山东省德州市平原县三校联考2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份山东省德州市平原县三校联考2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选均计零分．）
1．神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，下列航天图标是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
3．已知函数y=（m+1）是反比例函数，则m的值为（ ）．
A．1B．-1C．1或-1D．任意实数
4．如图所示的工件槽的两个底角均为，尺寸如图（单位），将形状规则的铁球放入槽内，若同时具有，，三个接触点，则该球的半径是 ．
A．10B．18C．20D．22
5．已知直角三角形的两条边长分别是方程x2﹣9x+20＝0的两个根，则此三角形的第三边是（ ）
A．4或5B．3C．D．3或
6．已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知扇形的半径为，圆心角的度数为，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的底面半径为（ ）
A．B．C．D．
8．下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，P为正方形内一点，，将绕点C逆时针旋转得到，则的长是（ ）
A．1B．C．2D．
10．如图，已知为的内接四边形，，，则下列结论错误的是( )
A．B．C．D．
11．如图，的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，已知的周长为36．，，则AF的长为（ ）
A．4B．5C．9D．13
12．如图所示是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，直线x＝﹣1是对称轴，有下列判断：①b﹣2a＝0，②4a﹣2b+c＜0，③a﹣b+c＝﹣9a，④若（﹣3，y1），（，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2．其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③C．①④D．①③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题填对得4分，共24分．）
13．不透明布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，从中一次性摸出两个球，两个球都是白球的概率是 ．
14．某种植物的主干长出若干树木的支干，每个支干又长出同样树木的小分支，主干、支干、和小分支的总数是91，每个支干长出x个小分支，则x= ．
15．如图，是等腰三角形的底边中线，，，与关于点中心对称，连接，则的长是 ．
16．将二次函数的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后的二次函数的图象的顶点坐标是 ．
17．如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝2cm，以直角顶点B为圆心，AB长为半径画弧，再以AC为直径画弧，两弧之间形成阴影部分．阴影部分面积为 cm2．
18．如图，平面直角坐标系中，△OAB和△BCD都是等腰直角三角形，且∠A＝∠C＝90°，点B、D都在x轴上，点A、C都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则点C的横坐标为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共78分）
19．解方程
(1)
(2)
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，与反比例函数的图象交于点，连接．已知点，的面积是．
(1)求、的值；
(2)求的面积；
(3)观察图象，直接写出当时，的取值范围．
21．某中学九年级（1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了4个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图①，②，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），请你根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)由图可知，共调查了__________名学生；并把条形统计图补充完整；
(2)表示“足球”的扇形的圆心角是___________度；
(3)排球兴趣小组4名学生中有3男1女，现在打算从中随机选出2名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的2名学生恰好是1男1女的概率．
22．如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，CD＝CB，∠D＝∠A
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，求BD的长．
23．卡塔尔世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于45元，且获利不高于50%．试销售期间发现，当销售单价定为45元时，每天可售出310本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售为本，销售单价为元．
(1)请直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围；
(2)将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润元最大？最大利润是多少元？
(3)当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2600元？
24．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．
(1)当点D在AC上时，如图①，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请证明你的猜想；
(2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜90°），如图②，线段BD，CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．
25．如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点．

(1)求二次函数的解析式；
(2)当时，请直接写出的范围；
(3)点是抛物线上位于第二象限的一个动点，连接，当时，求点的横坐标．
参考答案与解析
1．B
【分析】本题考查了中心对称图形的定义，据此进行逐项分析，即可作答．在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：A、 不是中心对称图形，故该选项是错误的；
B、 是中心对称图形，故该选项是正确的；
C、 不是中心对称图形，故该选项是错误的；
D、 不是中心对称图形，故该选项是错误的；
故选：B．
2．D
【分析】由题意可以得到的值，然后代入所求代数式即可得解．
【详解】解：由题意可得：
，
∴，
∴
=2×2+2022=2026，
故选D ．
【点睛】本题考查代数式的综合应用，熟练掌握一元二次方程根的意义、已知式子的值求代数式的值的方法是解题关键 ．
3．A
【详解】试题分析：反比例函数的解析式为y=k（k为常数，且k≠0），根据题意可得：－2=－1且m+1≠0，解得：m=1.
