湖北省咸丰县城区四校联考2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析）

这是一份湖北省咸丰县城区四校联考2023-2024学年九年级上册期中数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，24个小题，满分120分，考试时间120分钟
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的，请将正确选项填涂在答题卷的相应位置）
1．将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上B．对称轴为直线
C．顶点坐标为D．当时，y随x的增大而减小
3．把抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线是（ ）
A．B．
C．D．
4．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
5．在平面直角坐标系中，已知函数的图象与坐标轴的交点个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
6．在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图像可能是
A． B．
C． D．
7．关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，a≠0），则方程的解是（ ）
A． B．
C．D．无法求解
8．如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，与二次函数，分别交于A、B和C、D，若，则a为（ ）
A．4B．C．2D．
9．如图，等腰直角的斜边长为4，点D从点A出发，沿的路径运动，过D作AB边的垂线，垂足为G，设线段AG的长度为x，的面积为y，则y与关于x的函数图象，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．抛物线部分图像如图所示，顶点坐标为，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，下列结论：①，②，③，④，⑤若点在二次函数的图象上，则关于x的一元二次方程的两个根分别是，1，其中正确的是（ ）
A．①④⑤B．②③④C．②④⑤D．②③④⑤
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案填写在答题卷对应题号的位置上）．
11．已知实数，是方程的两根，则 ；
12．若抛物线与抛物线的形状相同，且经过点，则它的解析式为 ．
13．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
14．若是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
15．若抛物线的顶点在x轴的负半轴上，则b的值是 ；
16．如图，抛物线：交x轴于O，A两点；将绕点A旋转得到抛物线，交x轴于；将绕点旋转得到抛物线，交x轴于，…，如此进行下去，则抛物线的解析式是 ．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．请将答案填写在答题卷对应题号的位置上，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤）．
17．解下列方程：
（1）； （2）．
18．已知二次函数图象经过点，且当时，y有最小值，求该二次函数的表达式，并判断点是否在此函数图象上．
19．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及方程的另一个根；
（2）二次函数y＝x2+ax+a﹣2的图象与x轴有交点吗？有几个交点？为什么？请说明理由．
20．如图，杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端A处恰好弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，演员在弹跳过程中，当身体离地面最大高度为5米时，与点A所在y轴的水平距离为3米，已知点A距离地面高度为1米．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)已知人梯米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水平距离是5米，问这次表演能否成功（接触到人梯则代表表演成功）？请说明理由．
21．直线和抛物线都经过点，．
(1)结合图象，方程的根为______；
(2)结合图象，不等式解集为______．
(3)当时，的取值范围是______；
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0．
（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）当一矩形ABCD的对角线长为AC＝，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长．
23．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同．
(1)求每次下降的百分率．
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
(3)在（2）的条件下，若使商场每天的盈利达到最大值，则应涨价多少元？此时每天的最大盈利是多少？
24．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，与x轴交于另一个点C，对称轴与直线AB交于点E，抛物线顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M是抛物线在第二象限图象上的动点，是否存在点M，使得的面积最大？若存在，请求这个最大值并求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形？求出符合条件的t的值．
参考答案与解析
1．C
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，先将原方程化为一般式，再找出二次项系数和一次项系数即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的一般形式是（，，是常数且）其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】解：一元二次方程化为一般形式为，
∴二次项系数和一次项系数分别为，，
故选：．
2．C
【分析】根据二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：∵二次函数，
∴，该函数的图象开口向下，故选项A错误；
对称轴是直线，故选项B错误；
顶点坐标为，故选项C正确；
