5或．
16． ； ．
【分析】（1）根据不动点定义当，代入解一元一次方程即可得到答案；
（2）根据不动点定义列方程解出一元二次方程的解，结合及判别式大于0即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
当，，代入可得，
，
解得：，
故答题空1为：；
设函数不动点为n，由题意可得，
，且有两个解，，
解得：，，
且，解得：，
∵，
∴，，
解得：，
故答题空2为：．
【点睛】本题考查一元二次方程与二次函数结合，解题的关键是理解新定义不动点列方程求解．
17．(1)
(2)不在
【分析】本题考查了求二次函数解析式，熟练掌握“用待定系数法求函数解析式”是解题关键．点在函数上即满足函数解析式．
【详解】（1）解：经过，
，
解得：，
故抛物线的表达式为：．
（2）将点代入可得：
，
故点不在抛物线上．
18．（1）；（2）
【分析】（1）从中随机抽取一张卡片，卡片上的数是0的概率=抽到是0的可能÷所有可能；
（2）先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两个数的积等于0的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）从中随机抽取一张卡片，正面的数字是0的概率=；
故答案为；
（2）画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两个数的积等于0的结果数为5，
所以两个数的积等于0的概率=；
故答案为．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
19．(1)画图见解析
(2)画图见解析
【分析】（1）根据旋转的性质画出对应的图形即可得到答案；
（2）过三点的圆的圆心，就是到三点距离相等的点，也就是线段和线段的垂直平分线的交点．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求：
（2）解：作线段和线段的垂直平分线，交点标为点O，点O就是要所求作的点，如图所示：
【点睛】本题主要考查了旋转作图和线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
20．（1）5；（2）直角三角形．
【分析】（1）根据点D的坐标可求出抛物线的解析式，进而求出顶点A的坐标，将A代入直线方程可求出 的值.
（2）令抛物线中的 求出点B的坐标，然后求出三边的长，进而判断三角形的形状即可.
【详解】解：（1）∵点D（3，0）在抛物线y＝x2﹣2x+c
∴9﹣6+c＝0，
∴c＝﹣3．
由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，得顶点A为（1，﹣4）
∵顶点A在直线y＝x﹣a上，
∴当x＝1时，
∴y＝1﹣a＝﹣4，
∴a＝5；
（2）△ABD是直角三角形；
由（1）可知，y＝x2﹣2x﹣3，
∴B（0，﹣3），
BD2＝OB2+OD2＝18，AB＝（4﹣3）2+12＝2，AD＝（3﹣1）2+42＝20，
BD2+AB2＝AD2，
∴∠ABD＝90°，即△ABD是直角三角形．
【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的结合，根据点在图像上可以求点的坐标也可以求出函数的解析式，以及根据三角形三边关系判断三角形的形状等，利用数形结合的思想是解题的关键.
21．(1)见解析
(2)20
【分析】（1）根据圆周角定理、平行线的性质可得，再根据垂径定理即可证明；
（2）根据垂径定理可得，再用勾股定理解即可．
【详解】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点D为的中点；
（2）解：∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的直径为20．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，平行线的性质，解直角三角形等，解题的关键是熟练运用垂径定理．
22．(1)y关于x的函数表达式为；
(2)该女生在此项考试中是得满分，理由见解析．
【分析】（1）根据题意设出y关于x的函数表达式，再用待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令y=0，解方程即可求解．
【详解】（1）解∶∵当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处，
∴设，
∵经过点(0， )，
∴
解得∶
∴，
∴y关于x的函数表达式为；
（2）解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下∶
∵对于二次函数，当y=0时，有
∴，
解得∶， (舍去)，
∵>6.70，
∴该女生在此项考试中是得满分．
【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的解法，利用待定系数法求出二次函数的解析是是解题的关键．
23．(1)抛物线顶点坐标
(2)的值为或或1；
(3)
【分析】本题考查待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线与一元二次方程关系．
（1）利用待定系数法求得，再配方成顶点式，即可求解；
（2）分“抛物线顶点在轴上或者抛物线经过原点”两种情况讨论，分别求解即可；
（3）先代入得到，，求得关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：把点代入，
得，
∴函数解析式是，
抛物线顶点坐标；
（2）解：∵二次函数的图象与坐标轴有两个交点时，抛物线顶点在轴上或者抛物线经过原点，
①抛物线顶点在轴上，即抛物线与轴有唯一交点．
令，即则，
解得；
②抛物线经过原点，即解得，
当时，，满足题意．
综上所述，的值为或或1；
（3）解：点是函数图象上有两个不同的点，
∴，，
，
，
∴
，
点是图象上有两个不同的点，
，
．
24．(1)①见解析；②
(2)，证明见解析
【分析】（1）①证明，可得，即可得证；②首先求出，得到，根据等边对等角得到，，在四边形中，利用内角和列出关系式，化简即可；
（2）猜想，，三者之间的数量关系为：，交于点，连接，，由已知可得；利用同弧所对的圆周角相等，得到，，由于与关于对称，于是，则得为等腰直角三角形，为直角三角形；利用勾股定理可得：，；利用得到，等量代换可得结论．
【详解】（1）解：①连接，
则，
在和中，
，
∴，
∴，即平分；
②∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在四边形中，，
即，
化简得：；
（2），，三者之间的数量关系为：．理由：
延长交于点，连接，，如图，
，，
．
，．
．
．
与关于对称，
，
，
．
．
．
即．
，
，即．
在和中，
，
．
．
．
【点睛】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的有关性质，勾股定理，圆周角定理及其推论，等腰直角三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，直角三角形的判定与性质，轴对称的性质．根据图形的特点恰当的添加辅助线是解题的关键．
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2
3
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