考点：反比例函数的定义.
4．A
【分析】连接AB，OA，OE，则AB=16cm，OE⊥AB于点F，然后根据垂径定理得到AF=AB=8cm，再设圆的半径为r，利用勾股定理得到关于r的方程，然后解方程即可.
【详解】
解：连接AB，OA，OE，则AB=16cm，OE⊥AB于点F，
∵OE⊥AB，
∴AF=AB=8cm，
设圆的半径为r（cm），则EF=r﹣4（cm），
∵AF2=AE2+EF2，
∴r2=82+(r﹣4)2，
解得：r=10cm.
故选A.
【点睛】本题主要考查圆的垂径定理，勾股定理.解此题的关键在于熟练掌握其知识点.
5．D
【分析】先利用因式分解法解得，，然后分类讨论：当两直角边分别为4和5或斜边为5，再利用勾股定理计算出第三边．
【详解】解：解方程得，，
当两直角边分别为4和5，则第三边的长，
当斜边为5，第三边的长，
所以此三角形的第三边长为3或．
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，勾股定理，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解．
6．D
【详解】试题分析：根据二次函数的图象得到a＞0，b＞0，c＜0，再根据一次函数和反比例函数图象与系数的关系作出判断：
∵抛物线y=ax2+bx+c开口向上，∴a＞0.
∵抛物线的对称轴为直线x=，∴b＞0.
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0.
∵c＜0，，∴一次函数的图象过第一、二、四象限.
∵ab＞0，∴反比例函数分布在第一、三象限．
∴一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是选项D.
故选D．
考点：1.二次函数、一次函数、反比例函数的图象和系数的关系；2.不等式的性质.
7．A
【分析】本题考查求圆锥的底面半径，根据扇形的半径是圆锥的母线长，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，即可求解．
【详解】解：依题意， ，
解得
故选：A．
8．B
【分析】根据确定圆的条件，垂径定理，弦与圆心角的关系，三角形的外心的定义，逐项分析判断即可求解．
【详解】解：①同一平面内，不共线三点确定一个圆，故①错误，
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故②正确，符合题意；
③同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故③错误；
④三角形的外心到三个顶点的距离相等，故④正确，符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了确定圆的条件，垂径定理，弦与圆心角的关系，三角形的外心的定义，掌握以上知识是解题的关键．
9．B
【分析】根据旋转的性质，旋转后的三角形是等腰直角三角形，由勾股定理可求得
【详解】∵绕点C逆时针旋转得到，其旋转中心是点C，旋转角度是
∴,
∴是等腰直角三角形
∴
故选项是B．
【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握正方形和旋转的性质，得出三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键
10．C
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，弦与弧、圆心角的关系，根据已知条件，结合选项逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：连接，
∵为的内接四边形，，
∴，故A选项正确；
∵，
∴，
∴，故B、D选项正确；
∵，
∴，故C选项不正确
故选：C．
11．A
【分析】由切线长定理可得，再分别设，，根据三角形的三边长度列出方程组求解未知数即可．
【详解】解：的周长为36．，，
∴,
由切线长定理可得，
，
设，，
解得：
∴；
故选：A．
【点睛】本题主要考查切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；熟练掌握圆的切线长定理是解决本题的关键．
12．B
【分析】根据二次函数的开口方向，与x轴交点的个数，与y轴交点的位置、对称轴的位置即可判断．
【详解】①∵对称轴为x=-1，
∴-=-1，
∴b-2a=0，故①正确；
由于对称轴为x=-1，
∴（2，0）的对称点为（-4，0）
∴当-4＜x＜2时，y＞0，
令x=-2代入y=ax2+bx+c
∴y=4a-2b+c＞0，故②错误
令x=2代入y=ax2+bx+c，
∴4a+2b+c=0，
∵b=2a，
∴c=-4a-2b=-4a-4a=-8a，
令x=-1代入y=ax2+bx+c，
∴y=a-b+c=a-2a-8a=-9a，故③正确，
∵对称轴为x=-1，
∴（-3，y1）关于x=-1的对称点为（1，y1）
∵x＞-1时，y随着x的增大而减少，
∴当1＜时，
∴y1＞y2，故④错误，
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用抛物线的图象来判断待定系数a、b、c之间的关系．
13．
【分析】根据题意可列出树状图进行求解即可．
【详解】解：由题意得：
∵有6种等可能的情况，从中一次性摸出两个球，两个球都是白球的有2种，
∴两次都摸出白球的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了利用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．