当时，y随x的增大而增大，故选项D错误；
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
3．A
【分析】本题考查了二次函数的平移规律，根据“左加右减，上加下减”，即可作答．
【详解】解：∵把抛物线向左平移1个单位，再向上平移3个单位，
∴所得抛物线是
故选：A
4．B
【分析】把三个点的横坐标代入函数解析式，求出对应函数值，比较大小即可．
【详解】解：把，，分别代入得，
；；；
则，，的大小关系是，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数比较函数值大小，准确求出二次函数对应函数值是解题关键．
5．C
【分析】此题主要考查利用根的判别式判定二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握，即可解题．首先根据根的判别式判定与轴的交点，然后令，判定与轴的交点，即可得解．
【详解】解：把代入得：，
∵，
∴该函数与轴有一个交点，
当时，，
∴该函数与轴有一个交点，
∴该函数与坐标轴有两个交点．
故选：C．
6．C
【分析】x=0，求出两个函数图像在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图像经过第一、三象限，从而得解．
【详解】x=0时，两个函数的函数值y=b，
所以，两个函数图像与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，a＞0，
所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限，
所以，A选项错误，C选项正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图像，一次函数的图像，熟练掌握一次函数和二次函数图像特征和系数的关系是解题的关键．
7．C
【分析】可以把方程看作是关于的一元二次方程，从而得到，即可求解．
【详解】解：根据题意得：方程可以看作是关于的一元二次方程，
∵关于x的方程的解是，
∴关于的方程的解是，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
8．B
【分析】先求出点A、B的坐标由此得到AB的长，由此得到CD的长，点D的坐标，代入解析式即可得到答案．
【详解】解：如图，设直线AB交y轴于点E，
∵直线与二次函数交于A、B，
∴当时， ，得，
∴，
∴,
∵，
∴CD=4，
由二次函数的对称性可得CE=DE=2，
∴D（2，2），
将点D的坐标代入，得8a=2，
解得a=，
故选：B．
【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特点，正确掌握二次函数图象的对称性、图象上点的坐标特点是解题的关键．
9．B
【分析】根据题意可知点C为临界点，分别研究D在C点两侧时的情况即可．
【详解】解：当时，D在AC上运动，
∵且
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
当时，D在BC上运动，
同理可得，为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
根据解析式图象的性质可知B正确，
故选B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象问题，二次函数图象性质和等腰直角三角形的判定和性质，解决本题的关键是分析动点达到临界点前后的图形和图像的变化．
10．D
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质．由抛物线的开口方向，对称轴以及与y轴的交点，可判断①；由抛物线对称轴为直线可得与的数量关系，从而判断②，根据图像利用抛物线的顶点坐标，得到，即可判断③；，由抛物线与轴的交点范围及抛物线的对称性可判断④，由抛物线经过，可判断⑤．
【详解】解：∵开口向下，
∴，
∵二次函数的对称轴是直线，抛物线与x轴的一个交点在点和点之间，
∴另一个交点在点和点之间，
∴，
∵二次函数的对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，结论①不成立；
∵二次函数的对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，故结论③正确；
抛物线的顶线坐标为，
，
，
，
，故结论②正确；
由对称轴是直线，抛物线的一个根在点和点之间，另一个根在和之间，
∴当时，函数值随自变量的增大而减小，且，
∴当时，，故结论④正确；
结论④若点在二次函数的图像上，则关于的一元二次方程的两个根分别是，，
∵在抛物线的图像上，对称轴为，
∴也在抛物线的图像上，
∴的两个根分别是，，故结论⑤正确；
综上所述，正确的有②③④⑤，
故选：D．
11．0
【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“”是解本题的关键．
【详解】解：∵实数，是方程的两根，
∴，
故答案为：0．
12．或
【分析】根据抛物线与抛物线的形状相同，得到，根据抛物线经过点，得到，或，解得，，或，得到，或．
【详解】抛物线与抛物线的形状相同，，
∴，
∴，或
∵抛物线经过点，
∴，或，
解得，，或，
∴，或．
故答案为：，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数性质，解决问题的关键是熟练掌握二次函数图象形状与a的关系，待定系数法求函数解析式．
13．且
【分析】根据关于的一元二次方程有实数根可得到，求解即可得到答案．
【详解】解：根据题意可得：
，
解得：，
综上所述：的取值范围是且，
故答案为：且．
【点睛】此题考查了一元二次方程的定义以及有实数根的条件，熟练掌握一元二次方程的定义以及有实数根的条件是解题的关键．
14．2
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把代入得，然后解关于的方程即可．
【详解】解：把代入得，
解得，
，
，
．
故答案为：2
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，还考查了二次根式有意义的条件．
15．
【分析】本题考查的是二次函数的性质，掌握顶点在x轴上即，然后根据对称轴在负半轴上计算是解题的关键．
【详解】解：抛物线的顶点在x轴上，
∴，
解得：，
又∵顶点在x轴的负半轴上，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了旋转的性质，二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点．根据已知求出二次函数图象旋转后与轴的两个交点坐标是解题的关键．
根据图象的旋转变化规律，确定的开口方向以及与轴的两个交点坐标，进而可求解析式．
【详解】解：∵抛物线：交x轴于O，A，
∴，抛物线开口向上，经过；
将绕点A旋转得到抛物线，交x轴于；
∴，抛物线开口向下，经过；
将绕点旋转得到抛物线，交x轴于，
∴，抛物线开口向上，经过；……