14．9
【分析】根据主干+支干数目+支干数目×支干数目=91，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：∵主干为1，每个支干长出x个小分支，每个支干又长出同样数目的小分支，
∴小分支的个数为：x×x=x2，
∴可列方程为：1+x+x2=91．
解得：x1=9，x2=-10（舍去）．
答：每个支干长出9个小分支．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用：列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程求解．
15．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及中心对称，根据等腰三角形的性质可得，根据与关于点中心对称，可得，再根据勾股定理可得的长．
【详解】解：∵是等腰三角形的底边中线，
∴，
∴，
∵与关于点中心对称，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律解答．
【详解】解：，
∴二次函数的图象的顶点坐标是，
图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到函数图象的顶点坐标是．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．
17．2
【分析】先根据勾股定理求得AC的长，再仔细分析图形特征可得阴影部分的面积等于半圆AC的面积减去扇形面积与等腰直角三角形ABC的面积的差.
【详解】∵等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝2cm
∴
∴阴影部分面积.
【点睛】解题的关键是熟练掌握扇形的面积公式：，注意在使用公式时度不带单位.
18．##
【分析】过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F，设OE=m，则点A（m，m），点B（2m，0），再利用点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，求出m，点B的坐标；又设BF=n，，则点C（2m+n，n），再利用点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象，求出n，点C的坐标．
【详解】解：如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作AF⊥x轴于点F，
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴OE=AE=BE，
设OE=m，则点A（m，m），点B（2m，0），
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴，
解得：(舍去) ，
∴点B（2，0），
同理∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BF=CF，
设BF=n，则点C（2+n，n）．
∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴，
解得：(舍去)，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数与几何综合，等腰直角三角形的性质，灵活运用等腰直角三角形的性质是解题的关键．
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用公式法求解；
（2）首先把原方程化为一元二次方程的一般形式，再根据公式法求解．
【详解】（1），
∴
∴；
（2）原方程可化为： ，
∵，
∴
∴
【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的公式法求解是解题关键．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合；
（1）先把点B的坐标代入一次函数解析式求出一次函数解析式即可求出b的值，再根据三角形面积公式求出点C的横坐标，进而求出点C的坐标，再把点C的坐标代入到反比例函数解析式中求出k的值即可；
（2）先求出点A的坐标，得到的长，再根据三角形面积公式求解即可；
（3）利用图象法求解即可．
【详解】（1）解：把代入中得：，
∴一次函数解析式为，
∵，
∴，
∵的面积是 2，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，，
∴，
∵点C在反比例函数的函数图象上，
∴；
（2）解：∵点A是一次函数与x轴的交点，
当，则，
∴，
∴，
∴；
（3）解：观察图象可知当时，一次函数的函数图象在反比例函数的函数图象下方，
∴不等式的解集为．
21．(1)；补全统计图见解析
(2)
(3)
【分析】（1）用喜欢篮球的人数除以所占的百分比求得调查总人数，再用总人数减去喜欢其它球类的人数即可求解；
（2）用喜欢足球的人数除以调查总人数，再用足球所占的百分比乘以即可求解；
（3）利用列表法得到所有等可能的结果数，再恰好是1男1女的结果数，然后利用概率公式求解即可．
【详解】（1）解：九（1）班的学生人数为：（人），
喜欢足球的人数为：（人），
补全统计图如图所示；
故答案为：．
（2）解： ，，
故答案为：；
（3）解：列表如下：
一共有12种情况，每种结果出现的可能性相等，恰好是1男1女的情况有6种，
∴（恰好是1男1女）.
【点睛】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、画树状图或列表法求概率，理解题意，能从统计图中获取有用信息并正确求解是解答的关键．
22．（1）见解析；（2）BD＝2
【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠CBD+∠OBC＝90°，则∠OBD＝90°，可得出结论；
（2）证明△OBC为等边三角形，得出∠BOC＝60°，根据直角三角形的性质可得出答案．
【详解】（1）证明：∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠BOC+2∠OBC＝180°，
∵∠BOC＝2∠A，
∴∠A+∠OBC＝90°，
又∵BC＝CD，
∴∠D＝∠CBD，
∵∠A＝∠D，
∴∠CBD+∠OBC＝90°，
∴∠OBD＝90°，
∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切线；
（2）解：∵∠OBD＝90°，∠D＝∠CBD，
∴∠OBC＝∠BOC，
∴OC＝BC，
又∵OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∵BC＝2，
∴OB＝2，
∴BD＝2．
【点睛】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
23．(1)
(2)将足球纪念册销售单价定为58元时，商店每天销售纪念册获得的利润元最大，最大利润3240元．
(3)当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2600元．
【分析】（1）根据销售量等于310减去减少的销售量即可得到解析式，再根据规定销售单价不低于45元，且获利不高于50%，可得自变量的取值范围；
（2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润（元与销售价（元箱）之间的函数关系式；再依据函数的增减性求得最大利润．
（3）把代入二次函数的解析式，再解一元二次方程并检验即可．
【详解】（1）解：由题意得：，
规定销售单价不低于45元，且获利不高于，
即最高价为60元，
∴，
∴，
（2），
∵，，
所以当时，有最大值，最大值为3240，
答：将足球纪念册销售单价定为58元时，商店每天销售纪念册获得的利润元最大，最大利润3240元．
（3）当时，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2600元．
【点睛】本题考查的是一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的性质，一元二次方程的解法，理解题意，正确的列出二次函数的关系式是解本题的关键．
24．(1)，证明见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）延长BD与EC交于点F，可以证明△ACE≌△ADB，可得BD=CE，且∠BFE=90°，进而结论得证；
（2）延长BD交CE于F，证明△ABD≌△ACE，则BD=CE、∠ABF=∠ECA；根据∠ABF=∠HCF以及三角形内角和定理可证得∠BHC=90°．
【详解】（1）证明：延长BD交CE于F，
在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠AEC+∠ACE＝90°，
∴∠ABD+∠AEC＝90°，
∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD，
∴．
（2）证明：延长BD交CE于F，
∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，
∴∠BAD＝∠EAC，
∵在△EAC和△DAB中，
，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，
∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识，证得△ACE≌△ADB和△ABD≌△ACE是解决问题的关键．
25．(1)
(2)或；
(3)
【分析】本题考查二次函数综合，待定系数法求解析式，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质与判定；
（1）用待定系数法解二次函数的解析式即可；
（2）分别计算临界点、时，相对应的的值，再结合图象解题即可；
（3）过点作轴于点，由题意设，证明是等腰直角三角形，进而根据列出方程，解一元二次方程解题．
【详解】（1）解：把、代入，得
，
解得，
所以二次函数的解析式为；
（2）当时，即抛物线与轴的交点，
当时，，
即，
，
结合图象可得，
当时，或；
（3）解：，当时，，
∴，
∵、、，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
如图，过点作轴于点，

∵
∴
∴是等腰直角三角形，
∴
设，
∵点在第二象限，
∴，
∴
∴
解得：
即点的横坐标是．
男1
男2
男3
女
男1
（男1，男2）
（男1，男3）
（男1，女）
男2
（男2，男1）
（男2，男3）
（男2，女）
男3
（男3，男1）
（男3，男2）
（男3，女）
女
（女，男1）
（女，男2）
（女，男3）