∴抛物线开口向下，，经过；
∴的解析式为，
故答案为：．
17．（1），；（2），
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．二次函数的解析式为：，点不在此函数图象上，理由见解析
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，根据题意可得抛物线的顶点坐标，故设抛物线的解析式为，待定系数法即可求得二次函数的解析式；将代入二次函数的解析式，即可判断出点是否在抛物线的图象上．熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
【详解】解：∵当时，y有最小值
∴该二次函数的顶点为，
∴设二次函数的解析式为：，
∵二次函数图象经过点
∴把点代入中得：，解得，
∴二次函数的解析式为
∵当时，，
∴点不在此函数图象上．
19．（1），-；（2）有，2个，见解析
【分析】（1）将x＝1代入方程x2+ax+a﹣1＝0得到a的值，再根据根与系数的关系求出另一根；
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交点的个数与b2﹣4ac有关，当b2﹣4ac＞0，有两交点；b2﹣4ac＝0，有一个交点；当b2﹣4ac＜0，无交点．
【详解】解：（1）∵x＝1是方程x2+ax+a﹣2＝0的解，
∴把x＝1代入方程x2+ax+a﹣2＝0得：1+a+a﹣2＝0，
解得a＝，
∵x1+x2＝﹣a＝﹣，
∴1+x2＝﹣，
∴x2＝﹣，
∴a的值是，方程的另一个根为-．
（2）该抛物线与x轴有两个交点，理由如下：
由二次函数y＝x2+ax+a﹣2，知△＝a2﹣4（a﹣2）＝（a﹣2）2+4＞0，则该抛物线与x轴有两个交点．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数与一元二次方程之间的关系，抛物线与轴的交点个数取决于关的值．
20．(1)
(2)表演不成功，理由见解析
【分析】（1）把点A及最高点的坐标分别代入顶点式，即可求解；
（2）把代入解析式，即可判定．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点为，
设此抛物线的解析式为，
把代入，
得，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：这次表演不成功，
理由如下：
当时，，
，
这次表演不成功．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，准确求得函数解析式是解决本题的关键．
21．(1)，
(2)或
(3)
【分析】主要考查了待定系数法求二次函数表达式、二次函数的图象的性质及二次函数与一元二次方程关系．
（1）根据图象可知，的根即为两图象交点横坐标的值；
（2）根据图象可知，的图象上的范围是或，即为不等式解集；
（3）当时，求出二次函数对应部分图象的最值即可得到范围．
【详解】（1）解：根据图象可知，的根即为两图象交点横坐标的值，
，，
方程的根为，，
故答案为：，；
（2）解：直线和抛物线都经过点，，
根据图象可知，的图象上的范围是或，即为不等式解集；
故答案为：或；
（3）解：把点分别代入抛物线得：
，
解得：，
所以，
，
时，y最小值为，
当时，，
当时，的取值范围是，
故答案为：．
22．（1）详见解析；（2）14．
【分析】（1）计算判别式的值得到△＝（2k﹣3）2+4，利用非负数的性质得到△＞0，从而根据判别式的意义得到结论；
（2）利用根与系数的关系得到AB+BC＝2k+1，AB•BC＝4k﹣3，利用矩形的性质和勾股定理得到AB2+BC2＝AC2＝（）2，则（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，解得k1＝3，k2＝﹣2，利用AB、BC为正数得到k的值为3，然后计算AB+BC得到矩形ABCD的周长．
【详解】（1）证明：△＝（2k+1）2﹣4（4k﹣3）
＝4k2+4k+1﹣16k+12
＝4k2﹣12k+13
＝（2k﹣3）2+4，
∵（2k﹣3）2≥0，
∴△＞0，
∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据题意得AB+BC＝2k+1，AB•BC＝4k﹣3，
而AB2+BC2＝AC2＝（）2，
∴（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31，
整理得k2﹣k﹣6＝0，解得k1＝3，k2＝﹣2，
而AB+BC＝2k+1＞0，AB•BC＝4k﹣3＞0，
∴k的值为3，
∴AB+BC＝7，
∴矩形ABCD的周长为14．
【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．也考查了根的判别式．
23．(1)每次下降的百分率为；
(2)每千克应涨价5元；
(3)应涨价7.5元，此时每天的最大盈利是6125元．
【分析】（1）设每次下降的百分率是x，找出等量条件列方程求解即可；
（2）设每千克应涨价a元，利润为W，找出等量条件列方程求解即可；
（3）根据（2）中的，求二次函数的最值即可．
【详解】（1）解：设每次下降的百分率是x，则由题意列方程得：
解之得：（舍去），，
故每次下降的百分率是；
（2）解：设每千克应涨价a元，利润为W，则由题意列方程得：
令，解方程得：或，
∵要尽快减少库存，
∴取，即每千克应涨价5元；
（3）解：由（2）可得，
当时，W取最大值为6125元，
∴应涨价7.5元，此时每天的最大盈利是6125元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用：增长率问题，二次函数的实际应用：销售问题，解该类题的关键是找出等量条件列方程求解，将销售问题中的最大利润问题转化成求二次函数最值问题．
24．(1)抛物线的解析式为
(2)存在，
(3)当t为3或或4秒时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形．
【分析】（1），令，则，令，则，的坐标为：，故，将点的坐标代入抛物线表达式并解得：，即可求解；
（2）过点向轴作垂线交直线于点，设则，则，所以，根据二次函数的最值问题，即可求解；
（3）分、、，三种情况，根据等腰三角形的性质分别求解即可．
【详解】（1），令，则，
令，则，
故点A、B的坐标分别为：，；
∴，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，过点M作轴，交于点N，
设，则，
∴
∴
当时，取得最大值，为
此时，
∴
（3）令中，
则，
解得：或，
∴．
∵，
∴，
∵点P从点D出发，沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，
∴．
∵，，
∴，
，．
①当时，即，解得：；
②当时，，解得：；
③当时，，解得：或（舍去负值）
综上可知：当t为3或或4秒时，以P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质以及进行分类讨论是解题的关键．